B `e falsa, ad esempio scelta a n = 1n abbiamo che la serie di potenze

RISOLUZIONE

1. A `e vera in quanto, dalle propriet` a del raggio di convergenza, la serie non converge in ogni x 2 R con |x| > ⇢ = 1 e quindi in particolare in x = 2.

B `e falsa, ad esempio scelta a _n = ¹ _n abbiamo che la serie di potenze

+ 1

X

n=1 x

ⁿ

n ha raggio di convergenza ⇢ = 1 ma la serie

+1 X

n=1 1

n diverge.

C `e vera, la serie

+ 1

X

n=0

na n x ^{n 1} `e infatti la serie derivata della serie

+ 1

X

n=0

a n x ⁿ e abbiamo visto nel teorema sulla serie derivata e integrata che tale serie ha il medesimo raggio di convergenza ⇢ = 1.

Dalle propriet` a del raggio di convergenza possiamo dedurre che la serie

+1 X

n=0

na n x ^{n 1} converge per ogni x 2 R con |x| < ⇢ = 1.

2. A `e vera, infatti poich´e la serie

+ 1

X

n=0

a n x ⁿ ha raggio di convergenza ⇢ = + 1 abbiamo che questa converge in ogni x 2 R e quindi, dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie, otteniamo che per ogni x 2 R risulta lim

n!+1 a _n x ⁿ = 0.

B `e vera, dato che per quanto ricordato sopra, la serie X +1 n=0

a n x ⁿ converge in ogni x 2 R, quindi in particolare per x = e.

C `e falsa. Scelta a _n = _n! ¹ abbiamo che la serie

+1 X

n=0

a n x ⁿ = X +1 n=0

x ⁿ

n! ha raggio di convergenza

⇢ = + 1 ma la serie X +1 n=0

a n n! = X +1 n=0

1 diverge.

3. A `e falsa, la serie

+ 1

X

n=0

x ⁿ

n converge per x = 1 per il criterio di Leibniz ma diverge per x = 1.

B `e vera, infatti poich´e

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ a n converge per ipotesi, dalla condizione necessaria alla con- vergenza segue che ( 1) ⁿ a _n ! 0 per n ! +1 e quindi anche a n ! 0 per n ! +1.

C `e vera, infatti dalla definizione di raggio di convergenza abbiamo che

⇢ = sup {|r| |

+1 X

n=0

a _n r ⁿ converge }

e dato che

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ a n converge, ne deduciamo che ⇢ | 1 | = 1.

4. La serie

+ 1

X

n=1

x ⁿ tan _n ¹

2

ha insieme di convergenza I = [ 1, 1]. Infatti, dal metodo del rapporto, posto a _n = tan _n ¹

2

, osservato che tan _n ¹

2

⇠ _n ¹

2

per n ! +1, otteniamo che

n!+1 lim a _n+1

a n = lim

n!+1

n ²

(n + 1) ² = 1

Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ = 1 e dunque che la serie converge per |x| < 1 e non converge per |x| > 1. Abbiamo poi che per x = 1 la serie diventa

+ 1

X

n=1

tan _n ¹

2

e poich´e tan _n ¹

2

⇠ _n ¹

2

per n ! +1 e la serie

+ 1

X

n=1 1

n

²

converge, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che la serie converge per x = 1. Per x = 1 abbiamo la serie

+ 1

X

n=1

( 1) ⁿ tan _n ¹

2

che converge assolutamente (e pertanto anche semplicemente) dato che

+1 X

n=1

( 1) ⁿ tan _n ¹

2

=

+1 X

n=1

tan _n ¹

2

.

5. La serie X +1 n=1

x ⁿ log(1 _n ¹ ) ha insieme di convergenza I = [ 1, 1). Infatti, utilizzando il metodo del rapporto, posto a n = log(1 ¹ _n ) e osservato che log(1 _n ¹ ) ⇠ _n ¹ per n ! +1, otteniamo che

n !+1 lim a _n+1

a _n = lim

n !+1

n n + 1 = 1

Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ = 1 e dunque che la serie converge per |x| < 1 e non converge per |x| > 1. Per x = 1 la serie diventa

+ 1

X

n=1

log(1 ¹ _n ) =

+ 1

X

n=1

log(1 _n ¹ ) e poich´e log(1 _n ¹ ) ⇠ _n ¹ per n ! +1 e la serie

+ 1

X

n=1 1

n diverge, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che la serie diverge per x = 1.

Per x = 1 abbiamo la serie

+ 1

X

n=1

( 1) ⁿ log(1 _n ¹ ) =

+ 1

X

n=1

( 1) ⁿ log(1 _n ¹ ) che converge per il criterio di Leibniz poich´e log(1 _n ¹ ) ! 0 per n ! +1 e log(1 _n+1 ¹ )  log(1 _n ¹ ) per ogni n 2 N essendo il logaritmo funzione crescente.

6. La serie

+ 1

X

n=0

sin _e ¹

n

n ³ x ⁿ ha insieme di convergenza I = [ e, e]. Utilizzando il Metodo del rapporto di D’Alembert abbiamo che il raggio di convergenza della serie `e ⇢ = e in quanto, essendo sin x _n ⇠ x n per ogni successione x _n ! 0, risulta

n !+1 lim

|a n+1 |

|a n | = lim

n !+1

sin _e

n+1

¹

(n + 1) ³ n ³ sin _e ¹

n

= lim

n !+1 1 e

ⁿ⁺¹

1 e

ⁿ

n ³

(n + 1) ³ = 1 e lim

n !+1

n ³

(n + 1) ³ = 1 e . Ne segue allora che la serie converge per |x| < e e non converge per |x| > e.

Per x = ±e abbiamo che la serie converge assolutamente (e dunque semplicemente) essendo la

serie

+ 1

X

n=1

sin _e ¹

n

n ³ x ⁿ =

+ 1

X

n=1

e ⁿ sin _e ¹

n

n ³ convergente. Infatti, dal precedente limite notevole risulta e ⁿ sin _e ¹

n

n ³ ⇠ 1 n ³ ed essendo

+ 1

X

n=1 1

n

³

convergente, dal criterio del confronto asintotico si ha che anche la serie

+ 1

X

n=1

e ⁿ sin _e ¹

n

n ³ converge.

NOTA: Si osservi che il criterio del confronto asintotico non vale per serie a termini di segno alterno e dunque non ` e corretto concludere che la serie P + 1

n=1 ( 1) ^{n e}

ⁿ

^sin _n

₃^en1

converge essendo ( 1) ^{n e}

ⁿ

^sin _n

₃^en1

⇠ ^{( 1)} _n

3ⁿ

per n ! +1 e la serie P + 1

n=1 ( 1)

ⁿ

n

³

convergente per il criterio di Leibniz.

7. L’insieme di convergenza della serie

+1 X

n=0

x ⁿ

3 ⁿ n ² log n `e l’intervallo [ 3, 3]. Dal metodo del rapporto di D’Alembert abbiamo che il raggio di convergenza della serie `e ⇢ = 3 essendo

n!+1 lim

|a n+1 |

|a n | = lim

n!+1

3 ⁿ n ² log n

3 ⁿ⁺¹ (n + 1) ² log(n + 1) = 1 3 lim

n!+1

log n log(n + 1)

n ²

(n + 1) ² = 1 3 . Ne segue allora che la serie converge per |x| < 3 e non converge per |x| > 3. Per |x| = 3 abbiamo che la serie converge assolutamente (e quindi semplicemente) essendo la serie

+ 1

X

n=2

x ⁿ 3 ⁿ n ² log n =

+ 1

X

n=2

1

n ² log n convergente. Infatti risulta

n !+1 lim

1 n

²

log n

1 n

²

= lim

n !+1

1 log n = 0

ed essendo

+ 1

X

n=1

1

n ² convergente, dal criterio del confronto asintotico si ha che anche la serie

+ 1

X

n=2

1

n ² log n converge.

8. La serie

+ 1

X

n=1

x ⁿ 1 ₂

n+1

¹

2

ⁿ

ha come insieme di convergenza l’intervallo ( 1, 1). Posto infatti a n = 1 ₂

n+1

¹

2

ⁿ

si ha p

n

|a n | =

ⁿ

q

1 ₂

n+1

¹

2

ⁿ

= 1 ₂

n+1

¹

2n

n

= e

²ⁿⁿ

^log

⇣ 1 1 2

ⁿ⁺¹

⌘

ed essendo ² _n

ⁿ

log(1 ₂

_n+1

¹ ) ⇠ ² _n

ⁿ

₂

n+1

¹ = _2n ¹ ! 0, otteniamo che p

ⁿ

a _n ! 1 per n ! +1. Dal

metodo della radice di Cauchy-Hadamard, ne segue che la serie ha raggio di convergenza ⇢ = 1.

Dalle propriet` a del raggio di convergenza otteniamo allora che la serie converge in ogni |x| < 1 e non converge in ogni |x| > 1. Osservato poi che, dal limite notevole (1 + _x ^↵

_n

) ^x

ⁿ

! e ^↵ per ogni successione x _n ! +1, si ha

a n = 1 ₂

n+1

¹

2

ⁿ

= ⇣ 1 + ₂

n¹²

⌘ 2

ⁿ

! e

¹²

6= 0.

Dalla condizione necessaria per la convergenza di una serie possiamo dedurre che le serie

+1 X

n=1

a n

e

+1 X

n=1

( 1) ⁿ a n non risultano convergenti e dunque che la serie di potenze data non converge per x = ±1. Riunendo quanto ottenuto possiamo concludere che l’insieme di convergenza della serie di potenze data `e ( 1, 1).

9. L’insieme di convergenza della serie

+ 1

X

n=1

x ⁿ

log(e ⁿ + 1) `e l’intervallo [ 1, 1). Posto a n = _log(e ¹

n

+1) , per n ! +1 si ha

|a n+1 |

|a n | = log(e ⁿ + 1)

log(e ⁿ⁺¹ + 1) = n + log(1 + _e ¹

n

)

n + 1 + log(1 + _e

n+1

¹ ) ! 1

e dunque, dal metodo del rapporto di D’Alembert, ne segue che la serie ha raggio di convergenza

⇢ = 1. Dalle propriet` a del raggio di convergenza otteniamo allora che la serie converge in ogni

|x| < 1 e non converge in ogni |x| > 1. Osservato poi che

a _n = 1

log(e ⁿ + 1) = 1

n + log(1 + _e ¹

n

) ⇠ 1 n

e che la serie

+ 1

X

n=1

1

n diverge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che la serie

+ 1

X

n=1

a n diverge e quindi che la serie di potenze diverge per x = 1.

Si osservi poi che a _n ! 0 per n ! +1 e che, essendo il logaritmo e l’esponenziale di base e funzioni crescenti, risulta log(1 + e ^x ) < log(1 + e ^y ) per ogni x < y e dunque che

a _n+1 = 1

log(e ⁿ⁺¹ + 1) < 1

log(e ⁿ + 1) = a _n , 8n 2 N.

Dal criterio di Leibniz possiamo allora concludere che la serie

+1 X

n=1

( 1) ⁿ a n risulta convergente e quindi che la serie di potenze converge per x = 1.

10. Per determinare lo sviluppo in serie di potenze dalla funzione f (x) = x sinh x `e sufficiente ricordare che per ogni x 2 R si ha

sinh x =

+ 1

X

n=0

x ²ⁿ⁺¹

(2n + 1)!

e dunque

f (x) = x sinh x = x

+ 1

X

n=0

x ²ⁿ⁺¹ (2n + 1)! =

+ 1

X

n=0

x ²ⁿ⁺²

(2n + 1)! , 8x 2 R 11. Determiniamo lo sviluppo di f (x) = ¹ _x arctan(2x) ricordando che

arctan y =

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ y ²ⁿ⁺¹

2n + 1 , |y| < 1 Ne segue allora che

arctan(2x) =

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ (2x) ²ⁿ⁺¹ 2n + 1 =

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ 2 ²ⁿ⁺¹ 2n + 1 x ²ⁿ⁺¹ da cui

f (x) = 1

x arctan(2x) = 1 x

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ 2 ²ⁿ⁺¹

2n + 1 x ²ⁿ⁺¹ =

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ 2 ²ⁿ⁺¹ 2n + 1 x ²ⁿ per ogni |x| < ¹ ₂ 2 R con x 6= 0.

12. Determiniamo lo sviluppo di f (x) = x + log(1 x ² ). Abbiamo che log(1 + y) =

X 1 n=1

( 1) ⁿ⁺¹ y ⁿ

n , |y| < 1 da cui, posto y = x ² otteniamo

log(1 x ² ) = X 1 n=1

( 1) ⁿ⁺¹ ( 1) ⁿ x ²ⁿ

n =

X 1 n=1

( 1) ²ⁿ⁺¹ x ²ⁿ n =

X 1 n=1

x ²ⁿ

n , |x| < 1 e dunque

f (x) = x + log(1 x ² ) = x X 1 n=1

x ²ⁿ

n , |x| < 1 13. Determiniamo lo sviluppo di f (x) = (2 + x)e ^x . Abbiamo

e ^x =

+ 1

X

n=0

x ⁿ

n! , 8x 2 R.

e dunque per ogni x 2 R risulta

f (x) = (2 + x)e ^x = e ^x + xe ^x = 2

+ 1

X

n=0

x ⁿ n! + x

+ 1

X

n=0

x ⁿ n!

= X +1 n=0

2 x ⁿ n! +

X +1 n=0

x ⁿ⁺¹ n! = 2 +

+1 X

n=1

2 n! x ⁿ +

+1 X

m=1

1 (m 1)! x ^m

= 2 +

+ 1

X

n=1

✓ 2

n! + 1 (n 1)!

◆

x ⁿ = 2 +

+ 1

X

n=1

2 + n

n! x ⁿ

14. La serie

+ 1

X

n=0

x ²ⁿ

2 ⁿ n! `e una serie esponenziale di argomento y = ^x ₂

²

, risulta pertanto convergente in ogni x 2 R e ha per somma

+1 X

n=0

x ²ⁿ

3 ⁿ n! = e

^x22

= p e ^x

²

15. La serie

+ 1

X

n=1

⇣ x

|x|+1

⌘ n

=

+ 1

X

n=0

⇣ x

|x|+1

⌘ n

1 `e serie geometrica di ragione r = <sub>|x|+1</sub> <sup>x</sup> . Risulta quindi convergente se e solo se <sub>|x|+1</sub> <sup>x</sup> < 1 e dunque per x < |x| + 1, ovvero per ogni x 2 R. La somma della serie `e

+ 1

X

n=1

✓ x

|x| + 1

◆ n

=

+ 1

X

n=0

✓ x

|x| + 1

◆ n

1 = 1

1 _|x|+1 ^x 1 = |x| + 1

|x| x + 1 1 = x

|x| x + 1 8x 2 R

16. Per determinare la somma della serie

+ 1

X

n=1

nx ²ⁿ⁺¹ osserviamo che

+ 1

X

n=1

nx ²ⁿ⁺¹ = x ³

+ 1

X

n=1

nx ^{2n 2} = x ³

+ 1

X

n=1

n x ^{2 n 1}

e che l’ultima serie `e la serie derivata della serie geometrica di ragione y = x ² . Otteniamo allora che la serie converge se e solo se |x ² | < 1 ovvero se e solo se x 2 ( 1, 1). Per calcolarne la somma dato che

+ 1

X

n=1

ny ^{n 1} =

+ 1

X

n=1

(y ⁿ ) ⁰ =

✓ 1 1 y

◆ ₀

= 1

(1 y) ² otteniamo

+1 X

n=1

nx ²ⁿ⁺¹ = x ³ X +1 n=1

n x ^{2 n 1} = x ³

(1 x ² ) ² 8x 2 ( 1, 1).

17. Per determinare l’insieme di convergenza e la somma della serie

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ x ³ⁿ

2 ⁿ (n + 1) possiamo riscriverla come

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ x ³ⁿ 2 ⁿ (n + 1) =

+ 1

X

n=0

1 n + 1

✓ x ³ 2

◆ n

= 2

x ³

+ 1

X

n=0

1 n + 1

✓ x ³ 2

◆ n+1

Riconosciamo nell’ultima serie una serie della forma

+ 1

X

n=0

y ⁿ⁺¹

n + 1 , serie integrata della serie geomet- rica, convergente per |y| < 1 con somma R y

0 1

1 y dt = log(1 y). Quindi la serie data converge per ^x ₂

³

< 1, ovvero per |x| < p

³

2 e per tali valori risulta

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ x ³ⁿ

2 ⁿ (n + 1) = 2 x ³

+ 1

X

n=0

1 n + 1

✓ x ³ 2

◆ n+1

= 2 x ³ log

✓ 1 x ³

2

◆

18. Riconosciamo nella serie

+ 1

X

n=0

1

(2n)! la serie di Taylor della funzione cosh x valutata in x = 1.

Otteniamo allora

+1 X

n=0

1

(2n)! = cosh 1 = log(1 + p 2)

19. Per valutare la serie

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ ⇡ ²ⁿ

(2n + 1)! osserviamo che

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ ⇡ ²ⁿ (2n + 1)! = 1

⇡

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ ⇡ ²ⁿ⁺¹ (2n + 1)!

Riconosciamo che l’ultima serie `e la serie di Taylor della funzione sin x valutata in ⇡. Abbiamo quindi che la somma di tale serie vale sin ⇡ = 0.

20. Possiamo riscrivere la serie

+ 1

X

n=2

( 1) ⁿ n(n 1) 2 ⁿ come

+1 X

n=2

( 1) ⁿ n(n 1) 2 ⁿ = 2 ²

+1 X

n=2

n(n 1)

✓ 1 2

◆ n 2

e nell’ultima serie riconosciamo la serie geometrica derivata due volte e valutata in x = ¹ ₂ . Abbiamo pertanto che

X +1 n=2

n(n 1)x ^{n 2} =

+1 X

n=0

(x ⁿ ) ⁰⁰ =

✓ 1 1 x

◆ ₀₀

=

✓ 1

(1 x) ²

◆ ₀

= 2

(1 x) ³ da cui

+1 X

n=2

( 1) ⁿ n(n 1)

2 ⁿ = 4 · 2

(1 + ¹ ₂ ) ³ = 64 27

21. Riscriviamo la serie

+ 1

X

n=1

2 ⁿ

n(n + 1)3 ⁿ come

+ 1

X

n=1

2 ⁿ

n(n + 1)3 ⁿ =

+ 1

X

n=1

✓ 2 3

◆ n

1 n(n + 1)

calcoliamo quindi la somma S(x) della serie di potenze X +1 n=1

x

ⁿ

n(n+1) . Osserviamo che da 1

1 x =

+ 1

X

n=0

x ⁿ , |x| < 1

integrando una volta otteniamo

log(1 x) =

+ 1

X

n=0

x ⁿ⁺¹ n + 1 =

+ 1

X

m=1

x ^m

m , |x| < 1 e quindi, integrando una seconda volta, si ha

(1 x) log(1 x) + x =

+ 1

X

m=1

x ^m+1 m(m + 1) = x

+ 1

X

m=1

x ^m

m(m + 1) , |x| < 1 Ne segue che se x 6= 0 e |x| < 1 allora

S(x) =

+ 1

X

m=1

x ^m

m(m + 1) = 1 x

x log(1 x) + 1 e dunque

+ 1

X

n=1

2 ⁿ

n(n + 1)3 ⁿ = 1 ² ₃

2 3

log(1 ² ₃ ) + 1 = 1 ¹ ₂ log 3