Corsi di Probabilità, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell’Automazione, Informatica e Inf. Gest. Azienda
14/02/2012
Esercizio 1. Si osserva l’intensità del vento nel porto di Marina registrando uno 0 ogni giorno in cui il vento non supera una certa soglia di allarme , mentre segnando 1 ogni volta che la supera. Per semplicità si supponga che il vento nelle diverse giornate sia indipendente e che le giornate siano statisticamente uguali. Si iniziano le osservazioni il giorno 1 dell’anno.
i) (3 p) Supponiamo che, su 100 giorni di osservazione, la soglia sia stata superata 5 volte. Siamo indotti a dire che la probabilità che la soglia venga superata in una generica giornata è 0.05. Sapreste spiegare questo legame (tra il fatto che la soglia è stata superata 5 volte su 100 ed il fatto che la probabilità di superamento in un generico giorno è 0.05) tramite un ragionamento matematico (opportuni teoremi o calcoli)?
ii) (3 p) Esprimere matematicamente l’evento: “nei primi dieci giorni ci sono due giorni di vento superiore a ” e calcolarne la probabilità.
iii) (3 p) Esprimere matematicamente l’evento: “il primo giorno di vento superiore a è il decimo” e calcolarne la probabilità.
Esercizio 2. Si consideri la funzione
f (x) = C (x + 1) (1 x)3 per x 2 ( 1; 1) 0 per x =2 [ 1; 1] :
i) (4 p) Trovare per quali valori di la funzione f è una densità di probabilità (non si chiede di calcolare C ). Calcolare C per = 1.
ii) (4 p) Detta X una v.a. con tale densità, posto Y = jXj1 , calcolare la densità di Y esprimendo il risultato …nale complessivo.
iii) (3 p) Stabilire per quali valori di la v.a. Y ha media …nita.
iv) (3 p) Calcolare Eh
(X + 1)4i
quando = 3.
Esercizio 3. Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4; 5; 6g associata alla seguente matrice di transizione
P = 0 BB BB BB
@
1=2 0 0 0 1=2 0
0 0 1=2 0 1=2 0
0 0 1=8 2=8 0 5=8
0 0 1=2 1=4 0 1=4
1=2 0 0 0 1=2 0
0 0 1=4 1=4 0 1=2
1 CC CC CC A
:
i) (3 p) Disegnare il grafo, classi…care gli stati, trovare le classi irriducibili, descrivere a priori la struttura generale di tutte le misure invarianti.
ii) (3 p) Calcolare tutte le probabilità invarianti della catena. Se possibile, mantenere i risultati in forma di numeri razionali esatti (frazioni di interi) per maggior tracciabilità dei calcoli.
iii) (4 p) Indicata con p(n)ij la probabilità di trovarsi nello stato j al tempo n dopo essere partiti dallo stato i al tempo 0, calcolare il limite a cui converge p(n)ij , per i valori di i; j per cui si riesce.
x = x1+:::+xn n, S2 = n 11 Pn
i=1(xi x)2, dCov = n 11 Pn
i=1(xi x) (yi y), r = SCovd
x{XSY =
Pn
i=1(xi x)(yi y)
pPn
i=1(xi x)2Pn
i=1(yi y)2. Pn
i=1(xi x)2 = Pn
i=1x2i nx2,Pn
i=1(xi x) (yi y) = (Pn
i=1xiyi) nxy.
n! = n (n 1) 2 1, 0! = 1. nk = k!(n k)!n! = n (n 1) (n k+1)
k! .
P (AjB) =P (A\B)P (B) , P (A \ B) = P (AjB) P (B). A; B indipendenti: P (A \ B) = P (A) P (B), P (AjB) = P (A), P (BjA) = P (B). P (A) =P
kP (AjBk) P (Bk). P (BjA) = P (AjB)P (B) P (A) . X discreta, valori aj, P (X = aj) = pj, allora E [X] = P
jajpj, E [g (X)] = P
jg (aj) pj, E X2 = P
ja2jpj. P (X 2 A) =P
i:ai2AP (X = ai) =P
i:ai2Api. X 2 N, P (X n) =Pn
i=0pi, P (X n) =P1
i=npi. X continua, densità f (x), allora E [X] =R1
1xf (x) dx, E [g (X)] =R1
1g (x) f (x) dx, in particolare E X2 = R1
1x2f (x) dx. P (X 2 A) =R
Af (x) dx.
V ar [X] = X2 := Eh
(X X)2i
dove X = E [X]. V ar [X] = E X2 2X. Cov (X; Y ) = E [(X X) (Y Y)], Cov (X; Y ) = E [XY ] X Y. (X; Y ) = Cov(X;Y )
X Y . 1 (X; Y ) 1.
E [aX + bY + c] = aE [X] + bE [Y ] + c. V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] + 2Cov (X; Y ). V ar [aX] = a2V ar [X].
Standardizzazione di X: X X
X .
X; Y indipendenti: P (X 2 A; Y 2 B) = P (X 2 A) P (Y 2 B). Implica E [XY ] = E [X] E [Y ], Cov (X; Y ) = 0, (X; Y ) = 0, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ].
F (x) = P (X x). F (t) =Rt
1f (x) dx. F0(t) = f (t). F (q ) = .
' (t) = E etX , '0(0) = E [X], '00(0) = E X2 ; 'aX(t) = E etaX = 'X(at). X; Y indipendenti implica 'X+Y (t) = 'X(t) 'Y (t).
X B (n; p) : P (X = k) = nk pk(1 p)n k, E [X] = np, V ar [X] = np (1 p), = p
np (1 p), ' (t) = q + pet n dove q = 1 p. X1; :::; Xn B (1; p) indipendenti implica S = X1+ ::: + Xn B (n; p).
X ipergeometrica di parametri N , M e n : P (X = k) =
N k
M n k N +M
n
con k = 0; 1; ; n.
X P ( ): P (X = k) = e k!k, E [X] = , V ar [X] = , = p
, ' (t) = e (et 1). Se npn = allora limn!1 nk pkn(1 pn)n k= e k!k.
X N ; 2 : f (x) = p1
2 2 exp (x2 2)2 . E [X] = , V ar [X] = 2, ' (t) = e tet2 22 . X; Y gaussiane indipendenti, a; b; c 2 R implica aX + bY + c gaussiana. X N ; 2 si può scrivere come X = Z + , con Z N (0; 1). F ; 2(x) = x . ( x) = 1 (x). q = q1 . Soglie q .
X Exp ( ): f (x) = e x per x 0, zero per x < 0. E [X] = 1, V ar [X] = 12, = 1, ' (t) = t per t < . F (x) = 1 e x per x 0, zero per x < 0.
TLC: Posto Sn= X1+ ::: + Xn, si ha P Snp n
n 2 A P (Z 2 A), con Z N (0; 1).
Correzione di continuità: P (Sn k) k+0;5 np
n , con k 2 N X = X1+:::+Xn n N ; n2 . E S2 = 2. S22(n 1) 2n 1.
= X qp1 2
n ; = X
S t(n 1)
1 2
pn .
x 0p n > q1
2. xS0p
n > t(n 1)1
2 . P jZj > xS 0p
n , P X 2h
0 q1
p 2
n ; 0+ qp1 2 n
i
. S22(n 1) >
2
;n 1. T = nPk i=1
(pbi pi)2 pi =Pk
i=1
(Xbi npi)2
npi > 2;k 1. y = A + Bx, B = CovdS2
X
= rSSY
X, y = A + Bx.
1 Soluzioni
Esercizio 1. Come premessa generale, introduciamo v.a. X1; X2; ::: di Bernoulli indipendenti che segnano la presenza o meno del vento forte nei diversi giorni (Xn= 1 se il giorno n-esimo il vento supera ).
i) La legge dei grandi numeri dice che X1+:::+Xn n converge a E [X1] in media quadratica ed in probabilità. Il rapporto
X1+:::+Xn
n è la percentuale di giorni di vento forte. Se p è il parametro delle Bernoulli Xn, cioè p = “probabilità che la soglia venga superata in una generica giornata”, vale E [X1] = p, quindi X1+:::+Xn n converge a p. E’quindi naturale associare la “probabilità che la soglia venga superata in una generica giornata” alla “percentuale di giorni di vento forte”. Nello speci…co, per n = 100 è stato osservato osservato che vale x1+:::+x100 100 = 1005 = 0:05.
ii) L’evento A = “nei primi dieci giorni ci sono due giorni di vento superiore a ” si può scrivere nella forma A = fX1+ ::: + X10= 2g :
La v.a. X := X1+ ::: + X10 è una B (10; p), p = 0:05, quindi P (A) = P (X = 2) = 10
2 0:052(1 0:05)8 = 0:075:
iii) L’evento B = “il primo giorno di vento superiore a è il decimo” si può scrivere nella forma B = fX1 = 0; X2 = 0; :::; X9= 0; X10= 1g :
Per l’indipendenza,
P (B) = P (X1= 0) P (X2 = 0) P (X9 = 0) P (X10= 1)
= (1 0:05)90:05 = 0:0315:
Esercizio 2. i) Per > 1 la funzione (x + 1) è integrabile su ( 1; 1); per 3 > 1 la funzione (1 x)3 è integrabile su ( 1; 1); quindi servono le due condizioni insieme > 1 e 3 > 1, ovvero
1 < < 4:
Per = 1 vale C 1
Z 1
1
f (x) dx = Z 1
1
(x + 1) (1 x)2dx = Z 1
1
(x + 1) 1 2x + x2 dx
= Z 1
1
x 2x2+ x3+ 1 2x + x2 dx = Z 1
1
1 x x2+ x3 dx
= x x2 2
x3 3 +x4
4
1
1
= 1 1 2
1 3+1
4 1 1
2 +1 3 +1
4 = 4 3 quindi C = 34.
ii)
FY (t) = P (Y t) = P 1
jXj t : Se t 0, P jXj1 t = 0. Altrimenti, se t > 0,
P 1
jXj t = P jXj 1
t = 1 P jXj < 1
t = 1 FX
1
t + FX
1 t : Quindi, se t > 0,
fY (t) = fX 1 t
1
t2 + fX 1 t
1 t2 = 1
t2 fX 1
t + fX 1
t :
Se t > 1, 1t, 1t 2 ( 1; 1), quindi
fY (t) = C t2
"
1
t + 1 1 1
t
3
+ 1
t + 1 1 1
t
3 #
:
Invece, se t 2 (0; 1], fX 1
t = fX 1t = 0 (in realtà il calcolo di¤erenziale precedente andrebbe ristretto a t 6= 1).
Quindi fY (t) = 0. In conclusione
fY (t) =
2C t2
1
t + 1 1 1t 3 per t > 1
0 per t 1 :
iii) Mai. Infatti, Z 1
1
tfY (t) dt
diverge a causa del termine tt12 = 1t, osservando che gli altri termini tendono alla costante 2 C , indipendentemente da .
iv)
Eh
(X + 1)4i
= Z 1
1
(x + 1)4f (x) dx = C3 Z 1
1
(x + 1)4+3dx
t=x+1
= C3
Z 2 0
t7dt = C3
t8 8
2
0
= C3
28 8 : Inoltre, andrebbe calcolata C3. Per = 3 vale
C31 Z 1
1
f (x) dx = Z 1
1
(x + 1)3dxt=x+1= Z 2
0
t3dt = t4 4
2
0
= 24 4 quindi C3= 244. In conclusione,
Eh
(X + 1)4i
= 4 24
28
8 = 23 = 8:
Esercizio 3. i) Lo stato 2 è transitorio, gli altri ricorrenti; f1; 5g e f3; 4; 6g sono irriducibili. Le distribuzioni invarianti hanno la forma
( 1; 0; 0; 0; 5; 0) + (1 ) (0; 0; 3; 4; 0; 6)
con 2 [0; 1] e ( 1; 5) invariante (unica) della sottocatena f1; 5g, ( 3; 4; 6) invariante (unica) della sottocatena f3; 4; 6g,
ii) La classe f1; 5g ha un’unica distribuzione invariante, uniforme per simmetria: ( 1; 5) = 12;12 . L’altra, relativa alla classe f3; 4; 6g, va calcolata col bilancio di ‡usso o altro modo. Vale
3(p34+ p36) = 4p43+ 6p63
4(p43+ p46) = 3p34+ 6p64
3+ 4+ 6 = 1 ovvero
37=8 = 41=2 + 61=2
43=4 = 32=8 + 61=4
3+ 4+ 6 = 1 da cui ad esempio
3= 44=7 + 64=7
43=4 = 41=7 + 61=7 + 61=4
44=7 + 64=7 + 4+ 6 = 1
4(3=4 1=7) = 6(1=7 + 1=4)
4(4=7 + 1) + 6(4=7 + 1) = 1
6
(4=7 + 1) (1=7 + 1=4)
3=4 1=7 + (4=7 + 1) = 1
6
4=7 + 1 3=4 1=7 = 1
6 = 3=4 1=7 4=7 + 1 = 17
44
4 = 3=4 1=7 4=7 + 1
1=7 + 1=4
3=4 1=7 = 1=7 + 1=4 4=7 + 1 = 1
4
3= 44=7 + 64=7 = 1 7 + 17
11 7 = 4 11:
Veri…chiamo per sicurezza: 114 +14 +1744 = 16+11+1711 4 = 4444 = 1:
Tutte le distribuzioni della catena complessiva hanno la forma 1
2; 0; 0; 0;1
2; 0 + (1 ) 0; 0; 4 11;1
4; 0;17 44 con 2 [0; 1].
iii) Per i = 2 e j 2 f1; 5g vale
p(n+1)ij = 1 2p(n)5j mentre per j 2 f3; 4; 6g vale
p(n+1)ij = 1 2p(n)3j
quindi è su¢ ciente capire p(n)ij per i 6= 2. Inoltre, per j = 2 tali probabilità sono nulle, quindi ci restringiamo anche a j 6= 2. In…ne, per l’irriducibilità, basta capire p(n)ij per i; j 2 f1; 5g e poi separatamente per i; j 2 f3; 4; 6g. A parte i valori numerici di ij, cerchiamo di capire p(n)ij per i; j 2 f1; 5g. Qui si tratta della matrice di transizione
P = 1=2 1=2 1=2 1=2 :
che è regolare e quindi (essendo lo spazio degli stati …nito) vale la convergenza all’equilibrio, ovvero p(n)ij tende alla misura invariante in j. E’però facile veri…care che Pn= P , quindi p(n)ij = 1=2, quindi tende a 1/2 anche senza l’uso di teoremi. Pertanto, per ora,
p(n)2j ! 1 2
1
2 per j = 1; 5 p(n)ij ! 1
2 per i; j = 1; 5:
I ragionamenti per la classe f3; 4; 6g sono analoghi; qui va usato il teorema di convergenza all’equilibrio e la condizione di regolarità, e vanno usati i valori speci…ci della misura invariante:
p(n)2j ! 1 2
4
11 per j = 3 p(n)2j ! 1
2 1
4 per j = 4 p(n)2j ! 1
2 17
44 per j = 6 p(n)ij ! j per i; j = 3; 4; 6: