)(1 RVVRVCjVRVV ++= IIII ⇒⇒⇒⇒ −++=− rrrr rrrrrr RVVI CjVI )(1 RVVI = −= −= rr rrr rrr −= VRCjV rr ⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒ −= VCjRV )0( rr R ++++ − A R R R R C ++++ − R R C R

ESERCIZIO E1. Il circuito di figura opera in regime sinusoidale. L’operazionaleèideale,sideve determinare: a)la relazione analiticacostitutiva VO=ƒƒƒƒ(VS) fra il fasore della tensione vO(t) e il fasore della tensione del generatore di segnale vS(t); b) l’espressione analitica della pulsazione ω

ω ω

ωO alla quale la funzione di rete H(jωωωωO) assume una natura puramente induttiva; c) l’espressione analitica H(j0)chelafunzione di rete H(jωωωω) assume per ωωωω=0rad/sec, e si verifichi l’esattezza del risultato ottenuto dall’analisi diretta della rete; d) l’espressione analitica della potenza che viene dissipa dalla resistenza RK.

(Nota Bene: come modulo del fasore si assuma il valore di picco o ampiezza della sinusoide) La retedifigura1rappresenta unfiltroattivo, tipico nella struttura circuitale caratteristica dei sistemi con reazione negativa multipla, realizzato con amplificatore operazionale, di cui si richiede di determinare la corrispettiva funzione di rete H(jωωωω), ovvero il legame che sussiste fra il fasore associato al segnale di uscita vO(t) e il fasore rappresentativo del segnale sinusoidale di ingresso vS(t).

In figura 1a è riportata la rete da considerare nel dominio dei fasori, corredata, altresì, dal potenziale VA del nodo di appoggio relativo alla conveniente procedura risolutiva che si intende adottare per la specificità del circuito in esame e che, appunto, fa ricorso all’analisi nodale o principio dei potenziali di nodo.

Sempre nella figura 1a sono stati evidenziati i versi di riferimento delle correnti nei lati di interesse per la succitata analisi nodale.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al morsetto invertente, che grazie al “principio di traslazione del potenziale”

assume la stessa tensione del morsetto non invertente V⁺=V⁻⁻⁻⁻=0, consente di scrivere il legame analitico fra i fasori della tensione di uscita VO e della tensione VA del nodo di appoggio; si ottiene, cioè, quanto di seguito viene algebricamente esplicitato:

I

F

I r

r

₂

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

) (

1

₂

2

j C

V V R

V

_{A O}

ω r r

r −

=

−

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

) (

1

₂

2

j C

V V R

V

_{A O}

ω r r

r −

=

−

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

₂

( 0 )

2

O

A

j C V

R

V r r

−

= ω

Il legame analitico fra i fasori VO e VA sopra definiti assume la seguente forma:

O

A

j C R V

V

r r

2

ω

2

−

=

(1)

La determinazione delle espressioni delle correnti nei lati di interesse è ottenuta dalle relazioni:

R

1

V I

_S

V

^{S A}

r r r −

=

;

) (

1 j C

₁

I

_C

V

^A

ω r r

=

;

3

3

R

V I V

^{A O}

r r r −

=

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo di appoggio A permette di scrivere come di seguito esplicitato:

3

2

I

I I I

_{S C}

r r r

r = + +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 2

1

1

1 ( ) R

V V R V C j V R

V

V

_{S A A A A O}

r r r

r r

r −

+ +

− =

ω

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottengono le seguenti scritture:

+ ++

+

−

−−

− v_S(t) _v

O(t)

R

₂

C

1

− ++++

R

1

C

₂

R

_K

R

3

(figura – 1)

+++ +

−−−

− V_S

V_O

R

₂

1/jωωωωC1

− ++++

R

₁ ^1/jωωωωC2

R

K

R

₃

(figura – 1a) I₃

I₂

I_C I_S

V_A

A

V_A

I_F

3 3 2 1

1

1

R

V R V R V V C R j

V R

V

_{A A O}

A S A

r r r r

r r

− + +

=

− ω

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 3 2 1 1

1

R

V R V R V R V V C R j

V

_{A A A O}

A S

r r r r r

r

− + + +

= ω

3 3

2 1 1 1

1 · 1 1

R V V R R C R

R j

V

_O

A S

r r r

 −





 

 + + +

= ω

Sostituendo l’espressione della tensione di nodo VA, definita in precedenza dalla relazione (1), si ottiene quanto di seguito algebricamente riportato:

3 2

2 3

2 1 1 1

)·

1 ·(

1 1

R V V R C R j

R C R

R j

V

_O

O S

r r r

−

 −





 

 + + +

= ω ω

O

S

V

R R

R C j R

R C j R

R C R j

C R C

V r r

1 ·

3 3

2 2 2

2 2 1

2 2 2

2 2 1

1







 

 − − − −

= ω ω ω ω

O

S

V

R R R R

C R j

R C R C

V r r

1 · 1 1 1

3 2 1 2 2 3

2 2 1 2 1

 

 





 



 

 + +

 −





 

 −

= ω ω

 



 

 + +

 −





 

 −

=

3 2 1 2 2 3

2 2 2 1

1

1 1 1 1

R R R R

C R j

R C C

R

V

_O

V

^S

ω ω

r r

Il legame analitico VO=ƒƒƒƒ(VS) richiesto dalla traccia fra i due fasori VO e VA, ovvero l’espressione della funzione di rete H(jωωωω) è, pertanto, determinato dalla seguente relazione:

S

O

V

R R R C

j R

R C C C

C R V R

r

r ·

1 1

· 1 1

· 1 1

3 2 1 1 3

2 2 1 2 2 1 2

1







 

 + +

 −





 

 −

= ω ω

 



 

 + +

 −





 

 −

=

=

3 2 1 1 3

2 2 1 2 2 1 2

1

1 1 1

1 ·

· 1 ) 1

(

R R R C

j R

R C C C

C R V R

j V H

S O

ω ω ω ^r

r

(2)

b) Per la ricerca dell’espressione analitica della pulsazione ωωωωO alla quale la funzione di rete H(jωωωωO) assume una natura puramente induttiva, basta razionalizzare la funzione complessa H(jωωω) e poi ω imporre che sia nulla la sua parte reale e contestualmente sia positiva la sua parte immaginaria.

Tuttavia si nota che una procedura nettamente più semplice consiste nel determinare la pulsazione ω

ω ω

ωO che annulla la parte reale del numero complesso al denominatore dell’espressione di H(jωωω). ω La pulsazione ωωωωO resta, pertanto definita dalla relazione seguente:

1 0

) 3 (

2 2 1

2

 =





 

 −

= _O

R R C

C

_{ω ω}

ω

⇒

1 0

3 2 2 1

2

− =

R R C

O

C

ω

⇒

3 2 2 1

2

1

R R C

O

= C ω

Osservando che assumono significato fisico esclusivamente le pulsazioni positive, dalla precedente equazione pura di secondo grado si deve scartare la soluzione negativa e accettare solamente la soluzione seguente:

3 2 2 1

1 R R C

O

= C

ω

⇒

3 2 2 1

1 R R C

O

= C ω

c) per determinare l’espressione analitica che la funzione di rete H(jωωωω) assume per ωωωω=0rad/sec è sufficiente sostituire il valore ωωωω=0 nella relazione (2) ottenendo:

) 0 3 (

2 1 1 3

2 2 1 2

2 1 2 1 )

0

(

1 1 1

1 ·

1 )

( ) 0 (

=

=

 

 







 

 







 



 

 + +

 −





 

 −

=

=

ω

ω

ω ω

ω

R R R C

j R

R C C

C C R j R

H j

H

, da cui si ha:

3 2 2 1

2 1 2 1

3 2 1 1 3

2 2 1

2 1 2 1

1 1

1 1

· 1 0 0 1

1 )

0 (

R R C C

C C R R R

R R C

j R

R C C

C C R j R

H = −

 



 

 + +

 −





 

 −

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1

)

3

0

( R

j R

H = −

Per procedere alla verifica dell’esattezza del risultato ottenuto ricorrendo all’analisi diretta della rete è necessario considerare il circuito di figura 1b, valido nel dominio dei fasori, e analizzare le modifiche che caratterizzano l’imposizione della condizione ωωωω=0rad/sec. Si perviene così alla rete riportata in figura 1c. Infatti, per ωωωω=0rad/sec i due condensatori C1 e C2 presentano una reattanza XC tendente all’infinito e, pertanto sono modellati dal bipolo circuito aperto schematizzato nella

figura 1c, appunto, con un interruttore aperto. Poiché il morsetto invertente non può assorbire o erogare corrente, consegue che la resistenza R2 non è percorsa da corrente e, quindi, la corrente IS è tutta e solo la corrente che circola in R3. Si conclude che per ωωωω=0rad/sec la rete di figura 1c rappresenta un amplificatore operazionale in configurazione invertente alla quale corrisponde la relazione costitutiva seguente:

S

O

V

R V R

r

r ·

1 3 )

0

(

= −

ω=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 3 )

0

(

R

R V

V

S

O

= −

ω=

r r

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( ) ( 0 )

1 3 )

0 ( )

0 (

j R H

j R V H

V

S

O

=

₌

= − =

= ω

ω

ω r

r

d) la determinazione dell’espressione analitica della potenza che viene dissipa dalla resistenza RK

si effettua ricorrendo alla relazione costitutiva seguente:

K O

R

R

P V

K

2

2 · 1

r

=

+++ +

−−−

− V_{S V}

O

R

₂

1/jωωωωC1

− ++++

R

1

R

K

R

₃

(figura – 1b)

1/jωωωωC2

+++

+

−−−

− V_{S V}

O

R

₂

− ++++

R

1

R

K

R

₃

(figura – 1c) I_S

I_S

ESERCIZIO E2. L’interruttore S è aperto da lungo tempo e all’istante to=0 sec. viene chiuso.

Si desidera determinare: a) l’espressione analitica delle due correnti iC(t), i(t), della tensione vC(t) etracciareirelativigraficicorrelati per t>-500µs;µµµ b) l’istantet*in cuisi annulla la tensione vC(t) ai morsetti del condensatore C; c) l’energia accumulata nel condensatore C agli istanti t=0sec.

e t→→→→∞∞. Sono assegnati: E∞∞ _S =22V; IS =3A; R=5ΩΩ; gΩΩ _m=(2/5)ΩΩΩΩ^-1; C=14mF.

Si deve determinare l’andamento temporale della tensione vC(t) edellacorrente iC(t)ai morsetti del condensatore C, specifiche del transitorio caratteristico della rete lineare, evidenziata nella figura 2, conseguente alla commutazione dallo ‘stato’ di aperto allo

‘stato’ di chiuso dell’interruttore S.

La tensione vC(t) applicata ai morsetti del condensatore C è una variabile di stato e, cioè una funzione temporalmente continua definita dalla relazione costitutiva di seguito esplicitata:

τ )

)]

(

( ) ( [ ) ( )

(

_{C C C O} ^{t tO}

C

t v v v t e

v = ∞ − ∞ − ⋅

⁻

in cui sono presenti le grandezze vC(tO), vC(∞∞∞) e ττττ, il cui significato fisico di seguito si richiama: ∞

• v^C(tO) è il valore della tensione vC del condensatore C all’istante iniziale tO del transitorio e noto, anche, come valore iniziale o valore della tensione di precarica del condensatore C;

• vC(∞∞∞∞) è il valore di regime conseguito dalla tensione a transitorio esaurito, ovvero quando il condensatore C può essere sostituito dall’equivalente bipolo circuito aperto;

• ττττ è la costante di tempo definita dalla relazione costitutiva ττττ=CRTH, nella quale RTH definisce la Resistenza equivalente di Thevenin “sentita” dal condensatore C ai suoi morsetti.

La conoscenza dei tre parametri sopra richiamati consente di definire compiutamente il transitorio.

a1) rete valida per t=0⁻⁻⁻⁻, cioè −−−−500µsµµµ <t<0s.Datochel’interruttore S è aperto da lungo tempo, quindi, da un tempo certamente maggiore del tempo di assestamento TA = 5ττττ, si deve lecitamente ritenere che il condensatore C sia a regime cioè, completamente carico, e modellato dall’equivalente bipolo circuito aperto, così come mostrato in figura 2a. Per ispezione diretta si evince che la tensione di pilotaggio vX applicata ai morsetti della resistenza2Rcoincide,aogniistantet, con la tensione ai morsetti del condensatore C e ciò consente di concludere che anche la tensione vX(t) è una variabile di stato e, cioè, continua.

Pertanto, considerata altresì l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza 2R e la conseguenza relativa all’interruttore S aperto, sono evidenti e giustificate le seguenti posizioni:

) 0 ( ) 0 ( ) 0

(

_{C C}

C

v v

v

⁻

=

⁺

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

v

_X

( 0

⁻

) = v

_X

( 0

⁺

) = v

_X

( 0 )

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i

_C

( 0

⁻

) = 0 A ]

2 ) 0 ( [ ] 2 ) 0 ( [ ) 0 ( ) 0 ( ) 0

( i i v R v R

i

_R ⁻

=

_R ⁺

=

_R

=

_X ⁻

=

_C ⁻

)

0 ( )

0

(

⁻

= g

_m

v

_X ⁻

i

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i ( 0

⁻

) = g

_m

v

_C

( 0

⁻

)

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo ααα porge le scritture seguenti: α

) 0 ( ) 0

(

⁻

+

⁻

= i i

I

_{S R}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( 0 ) 2

) 0

(

⁻ ₋

+

=

^C _{m C}

S

g v

R

I v

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

2 RI

_S

= v

_C

( 0

⁻

) + 2 g

_m

Rv

_C

( 0

⁻

)

) 0 ( )·

2 1 (

2 RI

_S

= + g

_m

R v

_C ⁻

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_S

m

C

I

R g

v R ·

) 2 1 ( ) 2 0

(

⁻

= + E

_S

C

g

m

v

X

S

i_C(t)

3R

v

X

I

S

2R

++++

R

i(t)

v_C(t) (figura 2)

E

_S

g

m

v

X

(0

⁻⁻⁻⁻

)

S

i_C(0⁻⁻⁻⁻)

3R

v

X

(0

⁻⁻⁻⁻

) 2R

I

S

++++

R

i(0⁻⁻⁻⁻)

v_C(0⁻⁻⁻⁻)

(figura 2a: rete valida per t=0⁻⁻⁻⁻) i_R(0⁻⁻⁻⁻)

α

α

α

α

La sostituzione dei valori relativi ai dati forniti dalla traccia consente di ottenere quanto segue:

V R I

g

v R

_S

m

C

6

5 30 ) 4 1 ( 3 30 ] · ) 5 2 (

· 5

· 2 [ 1

5

·

· 2 ) 2 1 ( ) 2 0

( = =

= +

= +

= +

−

A v

g

i ( 0

⁻

) =

_{m C}

( 0

⁻

) = 6 (· 2 5 ) = 12 5 = 2 , 4

a2) rete valida per t→→→→∞∞∞∞. Dato che l’interruttore S si è chiuso da lungo tempo, cioè da un tempo che è certamente maggiore del tempo di assestamento TA = 5ττττ, si può evidentemente ritenere che il condensatore C ha conseguito un nuovo regime cioè si è completamente caricato e, quindi, sia modellato dall’equivalente bipolo circuito aperto, così come mostrato in figura 2b. Per ispezione diretta e,sempre per laleggediOhm alla resistenza di valore 2R, si evince che:

A

i

_C

( ∞ ) = 0

e

v

_C

( ∞ ) = v

_X

( ∞ )

R v R

i

_R

v

^{X C}

2 ) ( 2

) ) (

( ∞

∞ =

=

∞

Aifinidelladeterminazionedellatensione vC(∞∞∞∞) è utile ricorrere alla trasformazione fra le sorgenti reali e, pertanto, analizzare

l’equivalente circuito di figura 2c in cui il generatore di correnteISNè definito

dalla nota relazione costitutiva:

) ( E R I

_SN

=

_S

e per la legge di Ohm si ottiene:

R v

i

^*

( ∞ ) =

_C

( ∞ )

L’utilizzo della legge di Kirchhoff dellecorrentivistaalsupernodoΣΣΣΣ, caratteristico della rete binodale di figura2c, consente di relazionare come algebricamente di seguito esplicitato:

) ( )

( )

( ∞ + ∞ + +

^*

∞

= i g v I i

I

_{S R m X SN}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

R v R v E

R g

I

_S

v

^X _{m X} ^{S X}

( )

) 2 (

)

( ∞

+ +

∞

∞ +

=

R v R v E

R g

I

_S

v

^C _{m C} ^{S C}

( )

) 2 (

)

( ∞

+ +

∞

∞ +

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 · ( )

2

1  ∞



 



 + +

=

−

^S _{m C}

S

v

g R R R

I E

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottiene quanto sotto riportato:

) ( 2 ·

2 2

1 2

2

2  ∞



 



 + +

− =

C m

S

S

v

R R g R

E

RI

⇒

=

+

= −

∞ g R

E v RI

m S S

C

3 2

2 ) 2

(

) ( ) ( ∞ + ∞

= i i

I

_{S R}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i ( ∞ ) = I

_S

− i

_R

( ∞ )

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

R I v

i

_S ^C

2 ) ) (

( ∞

−

=

∞

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo ααα porge la seguente relazione: α La sostituzione dei valori relativi ai dati forniti dalla traccia consente di ottenere quanto segue:

R V g

E v RI

m S S

C

2

7 14 )

4 3 (

44 30 )]

5 2 (·

5

· 2 [ 3

) 22

· 2 ( ) 3

· 5

· 2 ( 2

3

2 ) 2

( = − = −

+

= − +

= − +

= −

∞

R A I v

i

_S ^C

3 [ 2 ( 2 · 5 ) ] 3 ( 1 5 ) 3 0 , 2 3 , 2 2

) ) (

( ∞ = − − = + = + =

−

=

∞

a3) Determinazione della resistenza equivalente RTH.La rete che bisogna esaminare per il calcolo della Resistenza equivalente di Thevenin RTH sentita dal condensatore C è riportata in figura2d,

E

S

g

m

v

X

(∞ ∞ ∞) ∞

S

i_C(∞∞∞∞)

3R

v

_X

(∞ ∞ ∞ ∞) 2R

I

_S

++++

R

i(∞∞∞∞)

v_C(∞∞∞)∞

(figura 2b) i_R(∞∞∞∞)

α α α α

I

SN

g

m

v

X

(∞ ∞ ∞ ∞)

S

i_C(∞∞∞)∞

3R

v

X

(∞ ∞ ∞ ∞) 2R

I

S

R

i(∞∞∞)∞

v_C(∞∞∞)∞

(figura 2c: rete valida per t→→→→∞∞∞∞) iR(∞∞∞∞)

α α α α

Σ Σ Σ Σ

i

^*

(∞ ∞ ∞) ∞

ottenuta dall’originaria figura 2, dalla quale si evince lo stato di chiusura dell’interruttoreSnonché l’annullamentodei generatori indipendenti, rispettivamente, di corrente IS e di tensione ES e la sostituzione del condensatore C con il generatore sonda VTX. Sempre per ispezione diretta si nota la caratteristica saliente della rete binodale che si deve analizzare, caratterizzata dalla condizione VTX=vX. L’applicazione della legge di Ohm, rispettivamente, alle due resistenze R e 2R permette di relazionare come segue:

) 2 (

) 2

( v R V R

i

_R

=

_x

=

_TX e

i

^*

= ( v

_x

R ) = ( V

_TX

R )

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo di corrente ΣΣΣΣ₂ consente inoltre di relazionare come segue:

)

*

( ∞ + +

= i g v i I

_{TX R m X}

R v v

R g

I

_TX

= v

^X

+

_{m X}

+

^X

2

TX TX

m TX

TX

V g RV V

RI 2 2

2 = + +

TX m

TX

g R V

RI ( 3 2 )·

2 = +

TX m

TX

I

R g

V R ·

) 2 3 (

2

= +

In ossequio alla definizione costitutiva di resistenza equivalente di Thevenin RTH si ottiene:

TX m

TX E

TX I TX

TH

g R I

RI I

R V

s S

1 ) 2 3 (

2

0 ) , (

+ ⋅

=

=

=

⇒

) 2 3 (

2 R g R R

m TH

= +

Sostituendo i dati forniti dalla traccia si determina il valore di RTH; si ha, infatti:

Ω + =

+ = + =

= 7

10 ) 4 3 (

10 )]

5 2 (·

5

· 2 [ 3

5

· 2 )

2 3 (

2 R g R R

m TH

Nota la Resistenza equivalente RTH resta così determinata la costante di tempo ττττ che caratterizza la dinamica del transitorio; infatti, in ossequio alla definizione si relaziona come segue:

ms CR

_TH

= 14 ⋅ 10

³

·( 10 7 ) = 2 · 10 · 10

³

= 20

=

^{− −}

τ

L’evoluzione temporale tipica del transitorio della tensione e della corrente del condensatore C è determinata dalle relazioni costitutive di seguito esplicitate, in cui si è già considerato tO =0s:

) 20 10 ( )

10

· 20

( ³

2 8 ·

³

)·

6 2 ( 2 )]

0 ( ) ( [ ) ( )

(

_{C C C} ^{t t t}

C

t v v v e e e

v = ∞ − ∞ − ⋅

^{− τ}

= − − − −

^{− −}

= − +

⁻

da cui si conclude che per ogni 0≤≤≤≤t<∞∞∞∞ il transitorio è definito in tensione dalla relazione:

] [

· 8 2 )

( t e

^50·

V v

_C

= − +

^{− t}

t t

t t

TH C C

C

C

e e e e

R v v

dt t C dv t

i

^{(10 20) 50· 50·}

5 28 10

56 )

7 10 (

) 6 2 ( )]

0 ( ) ( [ ) ) (

(

⁻

− −

^{− 3}

= − ⋅

⁻

= −

⁻

=

− ⋅

= ∞

=

^τ

da cui si conclude che per ogni 0<t<∞∞∞∞ il transitorio è definito in corrente dalla relazione:

] [ 6

, 5 )

( t e

^50·

A i

_C

= −

^{− t}

a4) calcolo della corrente i(t). Per tale finalità la rete da analizzare è riportata in figura 2e dalla quale, per ispezione diretta, si evince che:

) ( )

( t v t v

_X

=

_C

eperlaleggediOhm applicata alla resistenza 2R si ottiene:

R t v R t v t

i

_R

( ) =

_X

( ) 2 =

_X

( ) 2 g

_m

v

_X

S I_TX

3R

v

X

2R R

V_TX

(figura 2d: rete valida per il calcolo di RTH) i_R

α α α α

Σ Σ Σ Σ

2

i

^*

++++

−−−−

I

SN

g

_m

v

_X

(t)

S

i_C(t)

3R

v

_X

(

t

) 2R

I

_S

R

i(t)

vC(t)

(figura 2e: rete valida per 0<t<∞∞∞∞) i_R(t)

Σ Σ Σ Σ

3

C

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΣΣΣΣ3 consente di relazionare così come di seguito riportato:

) ( ) ( )

( t i t i t i

I

_S

=

_C

+

_R

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i ( t ) = I

_S

− i

_C

( t ) − i

_R

( t )

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i ( t ) = I

_S

− i

_C

( t ) − v

_X

( t ) 2 R

R t t v

i I t

i

_{S C} ^C

2 ) ) (

( )

( = − −

⇒

R t t v

i I t

i

_{S C} ^C

2 ) ) (

( )

( = − −

Sostituendo i dati forniti dalla traccia e i valori delle grandezze in precedenza calcolati si determina l’espressione dell’andamento temporale relativo al transitorio della corrente i(t); si ottiene, infatti:

t t

t C t

C

S

e e e

R e t t v

i I t

i

^{50· 50·}

·

· 50

50

3 5 , 6 0 , 2 0 , 8

) 5

· 2 (

· 8 ) 2

· 6 , 5 ( 2 3

) ) (

( )

(

^{− −}

−

− +

−

= + + −

−

−

−

=

−

−

=

In conclusione si perviene alla seguente scrittura, valida per ogni 0<t<∞∞: ∞∞

] [

· 8 , 4 2 , 3 )

( t e

^50·

A i = +

^{− t}

Nella figura 2f sono mostrati gli andamenti temporali delle grandezze di interesse, cioè la tensione vC(t) e la corrente iC(t) ai morsetti del condensatore C, nonché la corrente i(t).

b) Poiché la tensione ai morsetti del condensatore, durante il transitorio passa da un valore positivo vC(0)=6V al valore negativo vC(∞∞∞∞)=-2V consegue che di certo esiste l’istante t* in cui si annulla la tensione ai morsetti del condensatore, quindi vC(t*)=0V. La procedura idonea a tele fine viene espressa dal soddisfacimento della condizione che di seguito si riporta:

τ

)]·

*

0 ( ) ( [ ) (

*)

(

_{C C C} ^t

C

t v v v e

v = ∞ − ∞ −

⁻

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici si motivano le scritture che di seguito si riportano:

τ

)]·

*

0 ( ) ( [

*) ( )

(

_{C C C} ^t

C

v t v v e

v ∞ − = ∞ −

⁻

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^*τ

) 0 ( ) (

*) ( )

(

_t

C C

C

C

e

v v

t v

v

₋

− =

∞

−

∞

τ

*

1 ) 0 ( ) (

*) ( ) (

t C

C

C C

v e v

t v

v =

−

∞

−

∞

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

*) ( ) (

) 0 ( )

*

(

t v v

v e v

C C

C t C

−

∞

−

= ∞

τ

⇒ ⇒ ⇒ ⇒





 





−

∞

−

= ∞

*) ( ) (

) 0 ( ) ln (

*

t v v

v v

t

C C

C C

τ

Pertanto, l’istante t* al quale si verifica la condizione vC(t*)=0V è determinato dalla relazione:

 

 





−

∞

−

= ∞

*) ( ) (

) 0 ( )

·ln (

* v v t

v t v

C C

C

τ

C

La sostituzione dei valori delle grandezze di interesse, in precedenza, calcolati consente di ottenere:

4

·ln 02 , 2 0

·ln 8 02 , 0 0 2

6 ln 2

10

· 20

*

³

 =



 



= 

 

 

−

−

−

=

⁻

−

t

⇒⇒⇒⇒

t * = 0 , 02 · 1 , 3863

⇒

t * = 27 , 726 ms

b) Il calcolo dell’energia accumulata nel condensatore C agli istanti t=0s e t→→→→∞∞∞∞ è definito dalle posizioni relazionali che di seguito si esplicitano:

mJ v

C

W

_C

· 14 · 10 · 6 7 · 10 · 36 252 · 10 252 2

) 1 0 (

· 2 · ) 1 0

( =

²

=

^{−3 2}

=

⁻³

=

⁻³

=

mJ v

C

W

_C

· 14 · 10 ·( 2 ) 7 · 10 · 4 28 · 10 28 2

) 1 (

· 2 · ) 1

( ∞ =

²

∞ =

⁻³

−

²

=

⁻³

=

⁻³

=

ESERCIZIO E3. Con i riferimenti coordinati delle tensioni e delle correnti, espressi dalle usuali convenzioni alle porte 1 e 2 del doppio bipolo di figura 3, si deve determinare analiticamente a) i parametri della matrice Z, specifici della formulazione controllata in corrente; b) il parametro Y11dellamatricedellaformulazionecontrollatain tensione; Successivamente, nell’ipotesi che sia R=2ΩΩΩΩ;µµµµ=2;ββββ=3;C=10µF;µµµ L=0,8mHecheigeneratoriidealidicorrentei1ei2chealimentano, in regime sinusoidale, il doppio bipolo risultino così definiti: i1(t)=1,5√√√√2·cos[10^4·t+(ππππ/4)][A] e i2(t)=0,5√√√√2sin[10^4·t+(ππππ/4)][A], si vuole determinare: c) la potenza attiva e reattiva erogata dai due generatori di corrente i1(t) e i2(t) nonché la potenza dissipata dalla resistenza R.

La specifica richiesta concernente la determinazione della matrice R relativa alla formulazione della controllabilità in corrente, implica che le due sorgenti indipendenti richieste per alimentare la porta d’ingresso e la porta d’uscita sono costituite dai due generatori ideali di corrente, indicati con I1 e I2, così come mostrato in figura 3a.

Il modello matematico che esprime la relazione costitutiva del doppio bipolo in esame è espresso, in forma canonica, nel dominio dei fasori dalla scrittura che di seguito si riporta:

 



+

=

+

=

2 22 2 21 2

2 12 1 11

:

1

I Z I Z V

I Z I Z

DB

_Z

V ^{r r r}

r r

r

⇒ ⇒ ⇒ ⇒





 



= 

22 21

12 11

R Z

Z

Z Z

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V I r r = Z •

a1) Procedura per Ispezione Diretta. La rete da analizzare, nel dominio dei fasori, è riportata nella figura 3a, nella quale si è evidenziata la presenza dei due generatori indipendenti ideali di corrente con cui è alimentato in regime sinusoidale il doppio bipolo di figura 3. L’applicazione della legge

ββββ i

2

v

₂

C R

L

v

X

v

₁

i

₂

i

₁

++++

µ µµ µ v

_X

(figura – 3)

di Ohm alla resistenza R e la legge di Kirchhoff delle correnti applicata al supernodo ΣΣΣ validano Σ le seguenti relazioni:

X X

R I V

r

r =

⇒

I

_X

V

_X

R r r =

I

X

I I

I

r r r

r

₁

+

₂

+ β

₂

=

, da cui:

R I V

I

^X

r r

r

₁

+ ( 1 + β )

₂

=

, ovvero:

2 1

( 1 ) R I I

R V

_X

r r

r = + + β

Il ricorso alla legge di Kirchhoff delle tensioni riferita alla maglia di cui in figura 3a si è indicato il verso di percorrenza, consente di esplicitale le scritture di seguito riportate:

1

1

V V j L I

V

_{X X}

r r

r

r − µ − = ω

⇒

V j L I V

_X

r r

r

₁

= ω

₁

+ ( 1 + µ )

Operando le dovute sostituzioni e i necessari passaggi algebrici si ottiene quanto sotto esplicitato:

] ) 1 ( )·[

1

(

_{1 2}

1

1

j L I R I R I

V

r r

r

r = ω + + µ + + β

2 1

1

[( 1 ) R j L ]· I ( 1 )·( 1 ) R I V

r r

r = + µ + ω + + µ + β

Il confronto di quanto ottenuto con la prima relazione costitutiva del doppio bipolo in esame valida, con immediatezza, le posizioni seguenti:

L j R

Z

₁₁

= ( 1 + µ ) + ω

e

Z

₁₂

= ( 1 + µ )·( 1 + β ) R

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di destra, di cui nella figura 3a si è indicato il verso di percorrenza, consente di relazionare come di seguito esplicitato:

2 2

1 I C V j

V

_X

r r

r

= ω

−

⇒ _{2 1 2}

1

₂

) 1

( I

C I j

R I

R V

r r

r r

β = ω

−

−

−

Procedendo con i necessari passaggi algebrici si ottiene quanto di seguito è riportato:

2 1

2

) 1 1

( I

C R j

I R V

r r

r

 



 

 − +

+

= β ω

_{2 1}

1 ( 1 )

₂

C I j CR I j

R V

r r

r

 



 

 + +

+

= ω

β ω

Il confronto di quanto ottenuto con la seconda relazione costitutiva del doppio bipolo in esame fa validare, con immediatezza, le posizioni seguenti:

R

Z

₂₁

=

e

C j CR Z j

ω

β ω ( 1 ) 1

22

+

= +

Pertanto, si conclude affermando che la matrice Z delle impedenze, relativa alla formulazione della controllabilità in corrente, per il doppio bipolo in esame è costituita come di seguito evidenziato:

 



 

= 

22 21

12 11

R Z

Z

Z Z

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 





 





+ +

+ +

+ +

=

C R j

R

R L

j R

β ω

β µ

ω µ

) 1 1 (

) 1 )·(

1 ( )

1 ( Z

a2) Procedura delle Prove Semplici. È la procedura che attiene alla definizione dei parametri stessi, cioè alla loro relazione costitutiva; infatti la determinazione dei parametri Zij si effettua a coppie imponendo il funzionamento a vuoto prima della porta di uscita e successivamente della porta di ingresso.

Calcolo di Z11 e di Z21. La rete che si deve studiare è mostrata in figura 3b caratterizzata dalla sola presenza della sorgente indipendente I1 e dalla messa a vuoto della porta d’uscita ottenuta tramite lo spegnimento della sorgente indipendente I2. È conveniente ricordarele relazionicostitutive dei

ββββ I

2

V

2

1/jωωωCω

R

jωωωωL

V

_X

V

1

I

2

I

1

++++

µ µµ µ V

X

(figura – 3a)

I

_X

Σ Σ Σ Σ

++++ ++++