Elettrostatica 3 23 maggio 2011

Elettrostatica 3

23 maggio 2011

Campo elettrico E

Dimensioni e unità di misura di E Principio di sovrapposizione per E Linee di campo

Distribuzione continua di carica. Densità di carica

Campo elettrico generato da una distribuzione continua di carica Moto di cariche in un campo elettrico uniforme

Dipolo elettrico

Campo elettrico di una carica

• Esploriamo l’azione di una carica Q mediante una seconda carica “di prova” q

• Questa carica subirà la forza di Coulomb

• Questa forza è proporzionale alla grandezza della carica esploratrice q

• Se dividiamo la forza per il valore di questa carica otteniamo una nuova grandezza, il campo elettrico, che dipende soltanto dal valore della prima carica e dalla distanza da questa carica

Q r F k

E  

  

Campo elettrico di una distribuzione di cariche

• Supponiamo di avere una distribuzione di cariche assegnata

• Vogliamo di nuovo esplorare l’azione di questa distribuzione mediante una carica di prova q

• Per il principio di sovrapposizione la forza totale è la somma delle singole forze

• Queste forze sono proporzionali a q e quindi anche la forza totale lo è

• Se dividiamo questa forza per q otteniamo il campo

elettrico generato dalla distribuzione di cariche assegnata

• Di nuovo il campo dipende solo dalla distribuzione di

cariche e dalla posizione spaziale in cui si trova la carica esploratrice, ma non dal valore di questa carica

Principio di sovrapposizione per E

• La validità del principio per E segue dalla

sua validità per le forze e dalla definizione

di E in termini di forza elettrica

Campo elettrico e azione a distanza

• Concetto alternativo all’azione a distanza

• Invece di avere una carica che subisce

“magicamente” l’azione di un’altra carica attraverso il vuoto, si suppone che ad ogni carica sia associato un campo elettrico

definito in tutto lo spazio e che questo sia il tramite delle azioni elettriche tra cariche

• In questa visione non esiste lo spazio

vuoto

Un momento di cautela

• La carica esploratrice dev’essere abbastanza piccola da non perturbare la distribuzione di cariche che si vuole studiare

• In linea di principio comunque piccola sia questa carica esistono i fenomeni dell’induzione e della polarizzazione per cui una perturbazione è

inevitabile (limite del principio di sovrapposizione)

• Si suppone che sia sempre possibile scegliere una carica abbastanza piccola affinché questa

perturbazione sia trascurabile

• Questo però contrasta con la quantizzazione della carica: non esiste carica minore di e

Principio di sovrapposizione

• Il fatto che una perturbazione tra cariche

diverse sia comunque inevitabile costituisce

una difficolta` per l’applicabilita` pratica del

principio di sovrapposizione

Dimensioni e unità di misura di E

• Dalla definizione segue che E ha le dimensioni di una forza diviso una carica:

• L’unità di misura è quindi il newton diviso coulomb: u(E)=N/C

    ^{E  F Q}

Campo di una carica puntiforme

• Si ricava dall’espressione della legge di Coulomb

• Questa espressione

presume che la carica sia nell’origine delle

coordinate

• Per generalità vediamo come si riscrive in caso la carica non sia nell’origine

• Questa forma ci è utile quando abbiamo più cariche

R R k Q R R

k Q R

E  

3 2 ˆ

)

(  





r R

k Q R

E  

 



 

  ₃

) (

R

r

 

Campo di più cariche puntiformi

 



 



j

j j

j

R r

r R

k Q R

E

1 3

)

(  

 





R

r

ri

R 



r

rj

R 



• Si ricava dal principio di sovrapposizione

Linee di campo

• Sono definite in ogni punto dello spazio esclusi quelli in cui sono presenti cariche puntiformi

• Sono linee nello spazio con la caratteristica di avere in ogni punto la tangente diretta come il campo

• Il verso è quello del campo (da carica positiva a carica negativa, oppure da carica positiva all’infinito, oppure dall’infinito a carica negativa)

• Si tracciano in numero proporzionale alla grandezza della carica: danno informazione anche sull’intensità del campo, poiche’ sono più fitte dove il campo è più intenso (lo dimostreremo quando studieremo la legge di Gauss)

Incrocio di linee

Esercizi sul campo elettrico

• Linee di campo tra due conduttori dello stesso segno

• Limiti del principio di sovrapposizione:

– Campo totale di due sfere conduttrici cariche – Campo totale di una carica puntiforme e di un

piano conduttore neutro

Distribuzione continua di carica

• Come abbiamo visto la carica è quantizzata

• Ma molto spesso si ha a che fare con quantità di carica estremamente grandi rispetto all’unità elementare

• In tali casi si può ritenere con buona

approssimazione che la carica vari con continuità

• Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo differenziale e integrale

Distribuzione continua di carica

• Carica distribuita nello spazio

– Densità spaziale

• Carica distribuita su di una superficie

– Densità superficiale

• Carica distribuita lungo una linea

– Densità lineare

• Dimensioni della densità

V

 Q

 dV

 dQ

 A

 Q

 dA

 dQ



dl

 dQ l 

 Q



uniforme generale

Distribuzione continua di carica

• Viceversa si può trovare la carica:

– in uno spazio S

– su di una superficie S – lungo una linea L





S

dV

Q 





S

dA

Q 





L

dl

Q 

Campo elettrico di una

distribuzione continua di carica

• Un volume infinitesimo dV intorno ad un

punto A contiene una carica infinitesima dQ

• In un punto qualunque B dello spazio, tale

carica dQ produce un campo elettrico

infinitesimo dE a

norma della legge di

dV dQ 







r R

k dQ E

d  

 

 

  ₃

A B

R r

dV R-r

Campo elettrico di una

distribuzione continua di carica

• Il campo totale è la somma (integrale) di tutti questi campi

infinitesimi

• La somma (integrale) va intesa in senso

vettoriale

• Cioè abbiamo tre integrali (tripli), uno per ogni dimensione spaziale

 

 ^{R r}  ^dV

r R

k r

r r R

R k dQ E

V V





 



 



 

 



 

 



3 3

)

 (





r R

k r E

V

x



 ( )₃

 

 

Campo elettrico di una

distribuzione continua di carica

• Idem per distribuzioni superficiali: abbiamo tre integrali (doppi)

• Idem per distribuzioni lineari: abbiamo tre integrali (semplici)

Esempi di calcolo di E

• Campo generato da un segmento uniformemente carico nel piano di

simmetria. Limite per estensione infinita

• Campo generato da un disco

uniformemente carico lungo l’asse di

simmetria. Limite per estensione infinita

Moto di una carica in un campo elettrico uniforme e statico

• Equazione del moto

• L’accelerazione è una costante

• Siamo cioè in presenza di un moto uniformemente accelerato, e valgono

tutte le leggi di Galileo relative al moto di un grave

• Se E non è parallelo ad uno degli assi del sistema di riferimento, esprimiamo

l’equazione vettoriale in componenti cartesiane

a m E

q  



m E a  q 

y y

x x

m E a q

m E a q





Dipolo elettrico

• E’ l’insieme di due cariche di ugual modulo q e segno opposto, poste a distanza l tra loro

• Momento elettrico di dipolo: è un vettore dato dal prodotto (normale) della carica per il

vettore distanza:

• Ove il vettor l si considera orientato dalla carica negativa a quella positiva

l q p   

-q

+q

Due tipi di dipolo

• Il dipolo può essere indotto da un campo elettrico esterno che sposta le cariche

positive e negative in un sistema altrimenti simmetrico

– Il dipolo ha necessariamente lo stesso verso del campo esterno

• Il dipolo può essere permanente: c’è una distribuzione asimmetrica stabile di carica

– Il dipolo può avere un’orientazione arbitraria

Forza di un campo E su un dipolo

• Forza totale

• Se il campo e` uniforme

F_tot=0 sia per dipoli indotti che permanenti

   

 

  

 





      

 F F q E r qE r q E r E r F_tot          

-q

+q r₊ r_-

E₊

E_-

p

-q

+q r₊ r_-

E₊

E_-

p

Momento di un campo E su un dipolo

• Momento totale (rispetto al CM)

• Se il campo e` uniforme

– E` nullo per momenti indotti, perche’ le forze sono parallele ai vettori posizione delle cariche

     

   

















































r E r

r E r

q

r E q r

r E q r

F r

F r

 



 



 



 

 

 





 ^{r r}  ^{E p E}

q     

 



  



+q r₊ r_-

E₊

E_-

p

+q r₊ r

E₊

E_-

p

Campo E non uniforme

• Se il campo non e` uniforme e il dipolo e` poco esteso nello spazio, E si puo` sviluppare in serie

• E similmente per il momento

   

 

       

 

 

x x E

x x q E

x x x

r E E x

x x r E

E q

r E r

E q F

k k

k CM

k k k

k CM

k k CMk

k CM

k k CMk CM

k CM CM

tot



 





 

 

 

 

 







 



 







 

 



 







 



 



  

 







 



 



 







 





























Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme

• Per definizione è l’opposto del lavoro

speso per passare dalla posizione iniziale A a quella finale B

• Introduciamo l’angolo  tra dipolo e campo e

scegliamo come punto a potenziale zero 

• Quindi





^ d ^ p^ E^ d ^ B A

L A

U B

U

B

A B

A



























) (

) ( )

(





sin )

2 (

) (

2 2













































pE

d pE

d E p

U U



 

E p pE

U ()   cos     