Successioni e Serie di Funzioni

Successioni e Serie di

Funzioni

Successioni di funzioni: convergenza puntuale Definizione

Sia I un insieme di numeri reali e sia una successione di funzioni reali definite in I

Si dice che converge puntualmente in I verso la funzione se risulta

f_n(x)

. , :

)

(x I R I R

f_n  

) (x f_n

, :

)

(x I R

f 

;

) ( ) (

lim f_n x f x x I

n





 



x

n x f x n

f ( ) ( )   _, Successioni di funzioni: convergenza puntuale

f(x)+ε

•

•

•

•

•

f_n(x)

f(x)

f(x)-ε

x ε

ε

a b X

Y

Successioni di funzioni:convergenza puntuale

Esempio

Dire se converge la successione Si ha

] 1 , 0 ( ) 1

( _{2 2}

2 

  x

x n x n

f_n

2 1 2

2 2

2 1 1

lim

1 lim )

( lim

2 x x

x n x n

f

n n n n

n 

 

 













Per stabilire la convergenza puntuale si fissa e si considera la successione numerica

I x





Successioni di funzioni

Esempio f_n(x)  xⁿ x[0,1]

) 1 , 0 [ 0

lim  



 xⁿ se x

n

1 1

lim  



 xⁿ se x

n

Successioni di funzioni

Esempio f_n(x) arctgnx xR

Successioni di funzioni

In generale, fissato il numero dipende dal punto x; se invece non dipende da x allora si parla di convergenza uniforme:

,

0

 _,x

x

,



Definizione

converge uniformemente in I verso f(x) se





che tale e da x

non dipend

R ( )

0 _ _

   



I x n

x f x

f_n( ) ( )   _,  

Successioni di funzioni

untuale a

convergenz uniforme

a

convergenz  p

Infatti, fissato è tale che

allora per ogni si può scegliere e quindi la diseguaglianza vale anche

Il viceversa in generale non vale.



  0 se,

,

) ( )

(x  f x  n _ f_n

I x

 _,x _

, .

 

 



n _x

Se le f_n , f sono limitate in I allora converge uniformemente ad f in I se e solo se

0 ) ( ) ( sup

lim  

 

 f_n x f x

I n x

Successioni di funzioni





Esercizio.

Dimostrare che la successione converge uniformemente in [0,1]

Fissato x in [0,1] si ha

nx x x

f_n

  ) 1 (

1 0

lim 





 nx

x

n

Vediamo se la convergenza è uniforme

Quindi converge uniformemente a f(x) = 0 1 0

lim 1 1 0

sup lim

] 1 , 0 [

 



  ^



 nx n

x

n n

Successioni di funzioni, convergenza uniforme

nx x x

f_n

  ) 1 (

Esempio converge uniformemente a zero.

Infatti

n x x x

f_n

2

)

(  

0 lim

2 





 n

x x

n

Successioni di funzioni

4 0 lim 1 sup

lim

2 ]

1 , 0 [



 







 n n

x x

n n

Teorema (continuità del limite uniforme di funzioni continue) Se converge uniformemente in I verso f(x), e tutte le f_n(x) sono continue in x₀, allora anche f(x) è continua in x₀.

In generale la convergenza puntuale di una successioni di funzioni continue non assicura la continuità della funzione limite

Successioni di funzioni





Successioni di funzioni

Esempio f_n(x) arctgnx xR

0

0

0 0 lim

2 2













 

 se x

x se

x se arctgnx

n 



La convergenza non può essere uniforme in quanto la funzione limite non è continua

Serie di funzioni

Serie di funzioni

Sia una successione di funzioni reali definite in . Se la serie numerica

è convergente, cioè se la successione delle somme parziali

converge puntualmente in I, allora si dice che la serie di funzioni

è convergente puntualmente in I.

 

...

) ( ) ( )

( _{1 2}

1









x f x f x f

n n

) ( ...

) ( ) ( ) ( )

( _{1 2}

1

x f x

f x f x f x

S _n

n

k k

n 





R I  )

(

x fissato I

x



...

)

( _{1 2}

1









f f x f

n n

Definizione (convergenza totale)

Se esistono dei numeri reali tali che

e se la serie numerica è convergente in I, allora si dice che converge totalmente in I.

Teorema

La convergenza totale di una serie di funzioni implica quella uniforme:



N n I x M x

f_n( )  _n,  ,  Serie di funzioni

0 Mn



uniforme a

convergenz a totale

convergenz 

Definizione (convergenza uniforme)

La serie converge uniformemente in I verso se la successione delle somme parziali converge uniformemente in I verso .

Teorema

La somma di una serie di funzioni continue convergente uniformemente è anch’essa continua.

(discende dal teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue)





) (x S Serie di funzioni

) (x f_n



) (x S



1 2

cos

n n

Esercizio nx

Dire se converge puntualmente la serie Si ha e

R x



2 2

1 cos

n n

nx  converge

(serie armonica

generalizzata)



1 2

1

n n

Serie di funzioni

Serie geometrica

 

( 1 ) 1

( ₂

x x

x q S_n



 

 







0

2

) 1 (

n

x

Serie di funzioni



























 

 









2 2

- , 0

0

2 2

- , 0 1

) 1 ( 1 lim 1 ) ( lim

2

2

x x

x

x x x

x x S

n n n

Serie geometrica







0

2) 1 (

n

x n

Serie di funzioni

Converge solo puntualmente a perché S non è continua in I





1 , )

(  ₂ x  x

x x S

Converge uniformemente in ogni intervallo del tipo









] ,

[a b  o a b  

Serie telescopica



















 

1

1 n 1

n n

n x n x

Si ha

- converge con somma

- diverge se x > 1 - oscilla se x < -1

) 1 ( )

( ) (

1 1

1    

 _ ^

n x x x f x f x S

n n

n

1 , ) (

lim  

 S x x x

S _n

n

Serie di funzioni

Sia una successione di numeri reali, si chiama serie di potenze di punto iniziale zero, la serie di funzioni:

dove a , a ,…, a ,…. sono i coefficienti e x è il centro

 







0

0 n

n

n

n x x

a

 

Serie di funzioni Serie di potenze

2) 0 < r < +∞ allora la serie Serie di potenze

Se il centro è x₀ = 0, per la serie di potenze si possono avere 3 casi:

1) r = 0 allora la serie di potenze converge solo in x =0

converge assolutamente per e totalmente in ogni

non converge per

) , ( r r x 

3) r = +∞ allora la serie

converge assolutamente in ogni

e totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato di R:

) , ( ] ,

[   r r r

x 

R x

 R

 , ] [  



2) 0 < r < +∞ allora la serie Serie di potenze

Se il centro è x₀ ≠ 0, per la serie di potenze si possono avere 3 casi:

1) r = 0 allora la serie di potenze converge solo in x = x₀

converge assolutamente per e totalmente in ogni

non converge per

) ,

(x₀ r x₀ r

x  

3) r = +∞ allora la serie

converge assolutamente in ogni

e totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato di R:

) , ( ] ,

[x₀ x₀  x₀r x₀r r

x x ₀ 

R x

 R

 , ] [  

 



Teorema di Cauchy Data la serie

se

allora







n n n

a lim

 







0

0 n

n

n x x

a



 1 r

Serie di potenze

Teorema di D’Alembert

Data la serie se

e se ^ _



 n

n

n a

a ₁ lim

 







0

0 n

n

n x x

a

 1

Serie di potenze

,

0 n

a_n  









Serie di potenze



02 5

n

n n x n Esercizio

Determinare l’intervallo di convergenza delle seguenti serie di potenze

Si trova r=2, quindi I=(-2, 2)

Serie di potenze

1

) 1 (

0 1

2 





x centro di

n x

n

n

Si trova r = 1 quindi I= (-2,0)

Serie di potenze



 

1 2

)!

1

n (

xn

n n

Si trova r = +∞ quindi I = R

Serie di potenze

 







1( 1)2 ) 1 (

n n

n

n x

Si trova r = 2 quindi I = (-1,3)

Esercizio

Determinare per quali valori di x converge la seguente serie Serie di funzioni



 









  



 





1

1

n 2

n n

x x

Separo in due serie:

 

 



 



 ^







1 1

1

2 n n

n

n

x x

Sono due serie geometriche, una di ragione e l’altra di

ragione 2

x x

1

Esercizio

Determinare per quali valori di x converge la seguente serie



1 n

nx

n e

Esercizio

Studiare la convergenza della seguente serie



0 n

n nxcos x sin

Esercizio

Studiare la convergenza della seguente serie

 





  2

) 1

e( n

x n

enx