Esercizio 1. Stabilire se la forma differenziale

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 12/06/2012

A.A. 2011/2012

Esercizio 1. Stabilire se la forma differenziale

ω(x, y) = (3x ² y + 4xy ² )dx + (x ³ + 4x ² y)dy

` e esatta ed eventualmente determinarne una primitiva.

Esercizio 2. Sia f (t, y) = t ² (2 − y + t)(y − t) + 1.

(i) Determinare le soluzioni dell’equazione y ^′ = f (t, y) della forma y = at + b.

(ii) Sfruttando i risultati del punto (i), studiare qualitativamente il problema di Cauchy {

y ^′ = f (t, y),

y(0) = 1. (1)

(iii) Risolvere esplicitamente il problema (1).

Esercizio 3. Si calcoli il momento d’inerzia di una lamina di forma circolare di raggio 3 e densit` a µ(x, y) = |x + y| rispetto a un asse perpendicolare alla lamina e passante per il centro della lamina stessa (si supponga il centro della lamina coincidente con l’origine degli assi cartesiani).

Esercizio 4. Sia

f (z) = e

(z ³ − π ² z) sin z . (i) Determinare le singolarit` a di f e classificarle.

(ii) Calcolare ∫

γ

f (z)dz,

dove il cammino γ = {z ∈ C : |z| = 4} `e percorso in senso antiorario.

Esercizio 5. Sia

f (x) = π − |x|

2 , x ∈ [−π, π[

si denoti con f ^♯ il suo prolungamento periodico su R. Calcolare la serie di Fourier associata a f ^♯ , studiarne la convergenza e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma della seguente serie numerica:

∑ ∞ n=1

1

n ² .