Compattezza di successioni di funzioui delle funzioni limiti (*).
Memoria di CARLO PUCCX (a Roma).
e derivabilit~t
Sunto. - Si eonsiderano successioni di f n n z i o n i reali di piit variabili reali e si d c t e r m i n a i n quali ipotesi esistono succcssioni, subordinate alle datc~ convergenti a f u n z i o n i deri.
vabili o c o n t i n u e ; cib anche net case che le f u n z i o n i considerate siano definite i n i n s i e m i diversi c n o n siano continue.
(~IULIO ASCOLI [3] e,
successivamente,
CESARE _A_RZEL2k [2] h a n n o s t u d i a t oil s e g u e n t e problema di compattezza: d e t e r m i n a r e le condizioni per le quali u n a assegnata successione l fa(~¢)l di funzioni reali di pih variabili reali ne s u b o r d i n a u n ' a l t r a
If~.(x) l
c o n v e r g e n t e ad u n a funzione continua. I teoremi ottenuti da tali Autori h a n n o avuto~numerose applicazioni in differenti campi dell'Analisi. I n questa Memoria si studia lo stesso p r o b l e m a con metodi diversi e si estendono i risultati p r e c e d e n t e m e n t e conseguiti. Si studia inoltre un p r o b l e m a di compattezza pih g e n e r a l e di quello p r e c e d e n t e m e n t e c o n s i d e r a t e : d e t e r m i n a r e le eondizioni p e r le quali la successione ~fa(a,)l ne subordina u n ' a l t r aI fx,(~)l
c o n v e r g e n t e ad u n a funzione dotata di derivate parziali fine ad un ordine assegnato. Tale questione ~ giSt stata t r a t t a t a in u n a p r e c e d e n t e!~Iemoria [11] n e l l ' i p o t e s i che le funzioni
fn(x)
fossero esse p u r e dotate di d e r i v a t e p a r z i a l i ; in questo case invece esse non sono supposte continue.P e r risolvere tale p r o b l e m a ~ state necessario i n t r o d u r r e nn nuovo ripe di c o n v e r g e n z a r e l a t i v a a successioni di funzioni definite in insiemi diversi.
Questa estensione d e l l ' u s u a l e concerto di convergenza ~ utile nello studio di alcuni problemi che si p r e s e n t a n o nel calcolo delle variazioni (') e nella teoria delle equazioni a d e r i v a t e parziali. U n a applicazione dei risultati otte- nuti in questa Memoria ~ gi~ stata data in u n a Nora in corse di s t a m p a [i3]
eve si t r a t t a un p r o b l e m a di C/~UCHY col metodo delle differenze (~).
(*) Lavoro eseguito nell' Istituto Nazionale per le Applieazioni del Caleolo.
(l) Suceessioni di funzioni definite i n insiemi diversi sono gi/t state considerate in alcune questioni di calcole delle variazioni. R e l a t i v a m e n t e ad esse L. TONELLI~ [14] pag. 92, ha in.
trodotto il concetto di convergenza approssimativa. I1 ripe di convergenza considerate i n questa Memoria ~ pii~ generale.
(~) I n tale Nora si eonsiderano funzioni fn(x) definite in insiemi diversi e si prova ]a convergenza di I f~(x) 1 ad u n a funzione dotata di derivate parziali fine ad u n ordine assegnato p u r non essendo derivabili le funzioni f,a(x).
Annal~ d~ Matematiea 1
C. P u c c I : Compattezza di sucecssioni di funzio~i, ecc.
II presente studio b fondato sostanzialmente sulle seguenti considerazioni geometriche. Ad u n a funzione reale di r variabili corrisponde nello spazio euclideo ad r 4 - 1 dimensioni un insieme di punti, il suo d i a g r a m m a carte- siano, e quindi ad una successione di funzioni { f,~(x) I corrisponde u n a succes- sione di insiemi l/i,• I- P e r il teorema di BOLZANO-WEIERS~I~ASS generalizzato (3) esiste u n a successione [ Ex. l, subordinata ad 1 E,~ 1, che converge ad un insieme E e se tale insieme i~ il d i a g r a m m a cartesiano di u n a funzione f(a~) si pub p r o r a t e la convergenza di tfz.(w) l ad f(~v). Percib il p r o b l e m a della compattezza della suceessione I f,,(x) 1 si r i d u e e alla r i e e r c a di quali propriet/~
devono possedere le funzioni f,~(x) affinchb gli insiemi limiti della sucees- sione ~En I siano a n e o r a d i a g r a m m i c a r t e s i a n i di funzioni. P o n e n d o c i da questo punto di vista e basandoci su q u a l c h e e l e m e n t a r e nozione topologica si pub t r a t t a r e il problema della compattezza di u n a sueeessione di funzioni reali con considerazioni semplici e di non difficile interpretazione geometrica.
I risultati eonseguiti in questa ) I e m o r i a sono gi'~ stati in p a r t e esposti r e l a t i v a m e n t e a funzioni di u n a sola variabile in u n a p r e c e d e n t e 17ota [12].
I n d i c h i a m o ora gli argomenti trattati nei singoli paragrafi, l~el § 1 si r i c h i a m a n o a l c u n e e l e m e n t a r i nozioni topologiche, si d~ la definizione di biconvergenza e bidivergenza di successioni di funzioni stabilendone a l c u n e propriet~ r e l a t i v e ; si introduce inoltre il concetto di funzioni pseudoequi- continue. Nel § 2 si d e t e r m i n a n o le condizioni per le quali u n a suecessione di funzioni no subordina u n ' a l t r a ehe ~ convergente o biconvergente ad u n a funzione continua. Si considera pure il caso e h e l a successione sia divergente o bidivergente. Nel § 3 si stabiliscono teoremi relativi alla convergenza di u n a successione di funzioni, a n c h e non continue, ad u n a funzione dotata di derivate parziali fino ad u n ordine assegnato. Nel § 4 si considera lo stesso problema r e l a t i v a m e n t e pert) a suecessioni di funzioni definite in insiemi diversi.
§ 1. -
Biconvergenza, bidivergenza, pseudoequicontinuit~.
1. Riportiamo p r e l i m i n a r m e n t e quelle nozioni di topologia sulle quali fondato il presente lavoro. I n d i c h i a m o con S,. uno spazio euclideo ad r dimensioni, con ~ u n punto di S,., con En u n insieme non vuoto di punti di S,.. I n d i c h i a m o con ~ E , la distanza del punto ~ dall'insieme Ea ovverosia 1' estremo inferiore delle distanze del punto ~ dai punti di E,,.
Si dice ehe u n punto ~ a p p a r t i e n e al limite superiore della successione Ea I se lira' x-/~, --- 0 (4). Si dice t h e a~ appartiene al limite inferiore di i E,~ 1
#$ - - ~ - CO
(~) Tale t e e r e m a ~ riportato al § 1, n. 1.
(4) I1 p u n t o x ~ q u i n d i secondo u n a definlzione di M. PICONE [9] u n e l e m e n t o di com.
pattezza d e l l a successione ~ E~, I.
C. P u c c I : Compattezza di successioni di ]unzioni, ecc.
se lim wE,~ ----0 (~). Se il limite s u p e r i o r e ed inferiore della successione {Ea } coiucidono si dice t h e ta s u c c e s s i o n e ~En ~ ~ eonvergente.
Gli insiemi E~, n -- 1, 2, ..., si dicono equilimitati se la lore s o m m a un insieme limitato.
S u s s i s t e il f o a d a m e n t a l e t e o r e m a di B O ~ A ~ O - W E I E R S T ~ S S generalizzato.
Data u n a suvcessione di insiemi E n , n - - 1, 2, ..., esiste u n a suc~essione t Ex, 1, subordinata ad { E,, }, the ~ convergente ad u n insieme chiuso E. Se gli insiemi E~ sono equilimitati l'insieme E non ~. vuoto (6).
F i s s a t o un insieme I di S,. e un n u m e r o positive ¢ diciamo sferoide di c e n t r e I e raggio s l ' i n s i e m e dei punti x di S,. tall t h e x I ~ v . (7). Indi- chiamo tale insieme con [I]~.
R i p o r t i a m o infine il s e g u e n t e t e o r e m a : Gli insiemi E n , n----1, 2,..., siano equilimitati. Condizione nevessaria e sufficiente pereh~ la suceessione { E~ i sia oonvergente ad un insieme E ~ ~he, fissato vomunqua u n numero positive ~ esista corrispondentemente u n indiee % tale ehe
(1) g n ~ [ E ] ~ , E ~ [ E n ] ~ per n > n~ (').
2. Sia An u n insieme di punti d~llo spazio euclideo S r a r dimensioni, e sia f,(~) u n a funzione reale del p u n t o ~ ~- (x~ ..., ~,.) definita per x, $ A a . Diciamo t h e la successione I f~(x) l bivonverge nel punto ~' al numero l se x' a p p a r t i e n e al limite inferiore della s u c c e s s i o n e ~An I e se fissato c o m u n q u e un n u m e r o positive ~ esistono c o r r i s p o n d e n t e m e n t e due n u m e r i n~, 8. tall che
I I - - f n ( x ) l ~ p e r x ~ A n , x ~ ' ~ , n ~ n ~ .
Diciamo e h e l a successione { f,~(w) t bi~onverge netl'insieme A ad u n a funzione f(x) se essa biconverge in ogni punto x di A ad f(a~) (9). E v i d e n t e m e n t e so la suecessione lfn(x) l biconverge in un p u n t o x che a p p a r t i e n e a tutti gli insiemi An, allora in quel punto la successione i~ anche convergente.
TEOm~A I. - Se la suooessione i fn(x)} biconverge in A ad f(x) la f u n . zione f{~,) d continua i n ogni p u n t o di A (Jo).
(5) Notiamo che tall limiti differimeono da quelli impiegati nella teoria generale degli
O 0 o O
insiemi o cio~ il limite ristretto ~ ~ E~-b~ e il limite complete 1] ~ •n-l-k- P e r le
~--0 k~---O /¢=0 n=O
proprietor dei limiti inferiore e superiore cfr. a d es. C. KURATOWSKI, [6], pp. 241-245.
(6) Cfr. ad es. C. KURATOWSKI, [6], pp. 246.947.
(7) Cfr. a d e s . ~ . PICONE.
~8) Cfr. •. HAUSDORF, [5], pag. 148. Notiamo che tale Autore usa l'espressione di limite chiuso inferiore (superiore invece di limite inferiore (superiore).
(9) Nel case che le fanzioni f~(x) siano definite i n uno stesso insieme A, tale definizione di biconvergenza coincide con quella data da M. PICONE nei suoi corsi di A n a l i s i superiore e con la definizione di convergenz(~ i n mode continue di H. HAUH, [4]. pag. 222.
(,0) I1 teorema analogo nel case A , ~ A ~ date da H. HAHN, [4], pag. 225.
4 C. Pucc~: Compattezza di s,uccess~o~,i di ~unzioni, ecc.
Sia w un punto di A, ~ un n u m e r o positive. P e r ipotesi esistono due n u m e r i n~, 8~ tali t h e
(2) ! f(x) - - f,~(~') I < ~ per w $ A,~, x x' < ~ , n ~ n~.
Se il p u n i c x non ~ punto di a c c u m u l a z i o n e di punti di A, f(a~) ~ c o n t i n u a in a~. Se inveee x ~ punto di aeeumulazione di punti di A esiste un punto tale che
(3)
P e r ipotesi esistono allora ed inoltre
- - 1
due numeri v~, "c~ tali t h e v~ ~ n~, :~ <: ~ 1
(4) ] f(~) - - fn(~'} l < ~ p e r ~v' e A n , ~ x' < ~ , n > v~.
P e r la definizione di ":~, v~ e la (3) esiste un punto x' t h e soddisfa contem- p o r a n e a m e n t e la (2) e la (4) e quindi
If(x) - - f( )l < I f ( x ) - - 1 ÷ F f , , ( x ' ) - - f( )l <
e o m u n q u e sia ~ in A verificante la (3),
TEORE~A II. - I n d i c a t e con z ~--(wl,..., x~,., y) u n p u n t o generico d i u n o spazio euclideo S,.+l a d r -t- 1 dimensioni, sia E,~ l ' i n s i e m e dei p u n t i z tall vhe ~ ~ A,,, y - - fn(x), ed E l' insieme dei p u n t i z tall che x~ ~ A, y --- f(x.}.
Se ~ A , 1 ~ convergente ad A e la successione l f~(x) 1 bivonverge i n A a d f(x) allora { E , I e eonvergente a d E.
Fissato un punto z ~ ( x ~ , . . . , x,., y) in E ed an n u m e r o positive ~ per ipotesi esistono due numeri n~, 8~ tali ehe
(5) I Y - - f,,ix') I <
~ per w' ~ A a , x x' <: ~ , n > n~.Siceome il punto z ' ~ (x.~', ..., x,.', f,(x')) a p p a r t i e n e ad E,, ne segue che il punto z a p p a r i i e n e al limite inferiore d i t E , [ e quindi
(6) E r " Lira' E,, (,o,).
n . - . ~ - 0 O
Fissato un punto z * ~ tx~,..., x~,., y*) con y*:4= y per l'arbitrariet~ di ~ dalla {5) segue t h e in u~ interne abbastanza piccolo di z* non vi sono punti di E,, per n s a f f i c i e n t e m e n t e g r a n d e ; percib, indicate con Au il luogo dei p u n i i z di S,.+, tali ehe x ~ A, i punti di A u - - E non a p p a r t e n g o n o al limite supe- riore di l En !. Convergendo 1 A,, 1 ad A, fissato un punto w non a p p a r t e n e n t e ad A si pub d e t e r m i n a r e un sue interne C e un indice no tale t h e per n :> no l ' i n s i e m e A . . C ~ vuoio. Quindi i punti z di S,.+, ehe appartengono al limite s u p e r i o r e d i t E , , t devono a p p a r t e n e r e al eilindro Au e, per quanto si ~ gi~t mostrato, non a p p a r t e n e n d o ad A u - - E devono a p p a r t e n e r e ad E.
{10,) I n d i c h l a m o con L i m r B~ il limite i n f e r i o r e della successione I E n ~. A n a l o g a m e n t e
n ~ O O
p e r il limite superiore.
C. P u c c I : Compattezza di successio~ti di ]unzioni, ecc. 5 1~ quindi
Lim" E,, ~ E
¢ $ ~ O D
e dalla (6) segue t h e t E,, ~ c o n v e r g e ad E.
TEORE~A III. - Se la successione [ A , I converge all' insieme limitato A e ~ fn(w) I biconverge in A ad f(a:) allora fissato comunque un numero positivo esistono oorrispondentemenge due numeri n~, ~ tali the
I f ( x ) - f.(x,')l per A, A,,,
n>n (%L a funzione f(x,) ~ u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u a in A perch~ ~ ivi c o n t i n u a per il t e o r e m a I e d A 6 chiuso essendo il limite di l A,, I. Allora fissato un z positivo esiste un n u m e r o ~ tale t h e
(7) If(x,) - - f(~)l < ~ p e r x,, ~ ~ A, x~ < 8~, 8~ < ~, ed esiste p u r e u n n u m e r o M tale c h e
(8) t f(~)l < M p e r x, $ A.
I n d i e a t o con p u n n u m e r o positivo poniamo A* = A n . [ A ] e . Gli insiemi A*
sono equiIimitati ed [A* ~ converge ad A. Proviamo t h e esiste u n indice no tale che
(9) [f,,(x,)[ < 2M per x, ~ A * , n > no.
I n d i c a t o con L, 1' insieme dei punti di .4* in eui I/n(x) l > 2M se non sussi- ste la (9) gli insiemi L , , n = 1, 2,..., non sono d e f i n i t i v a m e n t e vuoti ed essendo equilimitati esiste u n punto x, a p p a r t e n e n t e al limite superiore di I I , I- Essendo In c A* b a: e A. P e r la bieonvergenza di ~ f,,(~} I in x, esistono d u e n u m e r i n~, 8~ p e r eui sussiste la (2) e quindi per la {8)
] f , , ( x , ' ) [ < M + ¢ per x , ' e A . , x x , ' < 8 ~ , n > n ~ .
Cib ~ assurdo perch~ per la definizione di I,, e di x, p e r q u a l c h e n e qual- che x' deve essere [ f,(aQ [ .> 2M, x x; < ~ .
I n d i c h i a m o con E,~ 1' insieme dei p u n t i z-~--{x,t,... , x,r, Y) tali che x, e A*, y -~ f,,(x) ed indichiamo con E l'insieme dei p u n t i z tali che x, $ A, y - - f ( x ~ . P e r il t e o r e m a p r e c e d e n t e I E , I converge ad E e p e r la (9) e la equilimitatezza degli insiemi A* gli insiemi E,, sono e q u i l i m i t a t i ; allora per la (1) si pub d e t e r m i n a r e u n indice n~ tale che E , , C [ E ] ~ p e r n ~ n~. Ne
(ti) Nel caso che gli insiemi A,t coincidano con A si ottiene il ~isultato gib noto c h e s e [fn(x)[ biconverge n e l l ' i n s i e m e chiuso e limitato A tale successione vi converge pure uni.
formemente. Cfr. C. KURATOWSKI, [6], pag. 109.
C. Pucc~: C o m p a t t e z z a di successioni di funzioni, eec.
segue t h e fissato c o m u n q u e u n punto w' in A . , n ~ n~, esiste un punto in A tale ehe
1 1
0 o ) I f(~) - - f~(~') ] < ~
~, ~'~
< ~~.
Si ha pereib che fissato c o m u n q u e un indiee n ~ n~ e due punti x, w' con
~0 ~ A, x' • A,,, x~v' ~ ~ esiste un p u n t o ~ in A per cui i~ v e r i f i c a t a la (10) ed essendo quindi x~ <: • ~ ' + ~'~ ~ ~ p e r la (7) i~
]
I f(~) - - f~(~'} I < If(x) - - f(~)l + I f(~) - - f,,(~') I < ~ + ~ ~ <
2~.
3. Indichiamo come al solito con A N un insieme di S,., con f,(~) u n a funzione reale definita in A,~. Diciamo c h e l a successione l fn(~}l bidiverge nel p u n t o ~ a + r,o ( - - ~ ) s e x a p p a r t i e n e al limite inferiore della succes- sione I A,~ l e se fissato c o m u n q u e un numero k esistono c o r r i s p o n d e n t e m e n t e due h u m e r i nk, 8k tall che
f,,(x') > k (f,~(x') < k) p e r x' ~ A,~, x ~' ~ ~h, n ~ n~.
Diciamo t h e la successione bidiverge nel p u n t o • se essa b i d i v e r g e a -t-c~
o a - - c o . Dieiamo t h e la successione If~(x) l bidiverge n e l l ' i n s i e m e A se bidiverge in ogni punto di A. E v i d e n t e m e n t e se la suceessione lf,~(w) l bidi- verge in un punto w ehe a p p a r t i e n e a tutti gli insiemi A n allora in quel punto I f,,(w) I ~ anche divergente.
TEOREMA ]IV. - 8e la sucoessione
I f.(x) }
bidiverge i n u n i n s i e m e A ed A connesso allora I f,(x) } bidiverge a ÷ oo i n tutto A o p p u r e a - - ~ i n tutto A.Posto
f~(z)
per ~ ~ A,~,m,(x)- 1 + I f~(~) I
siccome {f,~(~)l bidiverge in ogni punto di A, {¢~,~(w) l b i c o n v e r g e in ogni punto di A a -I-1 o a - - 1 . P e r il teorema I t%,{w)~ b i c o n v e r g e ad u n a funzione ~0(~) continua in A ed essendo ~(~)----1-1 p e r w $ A ed A connesso o ~ ¢~(x)--1 in A o ~ ~ ( ~ ) ~ - 1 in A. Avendo f,,(x) lo stesso segno di %~(x) segue il teorema.
TEORE~IA V. - Se la suvcessione I A,~ t converge a d u n i n s i e m e limitato A e t f,:(w) f bidiverge i n A altora fissato o o m u n q u e u n n u m e r o k esistono corri- spondentemente d u e h u m e r i n~, ~a tati the
[ f,~(00) ] > k p e r oc ~ A,,.[A]~, n > na.
Posto
[f,,(x)[ per x ~ A , , v . ( x ) - I ÷ I f.(~) I
C. P v c c i : Compattezza di successioni d~ funzioni, ecc.
la s u c c e s s i o n e t~,(~)~ b i c o n v e r g e a + I in A. F i s s u r e u n n u m e r o p o s i t i v e p e r il t e o r e m a I I I e s i s t o n o d u e h u m e r i n~, ~ t a l l t h e
1
}l--¢p,,(x) l - - l + I f,(~)] < ~ p e r n > n ~
c o m u n q u e si fissi ~ i n A,~ e d i s t a n t e d a u n p u n t o di A m e n o di 8~, o v v e r o s i a e o m u n q u e si fissi x ~ A , . [ A ] ~ . l~e s e g u e q u i n d i
if,~(x) t > _ 1 ~ 1 p e r w s A , . [ A ] ~ , n > n ~ , e p e r l ' a r b i t r a r i e t $ t di ~ il t e o r e m a ~ p r o r a t e .
4. L e f u n z i o n i f,,(x), n - - 1 , 2, ..., c i a s e u n a r i f e r i t a al c o r r i s p o n d e n t e i n s i e m e di d e f i n i z i o n e A , , si d i e o n o pseudoequicontinue se f i s s a t o c o m u n q u e u n n u m e r o p o s i t i v e ~ e s i s t o n o c o r r i s p o n d e n t e m e n t e d u e h u m e r i n~, ~ t a l l c h e
] f~(x)
- - f.(x') i < ~ p e r n > n~, x, a~' $ A,~, x w' < ~ (is).N o t i a m o t h e le f u n z i o n i f,(x), n - - - - 1 , 2, ..., p o s s o n o e s s e r e p s e u d o e q u i c o n t i n u e e n o n e s s e r e c o n t i n u e . Si h a i n p r o p o s i t o il s e g u e n t e t e o r e m a .
Le funzioni reali f,(x), n :--1, 2, ..., siano definite i n u n insieme chiuso A di S,. e siano ivi pseudoequicontinue. Se le funzioni f,,(x) sono continue in A esse sono anche equi~ontinue (~a).
S t a b i l i a m o e r a u n t e o r e m a u t i l e h e l l e s u c c e s s i v e a p p l i e a z i o n i . R i c o r d i a m o p r e l i m i n a r m e n t e c h e i n d i c a t e c o n ~0(~) u n a f u n z i o n e d e f i n i t a n e l l ' i n s i e m e I di S,. si d i c e o s c i l l a z i o n e d e l l a f u n z i o n e ~(x) in I, in s i m b o l i 0~{I), la diffe- r e n z a f r a l' e s t r e m o s u p e r i o r e e i n f e r i o r e d e i v a l o r i e h e l a f u n z i o n e ¢p(~) a s s u m e in I (i,).
TEORE~rA V L - L e funzioni reali f~(x), n - - 1 , 2, ..., ciascuna definita in u n corrispondente insieme A~ di S~, siano pseudoequicontinue. Allora comun.
que si fissi u n insieme B limitato, connesso, .contenuto nell' insieme L i r a ' A,,,
n ~ OO
che ~ supposto non vuoto, esistono tre n u m e r i positivi 8, no, M tall the
(11) Of.(A,.[B]~) < M per n > n o .
F i s s a t o u n n u m e r o p o s i t i v e ~ p e r la p s e u d o e q u i c o n t i n u i t ~ d e l l e f u n z i o n i
f~(x)
e s i s t o n o d u e n u m e r i v, ~ tali c h e(12) I f.(~) - - f.(x') j < ~ p e r w, ~' ~ A,,, x x' ~ 6r$, n ~ v.
('~) Successioni di funzioni pseudoequieontinue sono gi/t state considerate da C. ARZELJ~, [2], pug. 119. In tale /vlemoria non viene introdotta una denominazione specifica per indicaro tall successioni ed ivi esse vengono definite fondandosl sul concetto di funzioni equioscillanti per meno di ~. Suecessioni di funzioni pseudocontinue sono anche ehiamate successioni normali.
(13) P e r la dimostrazione di questo teorema vedi C. ARZEL)~, [~], pug. 125, n. 3.
(,4) Cfr. ]V[. PICONE, [7], pp. 18[.182.
C. P u c c I : Compattezza di successio~{ di ]unzion{, ccc.
0 p e r i a m o u n a deeomposizione ooordinata dello spazio S,. in domini q u a d r a t i uguali di lato 8 (~). Consideriamo fra i domini q u a d r a t i della decomposizione operata quelli che h a n n o punti a e o m u n e con B ; essendo B limitato tall domi:ai sono in n u m e r o finito, s, e siano essi Q~, Q,, ..., Q~. I n d i c h i a m o con R~ il dominio quadrato s o m m a di Q~ e dei domini quadrati, della decomposi- zione eonsiderata, che hanno almeno u n punto in c o m u n e con Q~. Indicato con [B]~ 1o sferoide di centro B e raggio ~
(13) [ B ] ~ E R , .
I n f a t t i s e w • B, ~ appartiene ad almeno un dominio Q~ e [Q~]~c R~.
Essendo i punti di B.Q~ interni ad R~ ed a p p a r t e n e n d o tall punti all'in- sieme Lim' A,, esiste un indiee vi tale che per n > v~ l ' i n s i e m e A,, ha punti in c o m u n e con il dominio R~. Posto n o : max[v, v~,..., v~], fissato n > no, possiamo quindi assoeiare ad ogni dominio R~, i : 1, 2,..., s, un punto
~(" ~ A~.R~.
Fissiamo a r b i t r a r i a m e n t e due punti x, ~' ~ A,.[B]~. P e r la (12~ esiste u n dominio R~ ehe contiene w e un dominio Ra ehe eontiene x/. Essendo B connesso ~ p u r e connesso l'insieme E Q~, per la definizione dei Q~, e quindi p u r e eonnesso l ' i n s i e m e ~. R~. Fissato allora i domini R~ e Ra esiste u n a successione di t domini R~,, Rh, ..., R~, t ~ s - - r , tali ehe non sono vuoti gli insiemi prodotto R a . R ~ , R~,.R~,, ..., R ~ _ . R ~ , R ~ . R a .
I domini quadrati R~, R~+~ hanno lato di lunghezza 3~ e punti in c o m u n e : pereib la massima distanza fra un punto di R~ e un punto di R~+ t
m i n o r e o u g u a l e alla somma delle lunghezze delle due diagonali ehe 6 V r $. Si ha d u n q u e :
(14) .~v(z~), ~I~)x(~+P, a~qPw' ( 6 r ~ per i - - 1, 2, ..., t - 1.
Appartenendo i punti w(~) ad A,, risulta in essi definita f~(a~) ed avendo fissato n ~ n o t h e ~ ~ v, per le (14), (12)
I f,~(x) -- f.(~') I ~ J f,~(~) -- f.(x(~l~) I + I f~(xc~,~) -- f,,(~(~)) t + ... + f L,(~(z,I) - - f,(~') I < (t ÷ 1)~ < s~.
Siccome tale limitazione sussiste c o m u n q u e si fissi n ~ n o e .x, ~' $ A.[B]~
e sieeome l ' e s t r e m o superiore di I f,~(w)--f,~(x') [ per x, ~' variabili in A.[B]~
l'oseillazione di f~(x) in A.[B]~ si ottiene la (11) o r e M----s~.
(15) Oft. M. PICONE, [7], pp. 386.387.
C. Pucc~: Compattczza di succ(,s.~ioni di funzioni, etc.
§ 2. - C o m p a t t e z z ~ d ! s u c c e s s i o n i d ! f u n z i o n L
I n d i e h i a m o con x un punto di uno spazio euclideo S,. a r dimensioni, x - (x~,..., x,.), con A , , n - - 1 , 2, ..., u n insieme di p u n t i di S~, e con f,,(x) una funzione reale definita in An.
T E O R E ~ A V I I . - Se la successione I A~ l ~ convergente a d u n insieme n o n
vuoto A e se le f u n z i o n i f~(x,), n = 1, 2, ..., sono equilimitate e pseudoequicon.
tinue allora esiste u n a successione [ fz~(x~) l, s u b o r d i n a t a a d ~ f,,(~c) l , the bicon.
verge i n A a d u n a r u n , l o n e c o n t i n u a .
Consideriamo lo spazio euclideo S,.+, ad r + t dimensioni il cui punto generieo z ha le coordinate ( ~ , , . . . , ~,., y) ed indiehiamo con E , l ' i n s i e m e dei p u n t i z tali t h e ~ c - (~c,,..., x,.) ~ A , , y == f,,(x). P e r il t e o r e m a di BOL.
ZA:so-WEIERS~RASS generalizzato esiste u n a successione {Ez,
}
s u b o r d i n a t a ad I E,~I c o n v e r g e n t e ad un insieme E. Fissato un punto ~ ~ (~,,..., ~r) in A consideriamo in S,.+~ la retta t: x , - - ~ , . . . , x , . : ~ , . . Fissato un n u m e r o positivo ~ indichiamo con C(~) il cilindro luogo dei p u n t i di S,.+~ ehe distano da t meno di 8. Gli insiemi E~.C(~) sono e q u i l i m i t a t i p e r l'equilimitatezza delle funzioni f.(x) e non sono vuoti per n s u f f i c i e n t e m e n t e grande apparte- nendo ~ ad A, insieme limite della, successione {A,~ I. Allora non 5 vuoto 1' insieme E . C(8). P e r 1' a r b i t r a r i e t k di 8, essendo E chiuso 1' insieme E ha almeno un pun.to in c o m u n e con la retta t. Sia ~----(~,,.,., ~,., ~) un tal punto. P e r ipotesi fissato un n u m e r o positivo 8 esistouo due numeri n~, 8-~tali t h e
(15) Ifx.(x~)--fx.(x')l<~
per w, x ' e A , , x w ' < 8 ~ < ~ , n > n ~ .Inoltre essendo { Ez, } c o n v e r g e n t e ad E, ~ ~ E, esiste un indice v~ > n~ tale the, indicato con I~ il dominio sferico di S,..,.~ con centro in ~ e raggio ~8~, 1 gli insiemi Ez..I~ non sono vuoti p e r n > w:. hie segue che p e r n > v~ esiste un p u n t o ~c in A,, tale che
- - 1
Allora c o m u n q u e si fissi x' in A, dalla (15) segue p e r n > v~
1 I - v I <
.... . . .
con ~'~ ~ ~ ~ essendo xx' ~. ~c'~ + ~x < 8~
1
Si ha quindi t h e {fx,(x) l bieonverge nel punto ~ ad ~ ed essendo ~ un punto qualsiasi di A {f~.,(x) l biconverge in tutto A. P e r il teorema I allora If~.,(w) l b i c o n v e r g e in A ad u n a funzione continua. L ' i n s i e m e E ~ e v i d e n t e m e n t e il d i a g r a m m a eartesiano di tale funzione.
A n n ~ l i d i M a t e m ~ t i c G 2
i0 C. Pvca~: Uompattezza di suecessloni di funzion~, ecc.
TEOREMA VIII. - Gli insiemi A,,, n ~ - 1 , 2, ..., siano equilimitati e la successione I A,~ 1 sia convergenle ad u n insieme A , se la sucvessione ~ f,,(x) 1 biconverge i n A l e f u n z i o n i f,(~), n----1, 2, ..., sono pseudoequicontinue ed equilimitate a partire da u n certo indice n.
I n d i c h i a m o con f(w) la funzione reale, definita in A, a eui bieonverge I f,~(x) ~. L'insieme A ~ ehiuso essendo il limite di u n a sueeessione di insiemi e quindi, per il t e o r e m a I I I , fissato a n n u m e r o posltivo ~ esistono corrispon- d e n t e m e n t e due n u m e r i v~ e ~ tall t h e
(16) i f ( ~ ) - - f , ( ~ ) [ ~ p e r n > v ~ , ~ s A . ~ 8 A , , ~ < ~ 2 ~ .
P e r la (1) esiste inoltre u n indice t~ tale ehe per n ~ I~ A , , c [ A ] ~ e eio~
per n > I~ fissato e o m u n q u e ~ $ A,, esiste u n punto x ~ A tale ehe w~ < ~ . Allora se esiste u n punto ~ ' ~ A,~ tale ehe ~ ' < 8~ ~ x ~ ' < ~ - t - ~ ' ~ 2 ~ . Quindi, essendo
t f.(f)
- - f.(f') I < l - - f ( x ) l + I - - t, dalla (16) segue[ f.(~) - - f,l~')[ < 2~ per n > m a x [v~, its].
Sieeome tale disuguaglianza sussiste e o m u n q u e si fissino ~, ~ ' $ Am, con
~ ' < ~ , le funzioni f,(x) sono pseudoequieontinue.
La funzione f(x) per il t e o r e m a I ~ c o n t i n u a in A ed essendo A chiuso e limitaio f(~) ~ limitata in A. P e r n ) m a x [ v ~ , I~], essendo A , , c [ A ] ~ , dalla (16) segue allora ehe le funzioni f,,{.~) sono equilimitate.
TEOREMA IX. - II limite inferiore della suecessione 1A~ I sia u n insieme non vuoto e le f u n z i o n i f~(~} siano pseudoequicontinue ciascuna eonsiderata nel corrispondente insieme di definizione A , . Esiste aUora u n a successione crescente di h u m e r i n a t u r a l i )~,, 1~,..., I~,... tale che la s~cessione { Ax. t eonvergente ad u n insieme non vuoto A e, indicato con B u n arbitrario insieme connesso ~ n t e n u t o in A, la suecessione ~ fx,(x) l
o biconverge i n B a d u n a fun~ione continua, o bidiverge i n B a - t - ~ ,
o bidiverge in B a - - ~ .
P e r il t e o r e m a di BOLZANO-WEIERSTRASS generalizzato esiste u n a sue- cessione ~ A ~ I , subordinata ad I A,, f, che converge ad u n inaieme A ed A non ~ vuoto pereh~ per ipotesi non i~ vuoto 1' insieme Lim' A,, vhe ~ eonte- nuto in A.
P o n i a m o
f~,(x) per x $ A~,.
(171 ¢P~"(~) - - 1 + [ f~,(x) ]
Le funzioni %,(w), n - - 1 ; 2, ..., sono equilimitate :
- - i < V~.(x) < 1, ~ 8 AN. (n - - 1, 2, ...).
C. P u c c i : Compattezza di successioni di funzioni z ecc. 11 P e r la (17) si ha
(ls) ! ~.(x) -- ~.(~) 1 = [ f~"(x) -- f~(i) + f~.(x) I f~.({) I
- - f~.({) I f~.(~)II + I fF,(~) t)(1 + I f~n(~) I )
Notiamo ehe
119) I f~n(~)lf~.(¢)l - - f~.(~J f~n(~) I[ < 2 I f~.(~) -- f~.(~) p
perch~ se f~.(~v), f~,(~) h a n n o lo stesso segno il primo m e m b r o della (19) uguale a zero, se inveee f~.(x), f~(~) h a n n o segno contrario
I f~,n(~) I,
Supposto ehe sia dalle (18), (19) segue
-t- 2~ ~
Da eib segae p e r la pseudoequieontinuitSt delle funzioni f,(~) ehe p u r e le funzioni ~F,(x) sono pseudoequieontinue. Essendo le funzioni ~pF,(w} a n e h e equilimitate p e r il t e o r e m a V I I esism u n a sueeessione t ~xn(w) }, s u b o r d i n a t a a {~Fn(x) !, c h e bieonverge n e l l ' i n s i e m e A. Dalla (17) segue
¢PF"(~) p e r ~ $ AF.
f~.(x) " - - 1 - - l :p~,(w)[~
e quindi se i ¢P~.(~) ! bieonverge in a n punto { $ A a -4- 1 (-- 1), la sueees- sione tfz.(x) t diverge in mode c o n t i n u e in ~ a -t-oo ( - - ~ ) e se I cPz.(~)!
converge in mode c o n t i n u e in { ad un n u m e r o diverse da + 1 e - - 1 la sueeessione { f),.(a~)} bieonverge nel punto ~.
Sia B u n insieme connesso e limitato eontenuto in A. P e r il t e o r e m a VI esistono tre h u m e r i positivi 8, no, M tali ehe
(20) Of~(Ax.~[B]s) ~ M p e r n > n , .
Allora se la sueeessione t fzntx)! bidiverge a -t-co ( - - o c ) in un punto
~ B, p e r la (20) bidiverge a -I-o¢~ ( - - c o ) in tutto B.
Sieeome {fx,,tw}} in ogni punto di B o biconverge o bidiverge, se in u n punto ~ e B i fx.(~)i bieonverge, per la (20) tale successione bieonverge in tutto B.
Si ~ provato il t e o r e m a nella ipotesi ehe B sin limitato. Supponiamo ora ehe l ' i n s i e m e eonnesso B non sia limitato. I n d i e h i a m o con C(l) il domi- nio sferieo con eentro n e l l ' o r i g i n e di S,. e raggio 1 e sia l0 un n u m e r o posi.
tivo tale ehe B.C(lo) non ~ vuoto. P e r quanto ~ p r e e e d e n t e m e n t e provato la sueeessione t f~,(w)} o bieonverge o bidiverge nell'insieme limitato e eonnesso B . C{l) ove 1 D-lo. P e r l'arbitrarietCt di t segue ehe {fXn(X}! O bieonverge in ogni punto di B o bidiverge a -~-ov ( - - ~ ) in ogni p u n t o di B,
12 C. P v c c I : Compattezza di successioni d$ funzioni, ecc.
Dai teoremi VII, V I I I , IV, seguono in partieolare i due seguenti teoremi relativi al case ehe gli iasiemi A,, siano f r a lore coineidenti.
TEOREM.~ X. - Le funzioni reali f,,(a~), n = 1, 2, ..., siano definite in u n insieme A dello spazio euclideo S,., e siano in A pseudoequicontinue. Esiste allora u n a successione i fx.(x~)}, subordinata alia successione i fn(x)}, tale vhe, comunque si fissi u n insieme B limitato e connesso, vontenuto i n A, la suc.
oessione { fx,(~) !
o converge uniformemente i n B a u n a funzione continua, o diverge uniformemente in B a -~-c~,
o diverge uniformemente in B a - - c ~ .
L a successione degli insiemi A ~ e v i d e n t e m e n t e convergente ad A + F A . P e r il t e o r e m a I X esiste u n a suceessione {f~..(~)}, subordinata ad {f,s(x)}, tale the, c o m u n q u e sia fissato l ' i n s i e m e limitato e connesso B contenuto in A, { fz,(w) t o biconverge in B + F B o bidiverge in B - ~ - F B a -}-c,o (--oo).
Nella p r i m a eventualit~ la suecessione converge in B nel sense u s u a l e della p a r o l a ; dai teoremi I, I I I segue inoltre ehe i f).,(~) t converge u n i f o r m e m e n t e in B a u n a funzione continua. Se { f).,(~,) } bidiverge in B + F B a + c~ ( - - c~) essa diverge in ogni punto di B ; dal t e o r e m a V segue inoltre ehe diverge u n i f o r m e m e n t e in B a -I-c~ ( - - c ~ ) .
TEOREMA XI. - Le funzioni reali f,,(w), n - - 1 , 2, ..., siano definite i n u n insieme A ehiuso e limitato. Condizione neeessaria e su/ficiente perch~ la suc.
cessione { f,,(~x} ! sia uniformemente eonvergente i n A ad u n a funzione ~ontinua the le funzioni f,~(x), a partire da u n cerlo indite n, siano equilimitate e pseudoequivontinue e che la successione { f,(x.) } converga i n u n insieme ovun~ue dense in A (i6).
Notiamo p r e l i m i n a r m e n t e t h e l ' i n s i e m e A, essendo chiuso pub essere considerate il limite di u n a suecessione di insiemi A,~ eve A,,--= A.
La condizione ~ necessaria. Infatti la successione { fn(~)}, convergendo in A u n i f o r m e m e n t e ad u n a flmzione continua, biconverge in A (~7) e quindi, per il t e o r e m a VIII, le funzioni f,~(~c), a partire da un certo indieo n, sono equilimitate e pseudoequicontinue.
L a condizione ~ sufficiente. Siccome le funzioni f,(x), n - - 1 , 2, ..., sono equilimitate e pseudoequicontinue, per il teorema V I I esiste u n a successione f).,(x.) }, subordinata ad { f,,(w) !, biconvergente in A. P e r il t e o r e m a I i f)..(x) } biconverge in A ad u n a funzione continua t h e indichiamo con f~w). Suppo- niamo per assurdo ehe la successione i f,~(a~)} non biconverga in A ad f(w).
I n tal ease esiste un punto ~ e A e u n a successione di punti ~ " ) e A, n = 1, 2, ..., tali ehe
(21) lim ~ ~(~):= 0, lim' f(~('~))~ lim" f(¢('%
{~6) Questo t e o r e m a ~ s t a t e stabillto da C. ARZF, LA. [2].
{~) H. HAHN, [~], pag. ~'24.
C. P u c c ~ : Compattezza di successioni di run,zion i, ecc. 13 E s i s t e q u i n d i u n a s u c c e s s i o n e { f~,(x) !, s u b o r d i n a t a a t f,,(x) !, tale t h e risulta e o n v e r g e n t e la s u c c e s s i o n e n u m e r i e a { f~,(~{l~,)) ! ed i n o l t r e
(22) lira f~,(~(~) ::{= f(~).
S e m p r e p e r il t e o r e m a V I I la s u c c e s s i o n e t ft~,(x~)! ne s u b o r d i n a un' altra t f~,(a~)! che b b i c o n v e r g e n t e in A ad u n a f u n z i o n e c o n t i n u a t h e i n d i c h i a m o con ~(a~). P e r le ~21), (22) i~ e v i d e n t e m e n t e q~(~} :4: f(~). Ma cib ~ a s s u r d o p e r c h ~ la s u c c e s s i o n e I f~(~) } p e r ipotesi c o n v e r g e in u n i n s i e m e o v u n q u e d e n s o in A e q u i n d i ~(x), f(x) sono u g u a l i in u n i n s i e m e o v u n q u e d e n s o in A ed e s s e n d o c o n t i n u e c o i n c i d a n o in A.
E s s e n d o s i p r o v a t a la b i e o n v e r g e n z a d e l l a s u c e e s s i o n e i f,,(x) } n e l l ' i n s i e m e e h i u s o e l i m i t a t o A, dai t e o r e m i I, I I I , s e g u e che {f,,(a~)} c o n v e r g e unifor- m e m e n t e in A ad u n a f u n z i o n e c o n t i n u a .
§ 3. - C o n v e r g e n z a d i u n a s u c c e s s l o n e d l f u n z l o n i a d u n a f u n z i o n e d e r l v a b l l e .
I n d i e h i a m o con A nn c a m p o di S,. e con f,,(x), n - - 1, 2,..., u n a f u n z i o n e d e f i n i t a in A. S t a b i t i a m o in q u e s t o p a r a g r a f o dei t e o r e m i r e l a t i v i a l l a c o n v e r - genza in A d e l l a s u e c e s s i o n e }f~(a~)l ad u n a f u n z i o n o d o t a t a di d e r i v a t e fino ad un o r d i n e a s s e g n a t o s e n z a s u p p o r r e la derivabilit~t delle f u n z i o n i fn(x).
1. P r e c i s i a m o p r e l i m i n a r m e n t e a l e u n e notazioni r e l a t i v e ai r a p p o r t i inere- m e n t a l i delle funzioni f,,(w). S i a n o s~, s~, ..., s , dei h u m e r i interi n o n n e g a t i v i e sia s - - s~ ÷ s~ -~- ... -t- s,. ; sia Sr+~ lo spazio e u e l i d e o a r + s d i m e n s i o n i il cut p u n t o g e n e r i c o z ~ (x.~, x.~ (~), ...,'wt u~), ..., x,., w,. (~, ..., x,.%)}. I n d i e h i a m o con A,, ... s,. l ' i n s i e m e dei p u n t i z di S,.+, tali che a~:~=~cio-}=~=a~(l*) p e r 1 ~ ), < }t ~ s~, i -= 1, 2, ..., r e tali i n o l t r e che, i n d i c a t o con ~[ u n q u a l s i a s i n u m e r o c o m p r e s o f r a i l m i n o r e e i l m a g g i o r e dei n u m e r i x~, x~ "), ..., x~Ca~ ), il p u n t o t~,, ~ , . . . , ~,.) risulti c o n t e n u t o in A. E s s e n d o A a p e r t o a n c h e A~ .... ~ ~ aperto.
D i c i a m o r a p p o r t o i n c r e m e n t a l e p a r z i a l e di f,~(x.) rispetto a d ~ci la s e g u e n t e e s p r e s s i o n e
R,[f, l x , , . . . , x,-1, x,, a:,"', x , + , , ..., x,]----
1231 __ f,,(~,, ..., X~-l, ~ ' ) , x~+~, . . . , a : : } - f , ( ~ , , . . . , x~_~, ~ , x~+~, ..., x , )
T a l e r a p p o r t o i n e r e m e n t a l e ~ u n a f u n z i o n e di r - t - 1 v a r i a b i l i e r i s u l t a d e f i n i t o nell' i n s i e m e As,, s~...8 o r e sj - - 0 p e r j ~ i, si ~ 1. P e r brevit/~ indi- c h e r e m o tale f u n z i o n e a n c h e con Rif,~.
D i c i a m o rapporto i n c r e m e n t a l e p a r z i a l e secondo di f,~(x) rispetto a d x~ ed x~
il r a p p o r t o i n c r e m e n t a l e r i s p e t t o ad w~ del r a p p o r t o i n c r e m e n t a l e r i s p e t t o
14 (3. P u c c ~ : Compattezza di successioni di ]unzioni, etc.
ad x~ e eio~ la s e g u e n t e e s p r e s s i o n e , s u p p o s t o i ~ j ,
,,~ ( i )
R~R~[f,,[x,,..., ~ _ ~ , ~t, x t ' " , ~ , + ~ , . . . , x~_,, ~ , ~.~ , a:~_,,..., .x,.] = {24) -= f,(~a,,..., "*.,,~_~, "'"~.,,,, ~".~+~,.., ~ _ l , x j "~, ~ + , , ..., z , ) -- f ~(~, , ..., ~ _ ~ , ~"~, ~1+~ , ""~,')
(~t"' - - x t ) ( z ; " - - x j )
¢~(z,,..., ~ - ~ , ~ ' " , ~t+,, ..., * , ) - f , , ( * , , . . . , ~,.1 (x~'" - - ~ ) ( ~ ; " - - ~ ) .
e nel e a s o ] : i la s e g u e n t e e s p r e s s i o n e
R , ' [ f ~ l ~ , , ... , ~ t - 1 , ~ , , ~ t " ' , ~ t '') , ~t+~, . . . , ~ , . ] -
f ~ ( ~ , , . . . , ~ - ~ , xt ~', ~t+~, ..., ~,.) - - f , ( x , , ..., xt-~, x~"', x,+~, ..., ~,4
(~5) (~('~ - - wt"))(w( ~ - - wt)
_ f ~ ( x , , . . . , x~_~, ~t(", ~+~, ..., x , . ) - f , ( ~ , , . . . , x,.)
N e s e g u e
{26) _l=$jRtf,~ --- RtR~f,,.
I r a p p o r t i i n e r e m e n t a l i del s e e o n d o o r d i n e sono funzioni di r + 2 variabili.
L a f u n z i o n e RiR~f,,, i:4=j, r i s u l t a d e f i n i t a n e l l ' i n s i e m e A,~ .... ~ o r e st----0 p e r t:~=i, t ~ = j e st --" sj -~-1. L a fun~,ione R~f,, ~ d e f i n i t a n e l l ' i n s i e m e dei p u n t i A,~ ... % o r e s t - - 0 p e r t :4: i, s t - ~ 2.
I n d i e a t o con s~, s~,..., s,. dei h u m e r i interi n o a negativi a v e n d o s p e c i f i e a t o il s i g n i f i e a t o del p r o d o t t o fra gli o p e r a t o r i R t R j r i s u l t a d e f i n i t a la f u n z i o n e (.97)
ove R~s~ i n d i e a l ' o p e r a t o r e Rt r i p e t u t o st volte se s, ~ p o s i t i v o e l' o p e r a t o r e uniter se st = 0. D i e i a m o ehe l ' e s p r e s s i o n e (27) ~ il rapporto inorementale p a r z i a l e di f~(x~) rispetto a d ~t si votte, ..., rispetto a d x,. s,. volte, l~otiamo che l ' e s p r e s s i o n e (27) non si a l t e r a e a m b i a n d o l ' o r d i n e degli o p e r a t o r i che in e s s a e o m p a i o n o . InfatLi p e r la (26) non si a l t e r a la (27) p e r m u t a n d o d u e ope- r a t o r i c o n t i g u i e c o n s u e c e s s i v i s c a m b i si p u b o t t e n e r e d a l l a (27) u n a q u a l s i a s i a l t r a p e r m u t a z i o n e degli o p e r a t o r i considerati. N o t i a m o inoltre ehe se e s i s t e il limite della f u n z i o n e (27) e o m u n q u e ~i ~l~ , ..., xt~s~) t e n d e ad xt p e r i - - 1 , 2,..., r, n a t u r a l m e n t e r i m a n e n d o s e m p r e nel e a m p o As~ ... 8,., a l l o r a tale limite ~ la d e r i v a t a eli f,,(~) nel p u n t o (a~, ,..., x,.) di ordine si r i s p e t t o ad $~i ..., di o r d i n e s,.
r i s p e t t o ad x,..
F i s s a t o a n n u m e r o p o s i t i v o z i n d i c h i a m o con A~ ... s,(~) l ' i n s i e m e dei p u n t i a p p a r t e n e n t i ad A~, ... ~, e tali ehe { ~ a ) _ xt{~)I > % [ x ~ c ~ ) [ > .c p e r 0 < k < ~ s ~ , i = 1, 2, .... r. E s s e n d o A,~ ... ,, u n i n s i e m e a p e r t o a n e h e A~ ... ~,(~) ~ aperto.
C. P v c c I : C o m p a t t e z z a di successioni di f u n z i o n i , ecc. i5 2. Stabiliamo era il seguente l e m m a :
TEOREMA XII. - L e f u n z i o n i f,(a~), n----1, 2, ..., s i a n o d e f i n i t e n e t c a m p o r e t l a n g o l a r e A ---- [ I x.t - - a~ J < at, i - - 1, 2, ..., r]. Se esiste u n n u m e r o p o s i t i v e M e u n a sucoessione { %, } d i h u m e r i p o s i t i v i c o n v e r g e n t i a zero tale vhe (28) f Rl'~ ... R , . ' , f , J < M i n A , , ... ,,(~,) p e r s, 4 - ... 4- s,. --- s 4- 1, n ---- 1, 2, ..., a l l o r a r i s u l t a n o p s e u d o e q u i c o n t i n u i i r a p p o r l i i n e r e m e n t a l i d i o r d i n e s R t ¢ ... R , . ' , f , , s, -+- ... 4- s,. - - s, n - - 1, 2,, ..., c i a s v u n o ~onsiderato i n A,~ ... s,(~,,).
Limitiamoei a dimostrare il teorema nel ease r - - - 2 , s ~ 1. Nel ease generale la dimostrazione 6 identiea m a l e notazioni sono molto pifi ingom- branti. Consideriamo quindi le funzioni f , ( w i , x3} definite in A e proviamo ehe fissato un n u m e r o positive ~ esistono eorrispondentemente due n u m e r i n~, 8~ tali ehe, indicate con (w~, xi ('~, ~3), ( ~ , ~"~, ~3) due punti qualsiasi di Aa,0(~,,), sia
t R , [ f , I x , , x, <'> , x3] - - R~[f,, ] ~,, ~,~', ~3] I <- ~ per n > n~,
(29)
V(x, - - ¢,)3 + (z3 - - f3)' + (x~ - - ~ <
~.
Fissiamo ~=, n~ in mode ehe
(30) % < 8 ~ < ~ m i n [ a , , 1 %] per n > n ~ ;
e quindi, almeno uno dei due n u m e r i J a t - - x t - - 2 ~ [ , l a i - - x i 4 - 2 ~ 3[
minore di ~i (i .-= 1, 2) e poniamo
{31) ~ - - x ~ + 2 ~ se la~-- x ~ - - 2 ~ [ < c l , ~/---w~--2~ se l a i - - x ~ - - 2 ~ ] > a i .
Si ha
I R,[f,, l x,, ~,'", x.2] -- R,[f,, i i,, ~,", ~3]I --< l R,[f,,
l X,, a:i'", x,] - - - - R , [ f . l ~ , , ~,, , x 3 ] l + l R i [ f , , l ~ , , ~ , , ~ ] - - R , [ f , , J ~ , , "~,, x3][-t--+-IR,[L,I~,, ~,, z,]--/~,[f,,I ~,, ~,'t', ~,11+ I/~,[f,,l~,, ~,'~', ~3]-R,[L,i~,, ~,'", ,~311 +
(33}
+ l R , [ f ~ t~t, ~,"), :%]-- R,[f= I ~,, ~,'~', ~311 = l R~[f,,l"},, x,, a~, `t', z3] I { x , - - ~ , I + + [R,~[f. Jx,,
~,, ~,,
=311 t ~ , - - ~ , l - + - I R [ [ f . t ~ , ,¢,, ~:"',
~.]l I ~ i - - ~ , l +Fissato n > n ¢ essendo per la (30) e la (31) { ~ , - - ~ , l > . . , I ~ e ~ - - ~ l > z . e per la (30) e la { 3 2 ) ] ~ , - - ~ , ] > z . , 1 ~ 3 - - ~ 3 ] : ) x , , i punti (~,, ~ , , $ , ' " , w3) , (~,, ~u), ~,, ~3) appartengono a 11,~(..); quindi per i rapporti inerementali del seeondo ordine ehe sono al secondo membro dell'uguaglianza preeedente valgono
16 C. Pucc~: C o m p a t t e z z a di successioni di ] u n z i o n i , eec.
le limitazioni (28), tenuto conto ehe abbiamo supposto s---1, r : 2. Si ottiene q u i n d i
t R , [ f . [ ~ , , ~ , " ) , x~] - -
R,[f,,
I~,, ~,"',
~ ] 1 < M ( 2 1 ~, - - ~, l + l ~, - - ~ , I +q u e s t ' u l t i m a disuguaglianza per le (31), (32~. Pereib per soddisfare alla (29)
$
basra fissare ~ , n~ in modo da soddisfare alle (30) ed inoltre ~ ~ 12--M"
3. Tenuto eonto delle notazioni introdotte al n. 1 e del l e m m a dimostrato al n. 2 stabiliamo il seguente teorema.
TEOREI~A X I I I . - L e f u n z i o n i f,,(x), n---- 1, 2, ..., s i a n o d e f i n i t e nel c a m p o c o n n e s s o A ed e s i s t a u n a successione i %, 1 di n u m e r i p o s i t i v i , convergente a zero, tale che le f u n z i o n i R i ~ ... R,.~f,~, s~ -'e ... + sr - - s, n - - 1, 2, ..., c i a s c u n a c o n s i d e r a t a n e l l ' i n s i e m e A~, ... 8,(%), s i a n o p s e u d o e q u i c o n t i n u e . I n t a l i i p o t e s i esiste u n a successione t f~.,(x)}, s u b o r d i n a t a a d i f,~(xt~, ehe
o c o n v e r g e n t e nel o a m p o A a d u n a f u n z i o n e d o t a t a d i d e r i v a l e p a r z i a l i fino a l l ' o r d i n e s c o n t i n u e i n A ,
o d i v e r g e n t e i n A eccettuato al p i i t u n i n s i e m e d i p u n t i a p p a r l e ~ e n t i a d u n a i p e r s u p e r f i o i e a l g e b r i c a d i o r d i n e s.
OSSERVAZIONE.- Dalla dimostrazione del teorema segue a n c h e t h e se sussiste ta p r i m a eventualit/~, e cio~ !f~.,(x)! ~ eonvergente in A, allora tale suecessione ~ u n i f o r m e m e n t e eonvergente in qualsiasi dominio finito eonte.
nuto in A. 51otiamo inoltre che le ipersuperfiei algebriehe ehe compaiono n e l l ' e n u n e i a t o del t e o r e m a non sono frutto della partieolare dimostrazione seguita ma eorrispondono a easi ehe si possono effettivamente presentare.
Consideriamo ad esempio le funzioni n(x~ + x~), n - - 1 , 2, .... Esse hanno r a p p o r t ( i n e r e m e n t a l i det primo ordine costanti, e quindi equicontinui e la suecessione i n(x~ A- oc~) ! diverge in tutto il piano eccettuato la retta x~ .4_ x~ ~ 0.
I n tal easo s == 1 e la divergenza avviene in un qualsiasi dominio eccettuato i punti di u n a ipersuperfieie algebrica del primo ordine.
D:[MOSTRAZIONE. - P r e m e t t i a m o alla dimostrazione del teorema la defini- zione di opportuni polinomi. Fissati due n u m e r i :¢~, h poniamo
(34) Q~(oc,) - - (x~ - - ad(x~ - - ~ - - h)... [ac~ ~ :q - ij ~ j ! 1)h] per j - - 1 , 2, ...; Q 0 ( x i ) ~ l ; le funzioni Q~(x~} sono polinomi della sola variabile ~ . Notiamo che
R~[ Q~I~ , oc~ + h] = (ac~+h - ~ ) ... (x~+ h - - : q - - { j - - 1)h) - - (x~-- :¢~) ... ( x ~ - - ~ - - ( ] - - l ) h ) = h . j I
_ _ ( x ~ - - a ~ ) ... { x ~ - - a ~ - - ( j - - 2 ) h ( x , + h - - : q ) - [ x ~ - - a ~ - [ j - - l i b ] _ _
- j ~ h - -
- - ( j - - a)~ '
C. P v c c i : C o m p a t t e z z a dl sueeess~oni d~ ] u n z l o n l , eee. 17 e q u i n d i
( 3 5 )
N e s e g u e (36)
R~[QI ] ~ , ~ + h] " - Q I - , p e r j - - 1, 2, ....
R~[Q~ l w~, w~ + h, ..., ~ + vh] = Qi-.~(~c~) p e r v ~ j , v > / . (37) Ri~[Q~ I ~ i , ~ + h, ..., aci + vh] - - 0 p e r Si h a i n o l t r e
Q,(a,) = 0 p e r / :4= O, Qo(a,) = I e q u i n d i p e r le (34), (36), (37)
(38) R ~ [ Q j I = ~ , =~ + h .... , =~ + v h ] - - O p e r v : 4 : j ,
R/[Qj [
~ , , =,+ h,
..., =, + / h ] = 1.S i a a u n p u n t o di A, a - - ( = , , . . . , ~,.}, e h un n u m e r o r e a l e talo ehe s l h ] sia m i n o r e d e l l a d i s t a n z a di a d a F A . R i s u l t a n o p e r c i b d e f i n i t i i n u m e r i (39) ~(J?l.-, J, = R,~, ... R,.i,[f,, 1 % , ~, + h, ..., ~, + j , h , ..., =,., =r + h, ..., =, + f i b ] p e r j , + ... + j,. ~ s e p o n i a m o
S
(40) P , ( x , , . . . , ~,)---- E E Q i , ( x , ) ' " vt,t~,'p t, ... t, p e r n - - l , 2, ....
i=0 i~+...+ir=i
F i s s a t i r h u m e r i interi n o n n e g a t i v i k l , ..., ).,. tali e h e k, + ...-~-k,. ~ 8 si h a R,~, ... R,.~,[ P , I =~ , % + h, ... , =, .-{- ).,h, ... , ~,. , =,. + h, ... , = , . + ) . , . h ] =
= ~ E R,X'[Qt~ ] = , , =, + h, ..., =, + X,h] ...
i=o I~+...+}t=i
, k z,1@i-)
• .. R~'[Qi, t ~ , . , =,- + h, .,. = , + ,.,~j j, . . . ~,,
e d a l l e (38), (39) s e g u e
- - k z.~ _Q.(-}
(41) R ~ . . . R ~ ' [ P , I = , , =~ + h , ..., =, + ).~h, ..., ~,., ~,. + h , ..., =,.-T- ,.,n ---- ~ , ... ~, p e r ),~ + ... + ).,. ~ S.
P o n i a m o
(42) %o.(~) = f.(~) -- P.(~), n = 1, 2, ....
D a l l a (41) s e g u e
( 4 3 ) R , ~' ... R,.~'[~, f =~, % + h, ..., =~ + ),,h, ..., ~,., =,. + h, ..., a,. + ),,.h] = 0 p e r ~ + ... + ).,. ~ s.
S i c c o m e P,,(~), n - - 1 , 2, ..., s o n o p o l i n o m i h e l l e v a r i a b i l i ~, , . . . , o%. di g r a d o s i r a p p o r t i i n c r e m e n t a l i di o r d i n e s d e i l e f u n z i o n i P,(w) s o n o c o s t a n t i e p e r c i b e q u i c o n t i n u i in t u t t o lo s p a z i o ; q u i n d i p e r le (42) e le i p o t e s i d e l t e o r e m a !e f u n z i o n i R~'~... R,.',¢¢,,, c o n s ~ - I - . . . + s ~ - - s ed n---1, 2, ..., s o n o p s e u d o e q u i - c o n t i n u e c i a s c u n a e o n s i d e r a t a in A,, ... ,,(%,).
18 C. PUCOI: C o m p a t t e z z a di .~uccessioni di f~tnzioni, eec.
I n d i c h i a m o con C il c a m p o r e t t a n g o l a r e [ ~c~-- a~ [ ~ sh, i : 1, 2, ..., r ; i n d i e h i a m o i n o l t r e con C~ ... ,, il c a m p o l u o g o d e i p u n t i z ~ (w (0), ..., w ~s~), ...,
~,.(o~, ..., ~,.(~,)) tali che ~v~(~.)=~: ~(~), ]x~ [~) - - ~ [ ~ sh p e r )., ~ - - 0 , 1, ..., s~ e ),=~=[~, i = 1 , 2 , . . . , r, i n d i c h i a m o con C~ ... ~,(~) l ' i n s i e m e dei p u n t i z di C~l ... ., p e r eui t ~ ( ~ ) - - x ~ ( 0 1 > ~ , O ~ ) . ~ _ s ~ , i---1, 2 , . . . , r . E s s e n d o C ~ A e q u i n d i C~ ... ~(~,~)~A~ ... ,,(%~) sono p s e u d o e q n i c o n t i n u e le f u n z i o n i R~ ~ ... R,?'~,~, con s~ -+- ... -~- s,. = s ed n : 1, 2, ..., c i a s e u n a c o n s i d e r a t a in Cs~ ... ~,('~). Ne s e g u e t h e tall funzioni, c i a s e u n a e o n s i d e r a t a in C~ ... ~,(%,), sono a d oscillazione e q u i l i m i t a t a p e r il t e o r e m a V e q u i n d i e q u i l i m i t a t e p e r la (43). D a l l a e q u i l i m i t a t e z z a dei r a p p o r t i i n c r e m e n t a t i di o r d i n e s d e l l e f u n z i o n i ~,~ p e r il t e o r e m a X I I s e g u e la p s e u d o e q u i c o n t i n n i t h dei loro rap- porti i n c r e m e n t a l i di o r d i n e s - - 1 e dal t e o r e m a V e d a l l a (43) s e g u e la e q u i l i m i t a t e z z a di t a l i r a p p o r t i i n c r e m e n t a l i . Cosi p r o e e d e n d o si p r o v a e h e sono p s e u d o e q u i c o n t i n u e ed e q u i l i m i t a t e le f u n z i o n i Rt'~...Rr~,~,, con s~ ÷ ... W s , . ~ s , n - - 1 , 2, ..., e i a s e u n a c o n s i d e r a t a in
C~l,...,S,(~,$)*
C o n v e r g e n d o {C~ ... ,,(z,~)} a C~ ... ~,-+-FCs~ ... 8, p e r il t e o r e m a V I esiste u n a ~.uccessione c r e s e e n t e di h u m e r i n a t u r a l i )~l, ),.~, ..., )~,~, ... tale t h e le s u c c e s s i o n i t R ~ . . . R , . ~ , ~ ) , , !, s ~ - ~ . . . - t - s , . ~ _ ~ , b i c o n v e r g o n o in C~ ... st-+" FCs~ ... s, a f u n z i o n i c o n t i n u e . I n d i c a t o con ~(~) la ~unzione, d e f i n i t a i n C + F C , a eui c o n v e r g e i~),(x) ~, p r o v i a m o che ¢~(x) h a d e r i v a t e p a r z i a l i fino a l l ' o r d i n e s c o n t i n u e in C - b F C . I n d i c h i a m o con ~ ... ~, la f u n z i o n e d e f i n i t a in C,~ ... s , + F C s ~ ... ~ come l i m i t e d e l l a s u c e e s s i o n e i R~s~ ... R,?'T)~, }. Si h a e v i d e n t e m e n t e(44) R~ ~' ... R,.~'~ - " ~8~ ... s, i n Cs~ ... 8, p e r s~ + ... + s,. _~ s.
I n d i c h i a m o con (x~, ~ci(~l, ..., x lS,), ..., wr, ~(11,..., x,.(*')) u n p u n t o di Cs ... ,st;
p e r la cgntinuith~ di %1 ... ~r in Q,, ... s, A - F C ~ ... s, e la (44) esiste il l i m i t e di R , s~ ... R,.s~[~ I x i , ~l(I), ..., ~I~l, ..., x ~ , ~¢,.(~), ..., ~rI~)] p e r ~ - ) ~ ~v~, ), = 1, 2, ..., s~, i - - 1 , 2, ..., r, s~ + . . . - ~ s , ~ s e q u i n d i ~(x) h a d e r i v a t e p a r z i a l i fino a l l ' o r d i n e s in C ed esse r i s u l t a n o c o n t i n u e p e r la eonti- n u i t k di T8 ... ~ . S i c C' u n c a m p o r e t t a n g o l a r e ] x~ - - ~¢/] ~ ai, i - " 1, 2, ..., r, c o n t e n u t o in A e a v e n t e p r o d o t t o con C; come si ~ d e f i n i t o C~, ... ~,(%~) in d i p e n d e n z a di C cosl r i s u l t a d e f i n i t o C's~ ... 8,(%~). E s s e n d o tale i n s i e m e conte- n u t o in A~ ... ~,(:,) le f u n z i o n i R~'~...R,~'%,, si -~-... + s,. = s , n - ~ - 1, 2, ..., r i s u l t a n o p s e u d o e q u i c o n t i n u e c i a s c u n a c o n s i d e r a t a in C'8, ... s,(%,). P e r q u a n t o si ~ p r e c e d e n t e m e n t e m o s t r a t o r e l a t i v a m e n t e al c a m p o C tali f u n z i o n i sono e q u i l i m i t a t e in C8 ... s,(%,)'C'¢ ... s,(x~) ed essendo per il t e o r e m a V ad oscilla.
zione e q u i l i m i t a t a in Cs~ ... 8,(':,~) sono ivi e q u i l i m i t a t e . D a l l a loro e q u i l i m i t a - tezza s e g u e la p s e u d o e q u i c o n t i n u i t ~ t dei r a p p o r t i i n c r e m e n t a l i di o r d i n e s - 1 e cosi p r o c e d e n d o a n a l o g a m e n t e a q n a n t o ~ stato f a t t o p e r il c a m p o C si p r o v a che esiste u n a s u c c e s s i o n e i~l~,(~)!, s u b o r d i n a t a a i~).,(w)t che con- v e r g e in C--b C' ad u n a f u n z i o n e d o t a t a di d e r i v a t e p a r z i a l i fino a l l ' o r d i n e s c o n t i n u e in C - ~ C'.
C. P u c c i : Compattezz~l d~ s~,c(,cssioai, di ]u~,zio~i,, etc. 19 Sia Iv un c a m p o connesso contenuto in A c o n t e n e n t e C, e costituito dalla somma di un n u m e r o finito di campi rettangolari coordinati. P e r quanto stato provato esiste u n a s u c c e s s i o n e t ?p~.n(~)!, s u b o r d i n a t a a t ?~.n(~)}, che c o n v e r g e in L a d u n a funzione d o t a t a di derivate parziali fino a l l ' o r d i n e s continue in /~. Sia t / ~ ! u n a s u c c e s s i o n e di campi di tale tipo invadenti A e t%~,n(x)! le corrispondenti successioni convergenti. S u p p o n i a m o inoltre L ~ L + I e t %~+,,~,(x)! s u b o r d i n a t a a { ?p~,n(x) !. L a s u c c e s s i o n e { ?p,s,n(~) } risulta d u n q u e e o n v e r g e n t e nel campo A ad u n a funzione ?(w) dotata di derivate parziali fino a l l ' o r d i n e s continue in A.
L a sueeessione i Pp,~,n('x)} o ~ e o n v e r g e n t e in A ad u n polinomio di grado minore o u g u a l e di s o ~ d i v e r g e n t e in A e c c e t t u a t o al pih un insieme di punti giaeenti su una i p e r s u p e r f i c i e algebriea di ordine s (,8), Allora per la
(42)
la successione { fr~n,,~ } od b c o n v e r g e n t e nel campo A ad u n a funzione dotata di d e r i v a t e parziali fino a l l ' o r d i n e s, c o n t i n u e in A, o p p u r e ~ diver- genre in A eecezion fatta al pifi per un insieme a p p a r t e n e n t e ad u n a iper- superficie a l g e b r i c a di ordine s.TEOREMA XIV. - L e f u n z i o n i f,,(x), n = 1, 2, ..., siano definite nel campo connesso A e s i a s u n n u m e r o intero n o n negativo. Se esiste u n n u m e r o M e u n a successione I ~, 1 di h u m e r i positivi, convergente a zero, tale t h e
(45) [ R~', ... R,.',f, [ < M i n A,, ... ,,(~,) p e r s, -t- .... -4- sr - - s ÷ 1, n --= 1, 2, ...
a l l o r a esiste u n a suooessione t fx,(x,)}, s u b o r d i n a t a a d t f,,(x~} the
o convergente i n A a d u n a f u n z i o n e dotata di derivate p a r z i a l i fino a l l ' o r d i n e s assolutamente continue i n A,
o divergente i n A eccettuato al pii~ u n i n s i e m e d i p u n t i giacente s u u n a ipersuperficie algebrica d i ordine s (~9).
L e ipotesi di questo t e o r e m a differiseono da quelle del t e o r e m a preee- dente solamente p e r aver supposto la (45) inveee della p s e u d o e q u i e o n t i n u i t k dei r a p p o r t i i n c r e m e n t a l i di ordine s. Si p u b d u n q u e svolgere la stessa dimostrazione p r e c e d e n t e tenuto conto del t e o r e m a X I I e eioi~ the, indicato con C un campo r e t t a n g o l a r e e o n t e n u t o in A, p e r le nostre ipotesi le fun- zioni R~ 8~ ... R~,~'f,~, con s~ -t- ... -~- s,. - - s ed n "-- 1, 2, ..., sono p s e u d o e q u i c o n - tinue c i a s c u n a e o n s i d e r a t a in C~, ... ,~(~,,). Si p r o v a cost ehe per la s u c c e s s i o n e t f,,(x)! si verifiea almeno una delle due eventualiti~ c o n s i d e r a t e nel t e o r e m a preeedente. 5Tel caso pot ehe sussista la p r i m a eventualit~t e eio~ che esista u n a s u c e e s s i o n e i f)..{x) } s u b o r d i n a t a ad {/~(x)}, c o n v e r g e n t e ad u n a funzione f(a~) d o t a t a di d e r i v a t e parziali fino a l l ' o r d i n e s c o n t i n u e in A ne segue per tale convergenza e per la (45) ehe
tR~ ~ . . . R r ~ f [ ~ M in As~ ... 8, p e r s ~ - l - . . . - t - s , . - - s ÷ l (is) Cfr. [11], ~eorema. V, pag. 133.
(19) Esiste un teorema analogo relativo alia derivazione per serie [11], pag. 135, teor. VI.
20 C. P v c c I : Compattezza di successions di funziord, ecc.
e quindi ehe le derivate parziali di ordine s della funzione f(~) sono assolu- t a m e n t e c o n t i n u e in A.
TEO~,MA XV. - Le funzioni f,(x), n - - 1 , 2, ..., siano definite in u n campo connesso A di S,,. Se risultano equilimitati i valori che le funzioni
i n (r + s I p u n t i di A non appartenenti ad u n a stessa
f
a 8 8 u ~ n o n o iper.\ 8 /
superficie algebrica di ordine s e se esiste u n numero positivo M ed una suc.
cessione t~:, ! di humeri positivi, eonvergente a zero, tale the
I R I ~ . . . R J , I < M in As~ ... ~,(L,) per s , ÷ . . . + s , . - - s + l , n - - 1 , 2 , . . . ,
allora esiste una suceessione I fx,(~)}, subordinata ad {f~(x)}, ehe converge in A ad u n a funzione dotata di derivate parziali fino all'ordine s assoluta.
mente continue in A (~0).
Infatti per il t e o r e m a XIV esiste u n a sueeessione t f~.,(x.)} ehe 6 o con- vergente nel eampo A ad u n a funzione dotata di derivate parziali fino all'or- dine s a s s o l u t a m e n t e c o n t i n u e in A o divergente in A eccettuato al pifi dei punti a p p a r t e n e n t i ad u n a ipersuperficie algebriea di ordine s. Q u e s t ' u l t i m a eventualith non pub presentarsi perch~ per ipotesi la sueeessione { f~.,(x) } non divergere i n ( S ÷ r I p u n t i assegnati ehe non giaeciono su u n a stessa
pub \ 8 ]
ipersuperficie algebriea.
TEOnEMA XVI. - Le funzioni f~(x), n - ~ 1, 2, ..., siano definite in u n campo A di S,. e la successione t f , ( x ) ! converga i n u n insieme owenque denso i n A. Se esiste u n a successione {,c, } di numeri positivi, convergente a zero, tale che le funzioni R~ ~ ... R,,',f,, s~ ~ ...--~-s,.--s, n = 1, 2, ..., ciascuna con.
siderata net corrislgondente insieme As~ ... ,,(~,~), sono pseudoequicontinue, allora la suceessione t f,(ac)! converge nel campo A ad una funzione dotala di deri.
rate parziali fino all'ordine s continue in A (~).
I1 campo A 6 n e c e s s a r i a m e n t e somma di un n u m e r o finito o di u n a infinit/t n u m e r a b i l e di eampi connessi privi a due a due di punti comuni.
Indicato con B uno qualsiasi di tall campi eonnessi costituenti A, il teorema provato se dimostriamo che sussiste r e l a t i v a m e n t e a B.
Supponiamo p e r assurdo ehe {f~(~c)} non e o n v e r g a in B. Esiste allora un punto c¢ in B tale ehe
lim" f . ( a ) > lim' f.(c¢)
ed esistono quindi due suecessioni di n u m e r i n a t u r a l i t),,~ }, i ~ , i tali ehe (46) lim f~,(~)= lira" f , ( a ) > lim f ~ , ( a ) = lim' f,(a).
[2o] Questo teorema ~ una generalizzazione di precedenti teoremi di M. PICONE [8], teorema X, L A~iEalO [1], e miei [11], teorema X I I .
('~i) U n teorema analogo ~ stato provato in [10].
