Integrali impropri o generalizzati

Integrali impropri o generalizzati





L’operazione di integrazione si può estendere al caso di funzioni non limitate e ad intervalli non limitati

Integrali impropri o generalizzati

Sia tale che, f è integrabile secondo Riemann in cioè esiste l’integrale

R b

a

f :( , ]

   0 , ]

, [ a   b





a

dx x f I



 ) ( )

(

) ( lim



 _

I



Definizione

Se esiste finito il limite

allora si dice che f è integrabile in senso improprio e tale limite si chiama integrale improprio o generalizzato e si indica









b

a

dx x f I ( ) ( ) lim





Esercizio

Integrali impropri o generalizzati

x dx



¹

, 2 1 2

)

(   

dx    I x

2 2

2 lim )

(

lim   





 





I

Esercizio

x dx





1

1

1

1

), 1 arcsin(

) 1 arcsin(

1 ) 1

(

2

 

 

    



 dx x I







   

 

( ) ( )

lim

0

I

L’integrale converge e si può scrivere:

 



 dx x

1

1 2

1 1

Integrali impropri o generalizzati

Esercizio. Studiare la convergenza del seguente integrale

0 ,

1

0



si ha









 



Nel caso in cui non è limitata in x=b ma è integrabile in allora si pone

Se tale limite esiste finito.

Se inoltre la funzione f non è limitata in c∊ (a,b) allora si dice che f è integrabile in senso improprio se f è

integrabile in senso improprio in [a,c] e in [c,b] e si pone







^{f ( x ) dx }

^{f ( x ) dx }

^{f ( x ) dx}

R b

a

f :[ , )

0

] ,

[a b









Integrali impropri o generalizzati Consideriamo ora intervalli illimitati:

Definizione

Sia integrabile su ogni intervallo [a,β] con β>a, poniamo

Se esiste finito il limite allora f si dice integrabile in senso improprio su e tale limite si chiama

) , ( ] , ( )

,

[a   b  

R a

f :[ ,)



 ^



a

dx x f

J( ) ( )

) (

lim



 J



, ) [a 

Analoga definizione per dove è integrabile su [-β,b]



^{f ( x ) dx f : (  , b ]  R}

Per quanto riguarda l’integrale con f integrabile su ogni intervallo limitato, si pone:

e i due integrali impropri convergenti



^{f ( x ) dx}

R c dx x f dx x f dx x f

c c





  



^{( )}

^{( )}

^{( ) ,}

Integrali impropri o generalizzati

Esercizio. Dire se converge o esiste in senso improprio il seguente





1 2

1 dx x

Si ha: 1 1 1 1

) (

1 2  1  





 ^{ }

dx x J x

1 1 1

lim )

(

lim    







  



 J

L’integrale converge e si può scrivere: ^{1 1}

1 2 



Esercizio. Dire se converge o esiste in senso improprio il seguente



 dx

x² 1

1

Si ha: ^







 





J ₂

1 ) 1

(



 ^{ }

    



 ( ) ( )

limJ 2 2

L’integrale converge e si può scrivere: 



Integrali impropri o generalizzati Esercizio.

0 ,

1



si ha









 

