1. Applicare la formula di MacLaurin alla funzione f(x) = log(1 + x), x > −1, supponendo n = 1 e prendendo il resto R 1 nella forma di Lagrange.

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Esercizi di riepilogo e complemento 8

Sviluppi di Taylor

1. Applicare la formula di MacLaurin alla funzione f(x) = log(1 + x), x > −1, supponendo n = 1 e prendendo il resto R ₁ nella forma di Lagrange.

2. Ordinare secondo le potenze di x + 1 il polinomio

P (x) = 5x ³ − 2x ² − x + 1

3. Scrivere il polinomio di MacLaurin di grado 6 della funzione f :

− π 2 , π 2

 → R, definita da

f (x) = √ cos x.

4. Maggiorare l’errore che si commette approssimando la funzione f(x) = sin x con il suo polinomio MacLaurin P (x) in un intorno dell’origine.

5. Calcolare il numero e a meno di 10 ⁻⁴ .

6. Maggiorare l’errore che si commette approssimando la funzione f(x) = e ^x con il suo polinomio di MacLaurin 1 + x + x ²

2 in ^ 0, 1 10

 .

7. Maggiorare l’errore che si commette approssimando la funzione f(x) = √

1 − 4x ² con il suo polinomio di MacLaurin 1 − 2x ² in ^ − 1 3 , 1 4

 .

8. Maggiorare l’errore che si commette approssimando la funzione f(x) = sin 3x con il suo polinomio di MacLaurin 3x − 9

2 x ³ in [0, 4].

9. Calcolare il minimo grado del polinomio di MacLaurin che permette di calcolare log 0, 9 con un errore minore di 10 ⁻⁵ .

10. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine n delle seguenti funzioni:

a) 1

1 + x ² b) arctg x c) cosh x

d) e ^x

e) xe ^−x

f ) sinh x

11. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 3 della funzione √

1 + sin x.

12. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 della funzione log(cos ² x).

13. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 della funzione log(e ^x

).

14. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 della funzione f(x) = arctg(log(1 + x ² )).

15. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 5 della funzione f(x) = tg x.

1

16. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 della funzione f(x) = 1 1 + sin x .

17. Valutare l’errore che si commette approssimando la funzione f(x) = e ^{sin x} con il polinomio P (x) = 1 + x + x ²

2 in ^ 0, 1 5

 .

18. Valutare l’errore che si commette approssimando la funzione f(x) = e ^−x

con il polinomio P (x) = 1 − x ² in ^ 0, 1 10

 .

19. Valutare l’errore che si commette approssimando la funzione f(x) = log
1 + x 1 − x



con il poli- nomio P (x) = 2x in ^ 0, 1 5

 .

20. Approssimare, a meno di infinitesimi di ordine maggiore di 3 rispetto all’infinitesimo campione x − 1, la funzione f : R ⁺ → R definita da f(x) = x ^x − 1 con un polinomio in x − 1.

21. Approssimare, mediante un polinomio in 1/x, a meno di infinitesimi di ordine superiore a 5 rispetto all’infinitesimo campione 1/x, per x + ∞, la funzione f : R ⁺ → R definita da

f (x) = 

1 + x ³ − x.

22. Determinare le costanti a e b in modo che la funzione f (x) = x − (a + b cos x) sin x sia un infinitesimo di ordine 5 rispetto all’infinitesimo principale x.

23. Calcolare il limite

x→0 lim

cos x − e ^x

sin ² x

24. Calcolare il limite

x→0 lim

e ^x − e ^{sin x} tgx − x

25. Calcolare il limite

x→0 lim

e ^x − e ^−x sin 2x

26. Calcolare il limite

x→0 lim

sin x − log(e ^x cos x) x sin x

2

27. Calcolare il limite

x→0 lim

(1 + x) ^1+2/x − (1 + 2x) ^1/x x

28. Calcolare i seguenti limiti

a) lim

x→0

e ^x − e ^−x

x sin x b) lim

x→0

sin x − log(cos x) x sin x

c) lim

x→0

log(1 + sin x)

sin 2x d) lim

x→0 (e ^x + x) ^1/x

e) lim

x→+∞



1 + 1 x

 _x

− e 

x f ) lim

n→+∞

√

a + √

b + √

c 3

 _n

, a, b, c ∈ R ⁺

g) lim

n→+∞

n + 2 n + 1

 _n

h) lim

n→+∞

n ³ − 2n + 1 n ² + n ³



n−3

i) lim

n→+∞ n ^α arctg 1

n , α ∈ R l) lim

n→+∞ [log(n + 1) − log n] n

m) lim

n→+∞

n ² + n ⁴

1 − cos _n ¹ 

n ² + 3 n)

29. Calcolare il limite

x→0 lim

a ^αx + b ^βx + c ^γx 3

 _1/x

, dove α, β, γ ∈ R; a, b, c ∈ R ⁺ ; p ∈ R.

30. Calcolare il limite

x→+∞ lim



x ³ − x ² + x 2



e ^1/x −  x ⁶ + 1

 .

31. Calcolare il limite

x→0 lim

[sin x ² − x cos(2x) ² − x ² + x] ^1/5 (x sin x ² + x ³ ) ^1/3

32. Calcolare il limite

x→+∞ lim

(e ^x

− 1) sin _x ¹

arctg _x ¹

, m, n, p ∈ R ⁺ .

33. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

a) lim

x→0

sin ¹ _x x



e ^x + 2 log(cos x) x ²



b) lim

x→0

sin ¹ _x

√ x



e ^x + 2 log(cos x) x ²



3

34. Stabilire se in x = 0 la funzione f (x) =

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ 1 x

 log

1 1 − x

 − e ^x sin x

 sin 1

x se x = 0

0 se x = 0

`

e continua e se ` e anche derivabile.

35. Calcolare lo sviluppo di Taylor della funzione f(x) = cos x rispetto al punto x ₀ = π 4 .

36. Calcolare lo sviluppo di Taylor della funzione f(x) = e ^x rispetto al punto x ₀ = 1.

37. Calcolare lo sviluppo di Taylor della funzione f(x) = log x rispetto al punto x ₀ = 2.

38. Dimostrare le disuguaglianze a) log(1 + x) > x − x ²

2 , x > 0, b) log(1 + cos x)
log 2 − x ²

4 , |x| < π.

 39. Dato lo sviluppo f (x + h) =

n−1 

k=0

h ^k

k! f ^(k) (x) + h ⁿ

n! f ⁽ⁿ⁾ (x + ϑh), ϑ ∈ (0, 1),

dove f ` e una funzione derivabile n volte in un intorno del punto x e derivabile n + 1 volte nel punto x con f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = 0, dimostrare che

h→0 lim ϑ = 1 n + 1 .

4