Successioni di funzioni

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni: convergenza puntuale Definizione

Sia I un insieme di numeri reali e sia una successione di funzioni reali definite in I,

Si dice che converge puntualmente in I verso la funzione se risulta

Cioè se

{ }

.

,

: I R I R

f

→ ⊆

fn

,

: I R

f →

;

) ( )

(

lim

n

= ∀ ∈

+∞

→

:

0 e ∀ x ∈ I ∃

∈ R

>

∀ ε ν

x

n

x f x n

f x

f ( ) − ε < ( ) < ( ) + ε ∀ > ν

x

n

x f x n

f ( ) − ( ) < ε ∀ > ν

Successioni di funzioni: convergenza puntuale

f(x)+ε

•

•

•

•

•

f_n(x)

f(x) f(x)-ε

x ε

ε

a b X

Y

Successioni di funzioni:convergenza puntuale

Esempio

Dire se converge la successione Si ha

] 1 , 0 (

) 1

(

2

+ ∈

=

x n x n

f_n

2 1 2

2 2

2

1 1

lim 1

lim )

( lim

2 x x

x n x n

f

n n n n

n

=

= +

= +

+∞

→ +∞

→ +∞

→

Per stabilire la convergenza puntuale si fissa e si considera la successione numerica

x ∈ I

{ ^f

^{(x )} }

Successioni di funzioni

Esempio

f

( x ) = x

x ∈ [ 0 , 1 ]

) 1 , 0 [

0

lim = ∈

+∞

→

x se x

n

1

1

lim = =

+∞

→

x

se x

n

Successioni di funzioni

Esempio

f

( x ) = arctg nx x ∈ R

0

0

0

0

lim

2 2

>

=

<

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧−

+∞

=

→ se x

x se

x se arctgnx

n π

π

Successioni di funzioni

In generale, fissato il numero dipende dal punto x; se invece non dipende da x allora si parla di convergenza uniforme:

,

> 0

ε ν

x ε,

ν

converge uniformemente in I verso f(x) se

{ ^f

^{(x )} }

che tale

e da x non dipend

R ( )

0 ν_ε ν_ε

ε > ∃ ∈

∀

I x

n x

f x

f_n

( ) − ( ) < ε ∀ > ν

, ∀ ∈

Successioni di funzioni

untuale a

convergenz uniforme

a

convergenz ⇒ p

Infatti, fissato è tale che

allora per ogni si può scegliere e quindi la diseguaglianza vale anche

Il viceversa in generale non vale.

ν

ε > 0 se ,

,

) ( )

( x − f x < ε ∀ n > ν

f

x ∈ I

∀ ν

= ν

, ε

.

ε

ν

ν =

>

∀ n

Se le f_n , f sono limitate in I allora converge uniformemente ad f in I se e solo se

0 )

( )

( sup

lim − =

+∞ ∈

→

f

x f x

I n x

Successioni di funzioni

{ ^f

^{(x )} }

Esercizio.

Dimostrare che la successione converge uniformemente in [0,1]

Fissato x in [0,1] si ha

nx x x

f

= + ) 1 ( 1 0

lim =

+

+∞

→

nx

x

n

Vediamo se la convergenza è uniforme

Quindi converge uniformemente a f(x)=0

1 0 lim 1 1 0

sup lim

] 1 , 0 [

+ =

=

+ −

+∞

→

nx n

x

n n

Successioni di funzioni, convergenza uniforme

nx x x

f

= +

) 1

(

Esempio converge uniformemente a zero. ^{( ) , [0,1]}

2

− ∈

= x

n x x x

f_n

0 lim − ² =

+∞

→ n

x x

n

Successioni di funzioni

4 0 lim 1 sup

lim

2 ]

1 , 0

[ − = =

+∞

→ +∞

→ n n

x x

n n

Infatti

Teorema (continuità del limite uniforme di funzioni continue) Se converge uniformemente in I verso f(x), e tutte le f_n(x) sono continue in x₀, allora anche f(x) è continua in x₀.

In generale la convergenza puntuale di una successioni di funzioni continue non assicura la continuità della funzione limite

Successioni di funzioni

{ ^f

^{(x )} }

Successioni di funzioni

Esempio

f

( x ) = arctg nx x ∈ R

0

0

0

0

lim

2 2

>

=

<

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧−

+∞

=

→ se x

x se

x se arctgnx

n π

π

La convergenza non può essere uniforme in quanto la funzione limite non è continua

Serie di funzioni

Serie di funzioni

Sia una successione di funzioni reali definite in . Se la serie numerica

è convergente, cioè se la successione delle somme parziali

converge puntualmente in I, allora si dice che la serie di funzioni

è convergente puntualmente in I.

{ }

...

) ( )

( )

( _{1 2}

1

+ +

∑

=

x f x

f x

f

n

n

) ( ...

) ( )

( )

( )

( _{1 2}

1

x f

x f

x f x

f x

S _n

n

k

k

n =

∑

=

I ⊆ R )

(

x fissato x ∈ I

∀

...

2 1

1

+ +

∑

∞ +

=

f f

f

n

n

Definizione (convergenza totale)

Se esistono dei numeri reali tali che

e se la serie numerica è convergente in I, allora si dice che converge totalmente in I.

Teorema

La convergenza totale di una serie di funzioni implica quella uniforme:

∑

N n

I x

M x

f_n( ) ≤ _n, ∈ , ∈ Serie di funzioni

≥ 0 Mn

∑

uniforme a

convergenz a totale

convergenz ⇒

Definizione (convergenza uniforme)

La serie converge uniformemente in I verso se la successione delle somme parziali converge uniformemente in I verso .

Teorema

La somma di una serie di funzioni continue convergente uniformemente è anch’essa continua.

(discende dal teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue)

{

}

) (x S Serie di funzioni

) (x f_n

∑

) (x S

converge totalmente

∑

∞ +

=1

2

cos

n n

Esercizio nx

Dire se converge puntualmente la serie Si ha e

x ∈ R

∀

2 2

1 cos

n n

nx ≤ converge

(serie armonica

generalizzata)

∑

∞ +

=1 2

1

n n

∑

⇒ cos₂

n

nx Serie di funzioni

te puntualmen converge

nte uniformeme

converge

⇒

⇒

Serie geometrica

[ ]

[ ]

1 1 1 (1 2) )

( 1

) ( ) 1

( x

x x

q x x q

S

n n n

+ +

−

= −

−

= −

∑

=

−

0

2) 1

(

n

x n

Serie di funzioni

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

≤

≥

=

<

<

≠

∞

− =

= −

+ +∞

→ +∞

→

2

, 2

0

2 2

- , 0

1 )

1 ( lim 1

) ( lim

2 2

1 2

x x

ata indetermin

x

x x x

x x x

S

n n n

n

Serie geometrica

∑

=

−

0

2) 1

(

n

x n

Serie di funzioni

Converge solo puntualmente a

perché S non è continua in I ^{( ) = 1}₂ ^{, x∈}

(

)

x x S

Converge uniformemente in ogni intervallo del tipo

(

)

(

)

] ,

[a b ⊂ o a b ⊂ −

Serie telescopica

∑

∞ +

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− +

1

1 n 1

n n

n x n

x

Si ha

- converge con somma

- diverge se x > 1 - oscilla se x < -1

) 1 ( )

( )

(

1 1

0

− = − +

=

+

+

n

x x x

f x

f x

S

n n

n

1

,

lim = ≤

=

S x x

S

n

Serie di funzioni

Teorema di integrazione per serie (termine a termine)

Sia una successione di funzioni continue in [a,b], se la serie è convergente uniformemente in [a,b] verso allora

= ∑ ∫

= ∫ ∑

∫

b

a n

b

a

S ( x ) dx ( f ( x ) ) dx f ( x ) dx

Serie di funzioni

{ }

∑

) (x S

Esercizio

Dire se la serie è integrabile termine a termine in

∑

∞ +

=0

1

n xn

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∈ ,2 2 x 3

Teorema di derivazione per serie (termine a termine)

Sia una successione di funzioni derivabili in (a,b) con derivata continua in [a,b]. Se

i) converge almeno in un punto

ii) converge uniformemente in [a,b] con somma

allora anche converge uniformemente in [a,b] e se S(x) è la sua somma , si ha

] , [

A(x)

) ( )

( )

(x f x f x x a b

S _n = _nʹ = ∀ ∈

ʹ

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

ʹ

∑ ∑

Serie di funzioni

{ }

∑

) (x

∑

] ,

0 [a b x ∈

∑

Esercizio

Dire se la serie è derivabile termine a termine

∑

+∞

=

+

+

1

1

n 1

n

n x

Sia una successione di numeri reali, si chiama serie di potenze di punto iniziale zero, la serie di funzioni:

dove a₀, a₁,…, a_n,…. Sono i coefficienti.

L’intervallo I in cui tale serie converge si chiama intervallo di convergenza. Il raggio di convergenza è l’estremo

superiore r di tale intervallo

∑

∞ + n=0

nxn

a

{ } a

Serie di funzioni Serie di potenze

2) 0 < r < +∞ allora Serie di potenze

Si possono avere 3 casi:

1) r =0 allora la serie di potenze converge solo in x =0

e totalmente e dunque assolutamente in ogni

non converge per

∑

3) r = +∞ allora converge in ogni

e totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato di R:

∑

) , (

] ,

[ − δ δ ⊂ − r r x > r

∑

x ∈ R

⊂ R

− , ]

[ δ δ

Teorema di Cauchy Data la serie

se

allora

= !

+∞

→

n n nlim a

∑

∞ + n=0

nxn

a

!

= 1 r

Serie di potenze

l

l

(Se l=0 0 ) (se != ⇒ r = +∞

Teorema di D’Alembert

Data la serie se

e se

allora

= !

+ +∞

→ n

n

n a

a ₁ lim

∑

∞ + n=0

nxn

a

!

= 1 r

Serie di potenze

,

0 n

a_n ≠ ∀

)

0

(se != ⇒ r = +∞

l

l

(Se l=0

Teorema: raggio di convergenza della serie derivata

Una serie di potenze ha lo stesso raggio di convergenza della sua serie derivata.

Dimostrazione: data la serie Se si ha

e quindi per il criterio di D’Alembert la serie di potenze e la sua derivata hanno lo stesso raggio di convergenza

= !

+ +∞

→ n

n

n a

a ₁ lim

∑

∞ + n=0

nxn

a Serie di potenze

,

0 n

a_n ≠ ∀

n n n n

n

n a

a na

a

n _{1 1}

) lim 1

lim ( ⁺

+∞

→ +

+∞

→ + =

l

Teorema: derivazione e integrazione della serie di potenze

Se la serie di potenze ha raggio di convergenza non nullo e se è la sua somma, cioè

Allora anche f è derivabile e si ha

e quindi per il criterio di D’Alembert la serie di potenze e la sua derivata hanno lo stesso raggio di convergenza

∑

∞ + n=0

nxn

a

Serie di potenze

) (x f

,

, )

(

1

1 ∀ < ρ

ʹ =

∑

+∞

=

− x

x na x

f

n

n n

, 0 con

,

, )

(

0

>

<

∀

=

∑

+∞

=

ρ x ρ

x a x

f

n

n n

,

1 , )

(

0

1 0

ρ

<

+ ∀

=

∑

∫

∞ +

=

+ x

n x dt a

t f

n

n n x

Serie di potenze

∑

∞ +

=0 2 5

n

n n x n Esercizio

Determinare l’intervallo di convergenza delle seguenti serie di potenze

Si trova r=2, quindi I=(-2, 2)

Serie di potenze

1

) 1

( 0

1 +2 = −

∑

∞ +

=

x centro n di

x

n

n

Si trova r = 1 quindi I= (-2,0)

Serie di potenze

∑

∞ +

=₁ +

2

)!

1

n (

xn

n n

Si trova r = +∞ quindi I= R

Serie di potenze

∑ +

−

∞ +

=1( 1)2 ) 1 (

n n

n

n x

Si trova r = 2 quindi I= (-1,3)

Esercizio

Determinare per quali valori di x converge la seguente serie Serie di funzioni

∑

∞ +

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

1

1

n 2 n

n

x x

Separo in due serie:

+ ∑

∑ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ^+∞

=

∞ +

=1 1

1

2 ^{n n}

n

n

x x

Sono due serie geometriche, una di ragione e l’altra di

ragione 2

x x

1

Esercizio

Determinare per quali valori di x converge la seguente serie

∑

∞ + n=1

nx

n e

Fissando x si ha una sere numerica e converge per x<0. Si può trovare questo risultato utilizzando uno dei criteri

sufficienti (per esempio quello della radice) studiati per le serie numeriche.

Se x=0 si ha una serie armonica divergente. Se x>0 la serie data non soddisfa la condizione necessaria di convergenza .

Esercizio

Studiare la convergenza della seguente serie

∑

∞ + n=0

n nx cos x sin

Esercizio

Studiare la convergenza della seguente serie

[ ]

∑

∞ +

=

− + 2

) 1

e( n

x n

enx