k z j zi TE

APPENDICE C

COEFFICIENTI DI RIFLESSIONE GENERALIZZATI

Come abbiamo visto nel paragrafo 2.5, l’espressione della funzione di Green nel dominio spettrale è data da:

) ( T ~ G ~ 2

k z j _zi ^TE

A xx

= µ

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

+

= _TM

zi TE

zi TE zi i q

z jk k

k k

j 1 T ~

T ~ T ~

2 G ~ 1

2 2

ε ρ

dove vale

(2 )

T  _TE = ⎡ ⎣ e ^{− jk z}

+ R _TE + e ^{− jk}

^d

^{− z} − R _TE ⁻ e ^{− jk z}

⎤ ⎦

( ) ⁽

⁾ ( )

2

2 2

T _TE ^zi T _TE 1 T _TM ^{jk z}

R _TE R _q ^jk

^{d z} R _TE R _q ^{jk z}

zi

k e e

k _ρ jk z

− −

− + + − − −

⎛ ∂ ⎞

⎡ e ⎤

+ ⎜ ⎝ + ∂ ⎟ ⎣ ⎠ = + + + + ⎦

  

2

R _q k ^zi 2 R _TE R k _ρ

± = ⎡ ⎣ ± − ^{TM ±} ⎤ ⎦

I coefficienti R , R _TE ^± _TM ^± valgono:

S.Mugnaini – Tesi di Laurea: “Implementazione di un codice...”

( ) ^{, 1 , , 1 , , 1 , 2}

, , 1 , 1 2

, ,

R R R

R ,

1 R R

zi

zi i

j k z

i i i i i i

TE TM TE TM TE TM

TE TM i i i i j k d

TE TM TE TM

z e per TM per TE

e

−

± + −

+

−

+ −

± + ⎫ ⎪

= − ⎬ ⎪⎭ −

  

  +

( ) ^{, 1 , , 1 , , 1 , 2 ( 1 )}

, , 1 , 1 2

, ,

R R R

R ,

1 R R

zi

zi i

j k d z

i i i i i i

TE TM TE TM TE TM

TE TM i i i i j k d

TE TM TE TM

z e per TM per TE

e

− −

− + −

−

−

+ −

± + ⎫ ⎪

= − ⎬ ⎪⎭ −

  

  +

dove i coefficienti sono i coefficienti di riflessione generalizzati TE e TM all’interfaccia tra la regione i e i+1 di un mezzo stratificato, come mostrato in figura C.1:

, 1

R  _{TE TM} ^{i i +} ,

Fig. C.1: Generico mezzo multistrato limitato inferiormente da un piano di massa perfettamente conduttore.

Tali coefficienti valgono:

Regione (0) Regione (1) Regione (i) Regione (i+1)

Regione (n)

Regione (n-1)

156

APPENDICE C

1 1

1 1

1 1

1 1

2 1, 2

, ,

, 1

, 1, 2 2

, ,

1, 2 2

, ,

, 1

, 1, 2 2

, ,

R R

1 R

R R

1 R

i i

i i

i i

i i

d

i i i

TE TM TE TM

i i

TE TM i i i d

TE TM TE TM

i i i d

TE TM TE TM

i i

TE TM i i i d

TE TM TE TM

r e

r e

r e

r e

γ γ

γ γ

+ + + +

− −

− −

+ + + −

+

+ + + −

−

− − −

−

−

− − −

= + +

= + +

 



 



I coefficienti di riflessione possono essere calcolati in modo iterativo partendo da

• R  ^0,1 = r ^{1 −}

• R  ^n-1,n = r ^{( n − + 1)}

dove il parametro r è il coefficiente di riflessione locale tra due strati adiacenti e può essere scritto come:

1

1

i i 1

i i 1

0 se siamo in spazio libero

1 se siamo all'interfaccia con un piano di massa altrove

i i

i i

i TE

r r

r r

r

γ µ γ µ γ µ ^± _± γ µ

±

±

±

⎧ ⎪

⎪⎪ −

= ⎨ ⎪ −

⎪ +

⎪⎩

157

S.Mugnaini – Tesi di Laurea: “Implementazione di un codice...”

1

1

i i 1

i i 1

0 se siamo in spazio libero

1 se siamo all'interfaccia con un piano di massa altrove

i i

i i

i TM

r r

r r

r

γ ε γ ε γ ε ^± _± γ ε

±

±

±

⎧ ⎪

= ⎨ ⎪⎪

⎪ −

⎪ +

⎪⎩

158