Esercizi di Calcolo2 programmati per il 17/12/2013
1. Sia ωa,b = bxy dx + (ax + x2) dy una forma differenziale dipendente dai parametri a e b.
i. Determinare i valori a e b tali che ωa,b sia esatta e calcolarne le primitive V (x, y).
R. a = 0, b = 2; V (x, y) = x2y + c.
ii. Per tali valori di a e b, verificarne la corrispondenza con le soluzioni dell’associata equazione differenziale
2xy dx + x2dy = 0 ⇐⇒ y0 = −2y x R. le soluzioni sono y = C/x2.
2. (Con svolgimento) In R3, il potenziale gravitazionale U (Q) nel punto Q, e generato da una distribuzione superficiale uniforme di densit`a costante µ, sulla sfera Sr di raggio r con centro in O si esprime mediante il seguente integrale superficiale (ponendo gi`a, per simmetria U = U (ρ), con ρ = |OQ|, e la costante gravitazionale pari a 1):
U (ρ) = Z Z
Sr
µdσ
|P Q| = Z Z
D
µr2sin θdθdφ pr2+ ρ2− 2rρ cos θ
dove P denota il punto corrente su Sr, e gli assi di riferimento sono scelti in modo che OQ = (0, 0, ρ); le coordinate angolari sferiche variano in D = [0, π]θ× [0, 2π]φ.
L’integrazione in φ d`a il fattore 2π, si arriva quindi a U (ρ) = 2πµr2
2rρ Z π
0
d(r2+ ρ2− 2rρ cos θ)
(r2+ ρ2− 2rρ cos θ)1/2 = 2πµr ρ
h
(r2+ ρ2− 2rρ cos θ)1/2iπ 0
= 2πµr
ρ (r + ρ − |r − ρ|) =
( q
ρ; se ρ > r
q
r; se ρ ≤ r
Quindi, avendo posto q = 4πµr2 (massa totale), risulta che fuori dalla sfera, il campo `e pari a quello generato dalla massa puntiforme q posta nel centro O, mentre all’interno della sfera il potenziale `e indipendente da ρ, pertanto il campo `e nullo. La componente radiale del campo (l’unica non nulla) presenta una discontinuit`a sulla superficie della sfera: il limite da dentro `e zero, mentre da fuori vale U0(r) = −q/r2. Il calcolo qui presentato descrive, con l’opportuno cambio di segno e a meno di costanti moltiplicative, anche il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica di densit`a superficiale µ.
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