Esercizi sugli integrali impropri

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Corso di Istituzioni di Matematiche II

Esercizi sugli integrali impropri

1) Calcolare gli integrali impropri Z

¹2

0

dx x log x

Z +∞

−∞

1 x ² + 1 dx

Z +∞

0

arctan x 1 + x ² dx

2) Calcolare gli integrali impropri con le sostituzioni suggerite

a) Z 1

1 4

√ x

x − x dx, y = √

x b)

Z +∞

1

2 + cos √

√ x

x dx, y = √ x

c) Z

^π2

0

cos x(1 + sin x)

√ sin x dx, y = √ sin x

3) Stabilire il carattere dei seguenti integrali impropri (non calcolarli)

a)

Z +∞

1

3x ² + 2x − 1

x ⁴ + x + 2 dx b) Z 0

−∞

1 + cos x

x ² − x + 1 dx c) Z −1

−∞

x + sin x 3 + 3x + x ² dx

d) Z ¹

0

1 + x + x ²

x + x ² dx e) Z ¹

0

x + 1

√ sin x dx f ) Z ¹

0

2

log(1 + √ x) dx

g) Z 1

0

cos x

e ^x − 1 dx h)

Z +∞

−∞

x

x ² + e ^x dx i) Z 1

0

√ sin x

x (x − 1) dx l)

Z ¹⁰⁰

0

dx

√

3

x + 2 √

⁴

x + x ³ m) Z ^+∞

1

dx 2x + √

³

x ² + 1 + 5 n) Z ^+∞

0

√ x dx x ⁵ + 1

o) Z +∞

π

1 + sin x

x ² dx p)

Z 1 0

x ² + sin x

x ² dx q)

Z 1 0

√

5

x ²

2e ^x − 1 − 2x − x ² dx

4) Si definisce, per s > 0, funzione gamma di Eulero la funzione

Γ(s) = Z +∞

0

x ^s−1 e ^−x dx.

Dimostrare che tale integrale converge per ogni s > 0. Sia n ∈ N; dimostrare che Γ(n) = (n − 1)! .

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