Forze di adesione

Forze di adesione

Vicino alle pareti di un recipente sono attive interazioni tra le molecole del recipiente e quelle del liquido (adesione) oltre a quelle tra le molecole del liquido (coesione)

Se le forze di adesione sono meggiori di quelle di coesione la superficie del liquido diventer` a convessa (il liquido bagna la parete)

Viceversa sar` a concava

Nel bilancio entra anche la forza peso

L’angolo tra liquido e vetro ` e l’angolo di contatto α che varia da 0 ^o a 180 ^o . Il liquido bagna la parete per α > 90 ^o

α vale circa 0 ^o per l’acqua che bagna le pareti a contatto col vetro,

circa 140 ^o per il mercurio, che non bagna le pareti e tende a formare

sferette a contatto col vetro.

Capillarit` a

Per tubi di piccolo raggio circa un decimo di millimetro o meno, la variazione di livello interessa tutta la superficie che viene chiamata menisco

Si pu` o dimostrare che, se r ` e il raggio del capillare, il dislivello h, dato dalla differenza di altezza del liquido ai bordi e al centro del capillare, si pu` o ricavare dall’angolo α in base alla legge (di Borelli-Jurin)

h = ^{2 τ cos α} _{g ρ r}

Se si intinge un biscotto o una zolletta di zucchero in un liquido,

questo lo assorbe. ` E dovuto alla capillarit` a.

Applicazioni della capillarit` a

Calcolo quanto l’acqua pu` o risalire nelle piante: se i condotti della linfa hanno un raggio di r ∼ 10 µm l’altezza che posso raggiungere ` e

h ≈ 2 · 0, 072N/m

10 ³ Kg /m ³ · 10m/s ² · 10 ⁻⁵ m ≈ 1, 5 m

In realt` a r & 0.2 mm, quindi la capillarit`a ha un ruolo molto piccolo nel portare la linfa in cima agli alberi

se una bolla d’aria ostruisce un capillare, questa ha due superfici a contatto col liquido. Le curvature delle superfici non sono le stesse, se la pressione sanguigna ` e pi` u alta da una parte che dall’altra. Per questo motivo c’` e una differenza di pressione tra fuori e dentro le bolla data da

∆p = 2 τ

 1 R

− _R ¹

2



Sfruttando la capillarit` a si possono costruire termometri di massima e

di minima

Dinamica dei fluidi

Fluidi incomprimibili

La densit` a ` e costante

Date due sezioni S 1 e S 2 del fluidi, il volume di acqua che entra in una deve uscire dall’altra

In un tempo ∆t il fluido che entra ha un volume S 1 · v ₁ · ∆t, quello che esce ha un volume S 2 · v ₂ · ∆t. La continuit` a in questo caso dice

S 1 · v ₁ = S 2 · v ₂

se il fluido si pu` o comprimere, deve essere costante la massa, data da ρ · v · S , piuttosto che la densit` a. L’equazione di continuit` a diventa quindi

ρ 1 · S ₁ · v ₁ = ρ 2 · S ₂ · v ₂

Questa si riduce alla precedente nel caso di fluidi incomprimibili, per i quali ρ ₁ = ρ ₂

Questa equazione vale per fluidi perfetti, cio` e privi di viscosit` a, e per i

quali parlare di un’unica velocit` a ha senso

Teorema di Bernoulli

Voglio trovare una legge analoga alla conservazione dell’energia Considero un fluido spinto in un tubo attraverso una supeficie S ₁ a quota z 1 con velocit` a v 1 , che esce da questo attraverso una supeficie S 2 a quota z 2 con velocit` a v 2 . Il lavoro fatto per fare entrare il fluido in un tempo ∆t ` e ∆W ₁ = p ₁ S ₁ v ₁ ∆t = p ₁ ∆m/ρ, mentre il fluido che esce da S 2 compie un lavoro ∆W 2 = −p 2 S 2 v 2 ∆t = p 2 ∆m/ρ

L’energia cinetica K = ¹ ₂ ∆m · v ² varier` a a causa del fatto che entra fluido con velocit` a v ₁ ed esce con velocit` a v ₂ , quindi

∆K = ¹ ₂ ∆m · (v ₁ ² − v ₂ ² )

L’energia potenziale varia perch´ e il fluido entra a quota z ₁ ed esce a quota z 2 , quindi ∆U = ∆m · (z 2 − z ₁ )g

scrivendo quindi la relazione tra lavoro ed energia per un fluido incomprimibile

p

ρ g + _{2 g} ^v

+ z ₁ = _{ρ g} ^p

+ _{2 g} ^v

+ z ₂

Equazione di Bernoulli

Terminologia

Considero i veri termini che compaiono nell’equazione

Se un liquido di densit` a ρ esercita una pressione (statica ) p, la sua altezza deve essere p = ρ g h e quindi h = p/ρ g . Il primo termine dell’equazione di Bernoulli si chiama quindi altezza piezometrica Un oggetto sparato verso l’alto, raggiunge un altezza massima data da <sup>1</sup> <sub>2</sub> v <sup>2</sup> = gy , quindi il secondo termine ` e la massima altezza che un getto di liquido con questa velocit` a potrebbe raggiungere: si chiama altezza di arresto

il teorema di Bernoulli si potrebbe enunciare quindi come:

La somma delle altezze piezometrica, di arresto e geometrica

rimane costante in una condotta percorsa da un liquido perfetto

Viscosit` a

Il moto di una lamina trascinata sulla supeficie di un liquido raggiunge una velocit` a limite, segno che una forza si oppone al moto.

Tutto il liquido, non solo lo strato superficiale, ` e interessato da moto Ogni strato di liquido ` e frenato da una strato vicino e trascina l’altro Si trova sperimentalmente che, se h ` e la profondit` a del liquido, S la superficie della lamina e F la forza applicata, la velocit` a limite ` e data da

v = η ^{F ·h} _S quindi la forza viscosa ` e data da

F = ^ηvS _h

η ` e una caratteristica del liquido e si chiama coefficiente di viscosit` a e si misura in Pa · s = PI dove PI ` e il Poiseille mentre il poise (P) ` e l’unit` a di misura nel sistena CGS

1 P = 0.1 PI . Diu solito si usa anche il centipoise (= 10 ⁻² poise)

Tabella delle viscosit` a

Sostanza Temperatura ( ^o C ) Viscosit` a (Poise)

Plasma sanguigno 37 0.015

Sangue intero 37 0.04

Glicerina 20 14.9

Olio di macchina 16 1.13

Olio di macchina 38 0.34

Acqua 37 0.0110

Acqua 100 0.00282

Gas atmosferico 18 0.000183

η dipende da temperatura e pressione

In alcuni fluidi dipende anche dalla velocit` a: questi sono detti non Newtoniani mentre gli altri sono detti Newtoniani

in un liquido Newtoniano la velocit` a del fluido varia con l’altezza x

dal fondo con la legge v (x ) = ^x _h · v (h)

Circolazione in un tubo cilindrico

Si dimostra che la velocit` a a distanza r dall’ asse di un condotto cilidrico di raggio R e lunghezza L ` e data da v (r ) = v max · 

1 − _R ^r

 la velocit` a ` e quindi massima al centro dove trovo

v _max = ^∆p·R _4·η·L

Si pu` o integrare e trovare la portata totale data da q = ^dV _dt = ^π ₈ ^∆pR _ηL

Se un vaso sanguigno ` e ostruito per met` a, si vede che, a parit` a di

pressione la portata diventa 1/16, con importanti effetti fisiologici

Moto vorticoso

Il moto laminare esiste per velocit` a moderate

Sopra una certa velocit` a critica, che dipende dal raggio del tubo, non

`

e pi` u possibile il moto laminare. Questa ` e data da v c = ^R _{R ρ}

^η

R c ` e il numero di Reynolds e dipende dalla irregolarit` a e dalla pulizia delle pareti del tubo. Valori tipici sono di R _c ∼ 1000 − 1200. R _c ` e adimensionale

IL moto ` e considerato laminare se R c < 1200, turbolento se R c > 10000 e in una fase di transizione in mezzo

Il moto vorticoso ` e importante pi` u nei gas che nei liquidi

E importante nel progettare l’ala di un aeroplano o la chiglia di una ` nave

Il moto laminare ` e silenzioso, quello vorticoso fa rumore: quindi se un vaso sanguigno ` e strozzato, potrebbe fare un rumore che la

circolazione non fa in una persona sana

Liquidi non Newtoniani

Una categoria sono quelli che hanno η funzione della velocit` a (viscoplastici)

Soggetti ad un piccolo sforzo, si comportano come solidi elastici, se per` o lo sforzo ` e superiore al limite plastico scorrono come liquidi ai liquidi pseudoplastici basta una sollecitazione minima per scorrere Il sangue ha caratteristiche pseudoplastiche: la complicazione del suo comportamento deriva dalla composizione: una sospensione di globuli bianchi e rossi in una soluzione di proteine

la branca della scienza che studia i fluidi non Newtoniani ` e la reologia

Legge di Stokes

Una sferetta che si muove lentamente, con velocit` a v , in un fluido in quiete, ` e soggetta ad una forza viscosa

F v = −6 π ηR v

Se la sfera cade, sotto l’effetto della gravit` a, nel fluido, la forza viscosa deve bilanciare il peso quando la velocit` a ` e costante

mg = 4

3 πr ³ ρg = 6πηrv + 4 3 πr ³ ρ L g

Questa da’ per la velocit` a, dopo il regime transitorio, il valore v = 2

9

r ² g (ρ − ρ _L )

η

Circolazione sanguigna

E divisa in due parti: sistemica e polmonare `

La circolazione sistemica parte dall’aorta, che ha raggio 9 mm, con portata di 80 cm ³ /s e velocit` a media di 0.33 m/s

Passando alle altre arterie la sezione complessiva aumenta mentre la portata ` e costante: quindi la velocit` a deve diminuire (circa 0.041 m/s) Questa tendenza continua fino ai capillari, la cui sezione totale ` e di 0,25 m <sup>2</sup> , con una velocit` a, di conseguenza, di 0.33 · 10 ⁻³ m/s Nel tornare verso il cuore, la velocit` a aumenta in modo inverso Tutti i vasi sanguigni hanno una certa elasticit` a, anche se non ` e uguale per tutti

Il sangue viene pulsato da cuore dentro l’aorta, che immagazzina parte dell’energia sotto forma elastica

L’energia elastica viene restituita con un certo ritardo, smorzando l’effetto delle pulsazioni

tutti i vasi sanguigni si comportano in questo modo, per cui, a una

certa distanza dall’aorta, il flusso si pu` o considerare continuo, e quindi

laminare