Successioni di funzioni – 1

Successioni di funzioni – 1

Riccarda Rossi

Universit` a di Brescia

Analisi II

Richiami di teoria

Data una successione di funzioni f n : I ! R

1. Convergenza puntuale Per x 2 I fissato, studio la successione numerica {f n (x) }

Si trovano l’insieme di convergenza A =

⇢

x 2 I : lim

n !+1 f n (x) 2 R ✓ I e la funzione limite

f : A ! R , f (x) = lim

n !+1 f n (x) , 8 x 2 A .

2. Convergenza uniforme di {f n } ad f in A (o su un suo sottoinsieme) Ad n 2 N fissato studio a n = sup

x 2A |f n (x) f (x)|

8 <

:

n!+1 lim a n = 0 ) conv. unif. in A

n !+1 lim a n 6= 0 ) NO conv. unif. in A

Siano f n : I ! R, 8 n 2 N, ed f : I ! R.

1. Se f n 2 C ⁰ (I ), 8 n, ed {f n } converge uniformemente ad f in I , allora f 2 C ⁰ (I ).

2. Se I = [a, b], f n `e integrabile in I , 8 n, e {f n } converge uniformemente ad f in I , allora f `e integrabile in I e

n!+1 lim Z b

a

f n (x) dx = Z b

a

f (x) dx 3. Se I `e un intervallo, f n `e derivabile in I , 8 n

a. f

! f puntualmente in I b. f

! g uniformemente in I dove g : I ! R, allora

i. f

! f uniformemente in I ii. f `e derivabile in I

iii. f

(x) = g (x), 8 x 2 I .

Esercizio 1.

Stabilire l’insieme di convergenza puntuale e calcolare il limite di f n (x) = (sin x) ⁿ 8 x 2 R.

Convery

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Es. 2.

Calcolare il limite puntuale di

f n (x) = arctan(nx)

n 8 x 2 R.

Si ha convergenza uniforme?

Convergenza puntuale.

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Es. 3.

Convergenza puntuale e uniforme di f n (x) = x

1 + nx ² 8 x 2 R.

.

Convoy

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Esercizio assegnato

Convergenza puntuale e uniforme di f n (x) = tanh(n ² x)

p n 8 x 2 R.

Es. 4.

Convergenza puntuale e uniforme di

f n (x) = nxe ^nx

su I = [0, + 1[. =g ⁽

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Es. 5.

Convergenza puntuale e uniforme di f n (x) =

s

x + nx ² sin ²

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n(x + 1)

◆ . su [0, +1).

Convergenza puntuale:

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