INTEGRALI IMPROPRI Esercizi proposti
1. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri:
a)
+∞
0 e−x dx ,
1
0 log x dx [1] , [−1]
b)
+∞
1
1
x2 + xe−x
dx [1 + 2e]
c)
2
0
1 x +√
xdx [2 log(1 +√
2)]
d)
+∞
−∞
1
x2+ 4x + 9 dx [√π5]
e)
+∞
0
log(1 + x)
x3/2 dx [2π]
2. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore:
+∞
0
x
(x + 1)3 dx [12]
3. Stabilire per quali valori di n ∈ IN converge l’integrale improprio In=
+∞
2
x2n+1
(x2− 1)3dx .
Calcolarlo per il pi`u grande di essi. [ n≤ 1 ; 367] 4. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri; se converge,
calcolare b).
(a)
+∞
−∞
arctan x
|x|α dx [conv. se α∈ ]1, 2[ ]
(b)
1
0 x log x x− 1
dx [12]
5. Studiare la convergenza assoluta del seguente integrale improprio :
+∞
2
sin x + cos x
x2 − x − 1 dx [conv. ass.]
6. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri:
a)
+∞
2
√ 1 x√
x2− 2 dx [conv.]
b)
3
0
1− cos x x2sin√
x dx [conv.]
c)
12
0
1− cos x x2sin√
x dx [div.]
