2015
Proff. Giuseppe Scippa
& Lucia Russo
[APPUNTI DI FISICA:
LA RELATIVITA’]
Dai Teoremi del campo elettrico alla Relatività Generale.
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 1 1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico: (pag. 140 vol.2 Caforio-Ferilli)
- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del vuoto:
Φ =
Q𝑖𝑛𝜀̥
Le cariche sono sorgenti del campo elettrico.
2) CIRCUITAZIONE del campo elettrico: (pag.169 vol.2)
- Lungo qualsiasi cammino chiuso la circuitazione del campo elettrico è nulla:
∮ 𝐸 ⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑠 = 0
Qualsiasi campo vettoriale è conservativo se e solo se la sua circuitazione è nulla lungo ogni linea chiusa.
3) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo: (pag. 282 vol.2)
- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.
Φ
m= 0
Non esistono monopoli magnetici isolati (impossibilità di dividere i poli di un magnete).
4) TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE del campo magnetico di Ampere:
(pag.283 vol.2) - La circuitazione del campo magnetico, calcolata lungo qualsiasi cammino chiuso, è
uguale al prodotto della permeabilità magnetica del vuoto per la corrente totale concatenata con il cammino:
∮ 𝐸 ⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑠 = µ˳𝑖𝑐
5) LEGGE DI FARADAY-NEUMANN - (LENZ ): (pag.5 vol.3)
- Se il flusso concatenato con un circuito varia di una quantità ΔΦm in un intervallo di tempo Δt, la f.e.m. indotta f che in media agisce nel circuito nell’intervallo di tempo considerato è:
f =
ΔΦmΔt
la cui unità di misura è Wb/s.
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 2 - Legge di Lenz:
In un circuito, la corrente indotta scorre in verso tale da opporsi (mediante il campo magnetico prodotto) alla variazione di flusso da cui essa stessa ha avuto origine.
- N.B. Questo giustifica il segno meno nella formula di Faraday-Neumann.
LA VELOCITÀ DELLA LUCE PER MAXWELL
La velocità v delle onde elettromagnetiche si può scrivere come:
v =
𝟏√𝜺˳µ˳
con
𝜺˳
: costante dielettrica nel vuoto=
8,854*10-12 C2 /(N m2)e
µ˳ :
permeabilità magnetica nel vuoto = 4 𝜋 *10-7 N/A2 si deduce che è la stessa velocità della luce nel vuoto :C =
𝟏√𝜺˳µ˳
CIRCUITAZIONE AMPERE - MAXWELL
C’è una differenza sostanziale tra il campo elettrico generato da cariche ferme e campo elettrico indotto (con cariche in movimento). Il primo è conservativo (circuitazione nulla lungo qualsiasi linea chiusa), il secondo invece: un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico indotto non conservativo.
IL TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE DI AMPERE : (pag.55 vol.3) Viene modificato così da Maxwell:
∮ 𝐵 ⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑙 =µ˳(𝒊 + 𝜺˳𝑑𝜙 𝑑𝑡)
N.B. il primo termine tra parentesi è l’intensità di corrente che attraversa una superficie il cui contorno è la linea sulla quale si calcola la circuitazione di 𝐵 ⃗⃗⃗ , mentre il secondo termine è la corrente di spostamento che attraversa la stessa superficie.
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 3
EQUAZIONI DI MAXWELL : (pag.56 vol.3)
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 4
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 5 1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico:
- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del vuoto:
Φ =
Q𝑖𝑛𝜀̥0
2) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo:
- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.
Φ
m= 0
3) LEGGE DI FARADAY – NEUMANN – LENZ :
- La circuitazione del campo elettrico 𝐸 ⃗⃗⃗ è la derivata rispetto al tempo, cambiata di segno, del flusso campo elettrico attraverso una superficie avente come contorno una linea chiusa lungo la quale si calcola la circuitazione.
∮ 𝐸 ⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑙 = − 𝑑Φm 𝑑𝑡 )
4) LEGGE DI AMPERE – MAXWELL oppure AMPERE generalizzata:
- La circuitazione del campo magnetico 𝐵 ⃗⃗⃗ è uguale al prodotto della permeabilità magnetica nel vuoto
µ˳
per la somma della corrente concatenata con la linea chiusa lungo la quale si calcola la circuitazione e della corrente di spostamento che attraversa una superficie avente quella linea come contorno:
∮ 𝐵 ⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑙 =µ˳(𝒊 + 𝜺˳𝑑𝜙 𝑑𝑡)
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 6
TRASFORMAZIONI DI GALILEO per la fisica classica:
Siano Σ e Σ’ due sistemi di riferimento spazio-temporali vediamo come si trasformano le coordinate di un evento osservato in un riferimento Σ (x,y,z,t) rispetto alle coordinate dello stesso evento osservato in un riferimento Σ’ (x’,y’,z’,t’) in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto a Σ e avente la direzione di x e x’.
Le trasformazioni di Galileo sono valide per velocità v << C (velocità della luce)
{
𝑥 = 𝑥′+ 𝑣𝑡 𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′ 𝑡 = 𝑡′
⟾
{𝑥′𝑦= 𝑥 − 𝑣𝑡′ = 𝑦 𝑧′ = 𝑧𝑡′ = 𝑡
Ma se la velocità v è di poco inferiore a quella della luce C, o confrontabile con essa, queste non valgono più.
Infatti occorrono le Trasformazioni di LORENTZ per la fisica relativistica:
{
𝑥′= 𝑥−𝑣𝑡
√1−𝑣2 𝑐2
𝑦′= 𝑦 𝑧′= 𝑧 𝑡′= 𝑡−
𝑣𝑥 𝑐2
√1−𝑣2 𝑐2
⟾
{ 𝑥 =
𝑥′−𝑣𝑡′
√1−𝑣2 𝑐2
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝑡′−
𝑣𝑥′
𝑐2
√1−𝑣2 𝑐2
Posto β = 𝑣
𝑐 e γ = 𝟏
√𝟏−𝜷𝟐 (fattore di Lorentz)
Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 7 Esse quindi diventano:
{
𝑥′= 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡) 𝑦′= 𝑦 𝑧′= 𝑧 𝑡′ = 𝛾(𝑡 − 𝛽𝑥
𝑐)
⟾
{
𝑥 = 𝛾(𝑥′ − 𝑣𝑡′) 𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝛾(𝑡′− 𝛽𝑥′
𝑐) Che per valori piccoli di v rispetto a c, cioè con β<<1 si ha γ≈1 e β𝑥
𝑐 ≈0 si ritorna alle trasformazioni classiche di Galileo.
I POSTULATI DELLA RELATIVITA’ RISTRETTA: (pag.93 vol.3)
1. E’ impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro; cioè le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali.
2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali, indipendentemente dallo stato di moto del sistema e della sorgente. Cioè è la stessa “c” sia che venga emessa da una sorgente fissa che da una sorgente in movimento.
N.B. la velocità della luce è una grandezza invariante.
Il tempo relativistico:
Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo t e il tempo t’ non coincidono, cioè il tempo non è più un invariante.
Definizione di simultaneità:
Due eventi nei punti A e B si dicono simultanei se un osservatore, posto nel punto medio M del segmento AB, riceve i segnali luminosi provenienti dai punti A e B nello stesso istante.
Spazio di Minkowski: (quadriuniverso) (pag.100-101 vol.3)
Per il fatto che il tempo non è un invariante Minkowski ideò una quadrupla di valori che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz. Per queste considerazioni le coordinate di un punto-evento non si scrivono (x, y, z, t) ma in realtà sono (x, y, z, ct) moltiplicando l’asse dei tempi per la velocità della luce. E’ come se fosse sottinteso c=1 , in tal modo si possono misurare posizioni e tempi con le stesse unità di misura.
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Simultaneità: (pag.102 vol.3)
Per quanto verificato da Minkowski, la teoria della relatività con Einstein mostra che il tempo non è un concetto assoluto, ma mostra invece che se due osservatori sono in moto relativo, due eventi possono essere simultanei per uno di essi e non simultanei per l’altro osservatore.
Sincronizzazione degli orologi: (pag.102 vol.3)
Per lo stesso motivo: per sincronizzare due orologi si dovrebbe inviare un segnale dal primo orologio al secondo alla velocità della luce e l’osservatore che riceve il segnale deve mettere avanti le lancette di ∆t = 𝑑 𝑐⁄ che rappresenta il tempo impiegato dal segnale luminoso per raggiungere il secondo osservatore.
Dilatazione dei tempi:
Consideriamo l’intervallo di tempo ∆t’ tra due eventi misurati da un osservatore fermo “O” nel primo sistema di riferimento, e ∆t l’intervallo di tempo tra gli stessi eventi, ma misurato da un secondo osservatore “O’ “ in moto rettilineo uniforme con velocità v su un secondo sistema di riferimento:
∆𝑡 = ∆𝑡′
√1 −𝑣2
𝑐2
Se poniamo
γ =
1√1−𝑣2
𝑐2
(fattore di Lorentz)
Si può scrivere:
∆t = γ ∆t’
e poiché il fattore di Lorentz è sempre maggiore di 1 per velocità prossime a quella della luce il tempo misurato da O è sempre maggiore del tempo proprio misurato da O’.
La durata ∆t > ∆t’ per cui si può affermare che ogni orologio in movimento rispetto a noi, marcia con un ritmo più lento; per un orologio in movimento si dilata. Ovviamente il fenomeno è più evidente per velocità prossime a quelle della luce.
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Contrazione delle lunghezze: (pag.111 vol.3)
Ovviamente per gli stessi motivi della dilatazione dei tempi si ha che:
Se d è la distanza fra due punti misurata da un osservatore che li vede fermi, un secondo osservatore in moto rispetto al primo con velocità costante 𝒗⃗⃗ (parallela alla retta che congiunge i due punti) misurerà la distanza d’ fra gli stessi due punti:
d’ = √
1 −
𝑣2 𝑐2d
e usando il fattore di Lorentz:
d’ = 𝑑 𝛾
cioè la distanza fra i due punti è minore di un fattore 1 𝛾⁄ quando i punti si osservano in
movimento rispetto a quando sono visti in quiete, e questo fenomeno è tanto più evidente quanto più la velocità è prossima a quella della luce.
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RELATIVITA’ GENERALE (
Scheda pag.
153 vol.3)Massa relativistica in funzione della velocità:
m = 𝑚0
√1−𝑣2
𝑐2
= γ m
0(pag. 132)
con m0 massa a riposo: è una caratteristica del corpo ed è anche detta massa invariante.
m massa a velocità v: è una grandezza variabile con la velocità.
γ fattore di Lorentz
La quantità di moto non è direttamente proporzionale alla velocità, ma si conserva se il sistema è isolato
𝑝 = m𝒗⃗⃗ = 𝑚0𝒗⃗
√1−𝑣2
𝑐2
= γ m
0 𝒗⃗⃗⃗ (pag. 133)Energia cinetica nella teoria della relatività è:
K = m c2 - m0 c2 (pag. 135) Da cui si ricava:
K = (γ – 1) m0 c2 e da questa si ricava:
m c2 = K + m0 c2
Tutti i termini rappresentano energie, e l’ultimo E0 = m0 c2
è una costante indipendente dal sistema di riferimento. (Einstein la chiamò energia a riposo) e alla E = K +E0
diede il nome di energia totale del corpo, giungendo alla nota equazione E = mc2 . (pag. 136)
E = mc2 = 𝒎𝟎𝒄
𝟐
√𝟏−𝑣2
𝑐2
