(x + y)(1 − x2− y2

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 13/06/2016

A.A. 2015/2016

Problema 1: Studiare

lim

(x,y)→(0,0)

|x|^αsin²x x²+ y² al variare del parametro α ∈ R.

Problema 2: Determinare i punti critici del seguente campo scalare f (x, y, z) = (x + y)(1 − x²− y²) + z² e studiarne la natura. Esiste un minimo assoluto di f ?

Problema 3: Calcolare

Z Z

D

x²ydxdy

dove D = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 2, x²+ y²≥ 1, −x ≤ y ≤ x} .

Problema 4: Studiare qualitativamente il problema di Cauchy (y⁰= t log(1 + y²) ,

y(0) = −1,

Esistono punti di flesso? In caso affermativo, indicato con (t₀, y(t₀)) un qualsiasi punto di flesso, trovare un possibile a > 0 per cui si abbia |t₀| ≥ a.

Problema 5: Dimostrare che l’integrale

Z

R

sin x x³+ xdx

`e convergente e calcolarne il valore esatto.

Problema 6: Calcolare il massimo e minimo della funzione f (x, y) = (x + 2y)² sul vincolo

B =



(x, y) ∈ R²: x² 4 +y²

3 = 1

 .