15. ESERCIZI su INTEGRALI IMPROPRI Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa. 1. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

(1)

15. ESERCIZI su INTEGRALI IMPROPRI Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

x !0

⁺

f (x) = + 1. Allora A.

Z 1 0

f (x) dx diverge

B. Z ₁

0 f (x)

x diverge C.

Z 1 0

f (x)

p x converge

2. Sia f (x) funzione continua e positiva in [a, + 1) tale che lim _x

!+1 f (x) = 0. Allora A.

Z + 1 a

f (x) dx esiste (finito o infinito)

B. Se Z + 1

a

f (x) dx converge allora Z + 1

a

f ² (x) dx converge

C. Se Z + 1

a

f (x) dx diverge allora Z + 1

a

f ² (x) dx diverge

3. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

x!0

⁺

p x f (x) = + 1. Posto F (x) = Z 1

x

f (t) dt, si ha che

A. esiste lim

x !0

⁺

F (x) B. lim

x!0

⁺

F (x) 2 R C. lim

x!0

⁺

F (x) = + 1

Calcolare i seguenti integrali impropri

4. Z ₁

0 x log(x ² + x) dx

5. Z 1 0

sinh x e ^x 1 dx 6.

Z 2 0

x | log x| dx

7. Z + 1 1

1 x + x p

x dx 8.

Z + 1 1

x ² e ^x dx

9. Z ₊₁

0 log(x + 1) (x + 2) ² dx

96

(2)

Stabilire se i seguenti integrali impropri risultano convergenti

10. Z 1 0

log(1 + x) + sin p x e ^x

²

cosh x dx 11.

Z 1 0

1 p

3

_x

sin x 1 dx 12.

Z ₁

0 arcsin(1 x) ^⇡ ₂

x dx

13. Z ₊₁

1 log x

x ² log(1 + x ² ) dx 14.

Z ₊₁

2 ⇡ 2 arctan x x ² log x dx 15.

Z + 1 0

p x ³

e ^x log(1 + x) 1 dx

Stabilire per quali valori di ↵ 2 R i seguenti integrali impropri risultano convergenti

16. Z ₁

0 1 cos x x ^↵ log(1 + x) dx 17.

Z 1 0

p x e ^↵x p

1 + 2x dx 18.

Z + 1 1

p x ³ + 1 p x ³ arctan _x ¹

↵

dx

19. Z + 1 0

arctan p x sin ² x ↵x ² dx 20.

Z ₊₁

1 sin x (e ^↵x + x) ² dx

21. Z + 1 0

p 1

x + x ^↵ dx

Studiare le seguenti funzioni integrali 22. F (x) =

Z x 1

e ^{1 t} p

³

t 1 dt

23. F (x) = Z _x

2

1 (1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt 24. F (x) = x 1

Z _x

0 cos ¹ _t dt

25. G(x) = Z ^p _x

2

1 log(1 + t ² ) dt

97

15. ESERCIZI su INTEGRALI IMPROPRI Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa. 1. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

15. ESERCIZI su INTEGRALI IMPROPRI Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

x !0

f (x) = + 1. Allora A.

Z 1 0

f (x) dx diverge

B.

Z 1

0

f (x)

x diverge C.

Z 1 0

f (x)

p x converge

2. Sia f (x) funzione continua e positiva in [a, + 1) tale che lim x

!+1 f (x) = 0. Allora A.

Z + 1 a

f (x) dx esiste (finito o infinito)

B. Se Z + 1

a

f (x) dx converge allora Z + 1

a

f 2 (x) dx converge

C. Se Z + 1

a

f (x) dx diverge allora Z + 1

a

f 2 (x) dx diverge

3. Sia f (x) funzione continua in (0, 1] tale che lim

x!0

p x f (x) = + 1. Posto F (x) = Z 1

x

f (t) dt, si ha che

A. esiste lim

x !0

F (x) B. lim

x!0

F (x) 2 R C. lim

x!0

F (x) = + 1

Calcolare i seguenti integrali impropri

4.

Z 1

0

x log(x 2 + x) dx

5.

Z 1 0

sinh x e x 1 dx 6.

Z 2 0

x | log x| dx

7.

Z + 1 1

1 x + x p

x dx 8.

Z + 1 1

x 2 e x dx

9.

Z +1

0

log(x + 1) (x + 2) 2 dx

96

Stabilire se i seguenti integrali impropri risultano convergenti

10.

Z 1 0

log(1 + x) + sin p x e x

cosh x dx 11.

Z 1 0

1 p

x

sin x 1 dx 12.

Z 1

0

arcsin(1 x) ⇡ 2

x dx

13.

Z +1

1

log x

x 2 log(1 + x 2 ) dx 14.

Z ₁

2. Sia f (x) funzione continua e positiva in [a, + 1) tale che lim _x

f ² (x) dx converge

f ² (x) dx diverge

Z ₁

x log(x ² + x) dx

sinh x e ^x 1 dx 6.

x ² e ^x dx

Z ₊₁

log(x + 1) (x + 2) ² dx

log(1 + x) + sin p x e ^x

_x

Z ₁

arcsin(1 x) ^⇡ ₂

Z ₊₁

x ² log(1 + x ² ) dx 14.

Z ₊₁

⇡ 2 arctan x x ² log x dx 15.

p x ³

e ^x log(1 + x) 1 dx

Z ₁

1 cos x x ^↵ log(1 + x) dx 17.

p x e ^↵x p

p x ³ + 1 p x ³ arctan _x ¹

arctan p x sin ² x ↵x ² dx 20.

Z ₊₁

sin x (e ^↵x + x) ² dx

x + x ^↵ dx

e ^{1 t} p

23. F (x) = Z _x

(1 + t ² ) log(1 + t ² ) dt 24. F (x) = x 1

Z _x

cos ¹ _t dt

25. G(x) = Z ^p _x

log(1 + t ² ) dt