ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

(1)

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

26 marzo 2009

(2)

2 Esercizio 1 Calcolare l’integrale

Z dx

cos x − 2 tan x + _{cos x} ² .

[Suggerimento : provare a trasformare la funzione integranda in una funzione razionale di sin x; poi usare il metodo di decomposizione in fratti semplici]

Esercizio 2 Dimostrare che l’integrale improprio Z _+∞

0 dx (2 + 3x) ⁷

`e convergente, e successivamente calcolarlo.

Esercizio 3 Dimostrare (senza calcolarlo) che converge l’integrale improprio Z _+∞

0 x dx

(1 + x ³ ) arctan(x ^3/2 ) .

[Attenzione: l’integrale precedente `e ”doppiamente” improprio !]

Esercizio 4 Studiare la convergenza dell’integrale improprio Z ₁

0 1 1 − √

x dx . Esercizio 5 Dimostrare che la funzione

F (x) = Z _x

1 dt log(1 + t ² )

`e crescente e illimitata nell’intervallo (0, +∞), con

x→0 lim

⁺

F (x) = −∞ , lim

x→+∞ F (x) = +∞ . Esercizio 6 Stabilire per quali α > 0 converge l’integrale

Z _∞

1

1 (x + 1) log ^α (x + 1) dx, dedurne un criterio di convergenza per la serie

X ∞ k=1

1 (k + 1) log ^α (k + 1)

(3)

3 Esercizio 7 . Dimostrare o confutare

1. Se f `e una funzione integrabile in ogni intervallo reale ed esiste finito

a→+∞ lim Z _a

0 f (x)dx = Z _+∞

0 f (x)dx, allora lim x→+∞ f (x) = 0

2. Se f `e una funzione che soddisfa alle ipotesi del punto precedente, allora f `e limitata superiormente.

3. Se f `e una funzione che soddisfa alle ipotesi dei punti precedente ed inoltre f (x) ≥ 0 allora f `e limitata superiormente.

4. Se f `e una funzione continua sulla semiretta [0, +∞) e lim x→+∞ f (x) =

` esiste finito, ed inoltre esiste l’integrale improprio Z _+∞

0 f (x)dx, allora ` = 0.

5. Se f `e una funzione continua e periodica di periodo T > 0 definita su tutta la retta reale ed esiste l’integrale improprio

Z _+∞

0 f (x)dx, allora f `e identicamente nulla.

Esercizio 8 () Determinare per quali α ∈ R esiste il limite*

t→+∞ lim Z _t

0 sin(x ^α )dx = Z _+∞

0 sin(x ^α )dx.

Esercizio 9 Stabilire se esistono i seguenti integrali impropri:

Z _+∞

0 √ 1

x + x ² dx, Z _+∞

0 √ 1 x dx, Z _+∞

0 1 x ² dx Z _+∞

0 sin x x dx, Z _+∞

0 x sin(1/x)dx.

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

26 marzo 2009

2

Esercizio 1 Calcolare l’integrale

Z dx

cos x − 2 tan x + cos x 2 .

[Suggerimento : provare a trasformare la funzione integranda in una funzione razionale di sin x; poi usare il metodo di decomposizione in fratti semplici]

Esercizio 2 Dimostrare che l’integrale improprio Z +∞

0

dx (2 + 3x) 7

`e convergente, e successivamente calcolarlo.

Esercizio 3 Dimostrare (senza calcolarlo) che converge l’integrale improprio Z +∞

0

x dx

(1 + x 3 ) arctan(x 3/2 ) .

[Attenzione: l’integrale precedente `e ”doppiamente” improprio !]

Esercizio 4 Studiare la convergenza dell’integrale improprio Z 1

0

1 1 − √

x dx . Esercizio 5 Dimostrare che la funzione

F (x) = Z x

1

dt log(1 + t 2 )

`e crescente e illimitata nell’intervallo (0, +∞), con

x→0 lim

F (x) = −∞ , lim

x→+∞ F (x) = +∞ . Esercizio 6 Stabilire per quali α > 0 converge l’integrale

Z ∞

1

1

(x + 1) log α (x + 1) dx, dedurne un criterio di convergenza per la serie

X ∞ k=1

1

(k + 1) log α (k + 1)

3 Esercizio 7 . Dimostrare o confutare

1. Se f `e una funzione integrabile in ogni intervallo reale ed esiste finito

a→+∞ lim Z a

0

f (x)dx = Z +∞

0

f (x)dx, allora lim x→+∞ f (x) = 0

2. Se f `e una funzione che soddisfa alle ipotesi del punto precedente, allora f `e limitata superiormente.

3. Se f `e una funzione che soddisfa alle ipotesi dei punti precedente ed inoltre f (x) ≥ 0 allora f `e limitata superiormente.

4. Se f `e una funzione continua sulla semiretta [0, +∞) e lim x→+∞ f (x) =

` esiste finito, ed inoltre esiste l’integrale improprio Z +∞

0

f (x)dx, allora ` = 0.

5. Se f `e una funzione continua e periodica di periodo T > 0 definita su tutta la retta reale ed esiste l’integrale improprio

Z +∞

0

f (x)dx, allora f `e identicamente nulla.

Esercizio 8 (*) Determinare per quali α ∈ R esiste il limite

t→+∞ lim Z t

0

sin(x α )dx = Z +∞

0

sin(x α )dx.

Esercizio 9 Stabilire se esistono i seguenti integrali impropri:

Z +∞

0

√ 1

x + x 2 dx, Z +∞

0

√ 1 x dx, Z +∞

0

1 x 2 dx Z +∞

0

sin x x dx, Z +∞

0

x sin(1/x)dx.

cos x − 2 tan x + _{cos x} ² .

Esercizio 2 Dimostrare che l’integrale improprio Z _+∞

dx (2 + 3x) ⁷

Esercizio 3 Dimostrare (senza calcolarlo) che converge l’integrale improprio Z _+∞

(1 + x ³ ) arctan(x ^3/2 ) .

Esercizio 4 Studiare la convergenza dell’integrale improprio Z ₁

F (x) = Z _x

dt log(1 + t ² )

Z _∞

(x + 1) log ^α (x + 1) dx, dedurne un criterio di convergenza per la serie

(k + 1) log ^α (k + 1)

a→+∞ lim Z _a

f (x)dx = Z _+∞

` esiste finito, ed inoltre esiste l’integrale improprio Z _+∞

Z _+∞

Esercizio 8 () Determinare per quali α ∈ R esiste il limite*

t→+∞ lim Z _t

sin(x ^α )dx = Z _+∞

sin(x ^α )dx.

Z _+∞

x + x ² dx, Z _+∞

√ 1 x dx, Z _+∞

1 x ² dx Z _+∞

sin x x dx, Z _+∞