Lezione di giovedì 7-10-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Introduzione al corso.
• Gli insiemi.
– definizione di insieme e di elementi di un insieme; i simboli ∈ e 6∈. Modi di specificare un insieme: dando gli elementi e fornendo una legge. L’insieme vuoto
∅.
– Definizione di sottoinsieme: A⊂ B.
– Definizione di uguaglianza degli insiemi A e B:
A = B ⇔ (i) A ⊂ B e (ii) B ⊂ A
– Complemento di un insieme A rispetto all’insieme campione Ω: Ac. Osservare che ω∈ Ω soddisfa la relazione ω ∈ A oppure ω ∈ Ac. Ancora Ωc=∅ e ∅c = Ω.
Rappresentazione mediante diagrammi di Venn di A e di Ac.
– L’unione di due sottoinsiemi A⊂ Ω e B ⊂ Ω: A ∪ B. Rappresentazione mediante diagrammi di Venn. Proprietà
(i) A∪ B = B ∪ A (ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Univocità della scrittura A∪ B ∪ C.
– L’intersezione di due sottoinsiemi A ⊂ Ω e B ⊂ Ω: A ∩ B. Rappresentazione mediante diagrammi di Venn. Proprietà
(i) A∩B = B∩A (ii) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) (iii) A∪(B∩C) = (A∩B)∪(A∪C).
– Leggi di de Morgan (con dimostrazione non richiesta)
(i) (A∪ B)c= Ac∩ Bc (ii) (A∩ B)c= Ac∪ Bc. – Esercizi sugli insiemi. In particolare sono stati svolti i due esercizi
∗ Dimostrare che A ⊂ B ⇒ Bc⊂ Ac.
∗ Dimostrare che valgono le relazioni
A∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Queste due relazioni sono state utilizzate per introdurre il principio di dualità.
Lezione di lunedì 11-10-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Il prodotto cartesiano A × B di due insiemi A e B; coppie ordinate.
– Esempio: A ={1, 2, 3} e A = {5, 6}. Calcolo di A × B e di B × A. Osservare che A× B 6= B × A.
• Insiemi di numeri.
– i numeri naturali N ={0, 1, 2, 3, · · ·} e loro rappresentazione sulla retta.
– i numeri interi Z e loro rappresentazione sulla retta.
– i numeri razionali Q e loro rappresentazione sulla retta. Operazioni con le frazioni.
∗ Esempio: calcolo dell’espressione
1
2−13 +16 1−12 · 43
– i numeri reali. L’introduzione è stata fatta con i seguenti passi:
∗ tra due punti della retta che corrispondono a due numeri razionali cadono infiniti altri punti che sono in corrispondenza con numeri razionali;
∗ però, non tutti i punti della retta possono essere messi in corrispondenza con un numero razionale: il punto che corrisponde a √
2, costruibile con riga e compasso, ben distinto sulla retta, non è associabile a nessun razionale perché
√26∈ Q. Nascono i numeri irrazionali.
∗ ampliamento di Q in modo da comprendere anche tutti i punti della retta che non è possibile mettere in corrispondenza con alcun numero razionale. I numeri reali.
∗ Distinzione tra le espansioni decimali dei numeri razionali (numero finito di cifre oppure infinito ma con un periodo) e degli irrazionali (numero infinito di cifre e aperiodici).
– Esercizi.
∗ Dimostrare che√ 36∈ Q.
∗ Dimostrare che√
2− 1 6∈ Q.
∗ Trovare due numeri x, y irrazionali tali che x · y ∈ Q.
∗ Trovare due numeri x, y irrazionali tali che x + y ∈ Q.
∗ Trovare un numero irrazionale x tale da soddisfare contemporaneamente alle due condizioni
(i) 0 < x < 1 e (ii) x contiene solo le cifre 0 e 1.
Lezione di martedì 12-10-2010 ore 15:45 - 17:15, aula P100
• Enunciazione ed esemplificazione delle tre proprietà di R: (i) R è completo; (ii) Q è denso in R; (iii) R è ordinato.
• Proprietà delle disequazioni. Osservazione che x2 ≥ 0 e x2 = 0 se e solo se x = 0.
Estensione a [f (x)]2≥ 0. Dimostrazione che x2+ y2≥ 2xy ∀ x, y ∈ R.
• Il valore assoluto |x|: definizione e primi esempi. Calcolo di |√ 2−√
3| e di |x − 2|.
Estensione a |f(x)|. Proprietà del valore assoluto: |x · y| = |x| · |y|, |x/y| = |x|/|y|,
|x+y| ≤ |x|+|y|, ||x|−|y|| ≤ |x−y|. Distanza di due punti sulla retta e suo significato geometrico.
• Sottoinsiemi della retta reale.
– insiemi finiti ed infiniti.
– insiemi limitati ed illimitati superiormente e/o inferiormente. Insiemi limitati.
Esempi
∗ Z né sup. né inf. limitato.
∗ N inf. limitato ma sup. illimitato.
∗ A =xn = (−1)(n+2), n∈ N = {−1, 1} sup. e inf. limitato.
– Intervalli: definizione, nomenclatura e illustrazione grafica dei vari casi possibili.
Intervalli aperti/chiusi ad un estremo.
– Esercizi
∗ Disegnare l’insieme e dire se è sup. e/o inf. limitato e se è un intervallo A = ((1, 3)∩ (−∞, 2]) ∪ [5, 5]
∗ Idem per l’insieme
A = [0, 2)∪ [4, +∞]
Lezione di mercoledì 13-10-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Esercizio: Dato l’insieme
A =
xn = 1
n + 1, n∈ N
disegnarlo sulla retta reale, dire se è finito o infinito, se è sup. e/o inf. limitato e se è un intervallo. Dimostrare le relazioni
(i) 0 < xn+1< xn e (ii) xn− xn+1< 1 n2.
• Potenze ad esponente intero: definizione e proprietà. Esempio: calcolare l’espressione
1 2
−2
· 2−4
32 = 1
36
• Radice n−esima: definizione, esistenza ed unicità. Osservazione che √
x2 = |x| e pf(x) = |f(x)|. Esempi:
r
√ 2− 22
, q
(x2+ 1)2, q
(x− 1)2
• Potenza ad esponente razionale: definizione e proprietà. Esempi:
3−2/5, q
2·√3 2, √
32
• Risoluzione di equazioni in una variabile.
– Principi di equaivalenza.
– Equazioni di primo grado: la forma normale ax = b e sua discussione al variare di a, b∈ R. Esempi:
∗ Risolvere 3x − 5 = 0
∗ Discutere, al variare del parametro k ∈ R, le soluzioni dell’equazione (x + k) + (kx− 2) = 0
∗ Risolvere l’equazione (2x − 1)2= 4x2− 6x + 7
– Equazioni di secondo grado in forma normale ax2+bx+c = 0 con a6= 0. Formula risolutiva nei tre casi di ∆ > 0 (due radici distinte), ∆ = 0 (una radice doppia) e
∆ < 0 (assenza di radici). Esempio
∗ Risolvere 2x2+ x− 1 = 0.
∗ Nel caso di radici reali, vale la fattorizzazione
ax2+ bx + c = a(x− x1)· (x − x2).
∗ Determinare, se possibile, un valore del parametro k ∈ R tale che l’equazione x2+ (2k− 1)x + (k2− k) = 0
abbia x = 0 come soluzione.
Lezione di giovedì 14-10-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Elementi di geometria analitica: parte generale.
– Sistema di riferimento cartesiano Oxy. Corrispondenza biunivoca tra i punti P del piano (ente geometrico) e le coppie di numeri reali: P ↔ (x, y), x, y ∈ R.
∗ Esempio: rappresentare sul piano cartesiano i punti A = (−3, 2), B = (2, 0), C = (2,−1), P = (0, 1), Q = (−1, −2).
– La distanza Euclidea di due punti P = (xP, yP) e Q = (xQ, yQ):
P Q =q
(xP − xQ)2+ (yP − yQ)2≥ 0.
∗ Esempio: calcolare la distanza dei punti P = (−1, −2) e Q = (−3, 1). Risulta P Q =√
13.
– Coordinate del punto medio M = (xM, yM) del segmento P Q:
xM =xP+ xQ
2 , yM =yP+ yQ
2
∗ Esempio: dato P = (1, −1) determinare il punto Q = (xQ, yQ) in modo che il punto medio del segmento P Q sia M = (2, 3). Risulta xQ = 3, yQ = 7.
– Grafico di un’equazione F (x, y) = 0.
∗ Il punto P = (xP, yP) appartiene al grafico dell’equazione F (x, y) = 0 se e solo se F (xP, yP) = 0.
∗ Esempio: data F (x, y) = x3+ x· y, il punto P = (0, 1) appartiene al grafico di F (x, y) = 0 perché
03+ 0· 1 = 0
mentre il punto Q = (−1, 2) non vi appartiene giacché (−1)3+ (−1) · 2 = −1 − 2 = −3 6= 0.
• La retta.
– La forma implicita ax + by + c = 0 ed i suoi possibili grafici.
– La forma esplicita (per a6= 0) y = mx + q.
– Calcolo della retta passante per due punti assegnati: caso della retta passante parallela all’asse x, parallela all’asse y e caso generale.
– Retta parallela ad un’altra retta data e passante per un punto assegnato. Con- dizione di parallelismo di due rette in forma esplicita.
Lezione di lunedì 18-10-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Calcolo della retta passante per P = (xp, yp) e ortogonale ad una retta r data:
– caso r: y = y;
– caso r: x = x;
– caso r: y = mx + q impostando il sistema di due equazioni nelle due incognite m e q. Condizione affinché le rette y = m1x + q1 e y = m2x + q2 siano ortogonali.
∗ Esempio: retta passante per P = (−1, 1) e ortogonale a r: y = 52x−12.
• Esercizio: trovare il punto di intersezione delle due rette y = 2x − 1 e y = −x + 4.
• Illustrazione del concetto di distanza di un punto P da una retta r: d(P, r) = minQ∈r(P Q).
Metodo per determinare d(P, r).
– Esercizio: trovare la distanza del punto P = (−1, 1) dalla retta y = 52x−12.
• La parabola: equazione cartesiana y = ax2+ bx + c, a6= 0, a, b, c ∈ R.
– Il vertice della parabola V = (xv, yv) con xv =−b/(2a) e yv= ax2v+ bxv+ c.
– l’asse di simmetria della parabola x =−b/(2a)
– Grafico qualitativo della parabola nei sei casi che corrispondono a
∗ a > 0 con ∆ > 0, ∆ = 0 e ∆ > 0
∗ a < 0 con ∆ > 0, ∆ = 0 e ∆ > 0
– Esercizio: disegnare, trovare l’asse di simmetria, l’intersezione con l’asse y ed il vertice della parabola y = x2+ 4x + 5.
• La circonferenza: equazione cartesiana (x − xc)2+ (y− yc)2 = r2 con C = (xc, yc) centro della circonferenza di raggio r > 0.
– interpretazione geometrica della equazione della circonferenza.
– l’equazione x2+y2+αx+βy +γ = 0 e sua equivalenza con l’equazione precedente.
– Esercizio: individuare la/e eventuali circonferenze e trovarne centro e raggio (i) x2+ 2y2− x + 1 = 0, (ii) x2− 2xy + y2= 0
(iii) x2+ y2− x − y + 2 = 0, (iv) 2x2+ 2y2− 4x + 8y + 6 = 0
• Le disequazioni: definizioni.
– quando x = a è soluzione di una disequazione?
– cosa significa risolvere una disequazione?
– principi di equivalenza delle equazioni – Esempi
∗ 3x2− x < 2 + x ha x = 1 come soluzione ma non ha x = 2 come soluzione
∗ 3x2− 1 < x + 2 è equivalente a (3x2− 1) · (−x2− 1) > (x + 2) · (−x2− 1) perché−x2− 1 ≤ −1 < 0 sempre.
Lezione di martedì 19-10-2010 ore 15:45 - 17:15, aula P100
• Disequazioni di primo grado
– discussione di ax + b > 0 per a6= 0.
– −3x + 6 ≤ 0
• Disequazioni di 2 grado ax2+ bx + c > 0, ax2+ bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2+ bx + c≤ 0. La risoluzione è fatta per via grafica appoggiandosi al grafico della parabola y = ax2+ bx + c.
– Rappresentazione esplicita delle soluzioni per tutti e quattro i casi per a > 0.
– Esempi
∗ x2+ x− 6 ≤ 0
∗ −x2− x − 1 ≥ 0
∗ Determinare, se esiste, k ∈ R tale che
x2− 2kx + 2 > 0 ∀ x ∈ R
• Disequazioni fratte. La risoluzione è fatta con la regola dei segni illustrata sul seguente esempio
(x− 3) · x x2− 3x + 2 > 0
– Osservare che si possono risolvere immediatamente anche tutte le disequazioni con≥ 0, < 0 e ≤ 0.
– Osservare che, con qualche cautela sugli estremi dei vari intervalli, si possono risol- vere anche disequazioni che hanno gli stessi fattori in ordine qualsiasi. Esempio:
x· (x − 3) · (x2− 3x + 2) > 0
• Sistemi di disequazioni: si cercano gli x ∈ R che risolvono contemporaneamente tutte le disequazioni del sistema. Il modo di procedere è stato illustrato con gli esempi
x− 1 ≥ 0
−x + 3 > 0 x2− 3x + 2 < 0
x
x−2 < 0
−x2+ 1 ≥ 0
• Introduzione alla trigonometria.
– Richiamo geometrico di angolo. Angolo retto, piatto e giro.
– Misura degli angoli in gradi e radianti. Formula di passaggio da gradi a radianti.
Esempi.
– Angoli orientati e circonferenza goniometrica.
– Definizioni di sin(α), cos(α) e tan(α) per un angolo orientato α.
Lezione di mercoledì 20-10-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Richiamo delle definizioni di sin(α), cos(α) e tan(α) con riferimento alla circonferenza goniometrica. Principali proprietà:
– Segno di sin(α), cos(α) e tan(α) nei vari quadranti.
– −1 ≤ sin(α) ≤ 1, −1 ≤ cos(α) ≤ 1
– tan(α) = sin(α)/ cos(α) e sin2(α) + cos2(α) = 1 con dimostrazione.
– Valori di sin(α), cos(α) e tan(α) per alcuni angoli notevoli: π/6, π/4, π/3 e loro calcolo ricorrendo alla geometria.
• Formule di riduzione degli angoli al primo quadrante: dimostrazione in vari casi con esempi
– Calcolare sin(300◦) – Semplificare
tanπ 4
· sin(π + α) + 5 sin(α) − 2 cosπ 2 − α
+ 2 sin(−α)
– Semplificare
sin2π 4
· cos (2π − α) + sin2(π + α)· cos2π 4
• Equazioni goniometriche: condizioni di risolubilità e determinazione delle soluzioni (ragionando sulla circonferenza goniometrica) per
– sin(x) = a, a∈ R – cos(x) = b, b∈ R – tan(x) = c, c∈ R
• Esempi di equazioni:
– sin(x) = 2 non ha soluzioni – sin(3x) = 1/2
– cos(x− π/3) = −√ 3/2.
• Esercizi per casa – cos(3x) =−1 – tan(2x− π/4) = −1
Lezione di giovedì 21-10-2010 ore 13:00 - 15:30, aula P100
• Esercizi
– Calcolare sin(9210◦).
– Utilizzando la relazione fondamentale sin2(α) + cos2(α) = 1, calcolare cos(α) sapendo che
π < α < 3π
2 , sin(α) =−1 4 – Disegnare il grafico di x2− xy = 0.
– Disegnare il grafico di x· (x + y) − x − y = 0.
– Calcolare (risultato: 11) 16 cos2π 6
+ 48 sin2π 4
+ 11tg3π 4
− 36 cos2(π).
– Dimostrare che
s
1− 1
1 + tg2(α) =| sin(α)|.
– Dimostrare che
tg2(π + α) + sin(π + α)· sin(−α) + sinπ 2 + α
· cos(−α) = 1 cos(α).
• Esercizio: risolvere l’equazione 2 cos(x) − 3 cos(x) − 2 = 0 mediante la posizione t = cos(x).
• Formule trigonometriche utili:
– addizione – duplicazione – bisezione – esercizi:
∗ Scrivere sin(3α) in funzione di sin(α)
∗ Risolvere l’equazione sin(x) · cos(2x) + cos(x) · sin(2x) = −1
• Applicazioni della trigonometria ai triangoli – rettangoli
∗ Esempio di scomposizione di un vettore lungo due direzioni ortogonali.
– qualsiasi
∗ Teorema di Carnot o del coseno
∗ Teorema dei seni
• Funzioni
– Il concetto di funzione f : A 7→ B. Dominio A, codominio B, corrispondente f (x)∈ B di x ∈ A. Esempio: f(x) = x2− 3 · x.
– Grafico di una funzione. Confronto col grafico di una equazione F (x, y) = 0.
Esempi di grafici di rette e parabole. Esempi di grafici di che non corrispondono a funzioni: x = x e circonferenza con interpretazione sul grafico stesso dei motivi per cui il grafico di queste equazioni non può essere il grafico di una funzione.
Lezione di lunedì 25-10-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
Lezione di martedì 26-10-2010 ore 15:45 - 17:15, aula P100
• Funzioni periodiche.
• Le funzioni sin(x), cos(x), tg(x): grafici e periodo.
– Periodo di f (x) = sin(3x).
• La funzione esponenziale ax: proprietà e grafici nei casi a > 1 e 0 < a < 1.
– Risolvere
8x+ 4x− 2x
8x = 1
– Risolvere
2x> 4, 3 4
x
≥16 9
• Il logaritmo loga(b) e le sue proprietà.
– Calcolare log36 + 2· log92
– Trovare x tale che log2 4x2+ = 1
• La funzione logaritmo f(x) = loga(x) ed il suo grafico per a > 1 e 0 < a < 1.
Commento ai grafici.
– Risolvere le disequazioni
log10(x− 2) ≥ 1, log1/3(3x− 6) ≥ −2, log1/2(x2− x) ≤ −1
Lezione di mercoledì 27-10-2010 ore 13:00 - 15:30, aula P100
• Esercizi
– Disegnare il sottoinsieme del piano cartesiano che soddisfa l’equazione (x2+ y2− 1) · (x + y − 1) = 0
– Si consideri l’insieme
A = (−∞, 1) ∪ [2, 3) ∪ {4}.
1. Rappresentare A sulla retta specificando se è o meno un intervallo.
2. Indicare se A è superiormente e/o inferiormente limitato.
3. Trovare una funzione f definita su tutto R tale Im(f ) = A.
– Sia
f (x) = 1
x+ ln(x + 1) 1. Valutare f (e2− 1).
2. Trovare il dominio di f . – Sia
f (x) =
|x + 2| , x < 0 g(x) , x≥ 0.
1. Trovare, se possibile, una funzione g tale che f sia invertibile su tutto R.
2. Trovare, se possibile, una funzione g tale che f (x) > 0∀x ∈ R.
3. Trovare, se possibile, una funzione g tale che f (x)≥ 0 ∀x ∈ R.
4. Trovare, se possibile, una funzione g tale che Im(f ) = R.
– Trovare il dominio della funzione
f (x) =
s√x + 1
−x2+ 1 + e2x. – Calcolare cos(α/2) sapendo che
(i) 3π
2 < α < 2π, (ii) cos(α) = 1 3
• Calcolo dell’inversa della funzione f(x) = loga(x) e sua rappresentazione sul piano cartesiano.
• Le funzioni f(x) = xn, n∈ N: grafici e proprietà. Le inverse di f(x) = xn sono state ottenute graficamente mediante simmetria rispetto alla retta y = x. Un particolare riguardo è stato dato ai seguenti due punti
– calcolo dell’inversa di f (x) = x2 considerandone la restrizione agli x ≥ 0. Si ottiene la funzione√x definita per x≥ 0;
– calcolo dell’inversa di f (x) = x3. Si ottiene la funzione √3
x definita su tutto R.
Breve commento sul significato da attribuire a √3
x per x < 0: √3
x =−√3
−x.
• Funzioni polinomiali P (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0 con n∈ N.
– n è il grado del polinomio e gli an,· · · , a0 i coefficienti.
– Esempi
P (x) = a3x3+ a2x2+ a1x + a0, P (x) = 3x + 1, P (x) = 0
– Definizione di zero o radice di un polinomio: α∈ R è radice se e solo se P (α) = 0.
– Un polinomio di grado n ha al più n zeri ciascuno contato con la sua molteplicità.
Ad esempio, il polinomio P (x) = (x− 3)2 ha lo zero α = 3 con molteplicità 2.
– Un polinomio di grado dispari ha sempre almeno uno zero reale. Non così per un polinomio di grado pari: P (x) = x2+ 1≥ 1 > 0 ∀x ∈ R e quindi non ha alcun zero.
• Funzioni razionali R(x) – Definizione
R(x) = P (x) Q(x) dove P (x) e Q(x) sono polinomi. Esempio
R(x) = x2+ x + 1 x2− 1
– Una funzione razionale è definita su tutto R eccetto gli (eventuali) zeri del deno- minatore. Nel caso precedente, il dominio è R\{−1, 1}.
• Inverse delle funzioni trigonometriche
– L’inversa della funzione f (x) = sin(x): la funzione arcsin(x).
∗ Poiché f(x) non è invertibile ne considero la restrizione a [−π/2, π/2].
∗ Dominio: [−1, 1], Im(f) = [−π/2, π/2], monotona crescente.
– L’inversa della funzione f (x) = cos(x): la funzione arccos(x).
∗ Poiché f(x) non è invertibile ne considero la restrizione a [0, π].
∗ Dominio: [−1, 1], Im(f) = [0, π], monotona decrescente.
– L’inversa della funzione f (x) = tg(x): la funzione arctg(x).
∗ Poiché f(x) non è invertibile ne considero la restrizione a [−π/2, π/2].
∗ Dominio: R, Im(f) = (−π/2, π/2), monotona crescente.
• La risoluzione grafica dell’equazione f(x) = g(x): le soluzioni sono gli (eventuali) punti di intersezione delle due curve y = f (x) e y = g(x).
– Esempio: determinare il numero di radici dell’equazione 2x· sin(x) = 1
riscrivendola come sin(x) = 12x
e tracciando, sullo stesso piano cartesiano, i grafici di f (x) = 2xe g(x) = (1/2)x.
• Risoluzione grafica della disequazione f(x) > g(x).
• Traslazione di grafici: dato il grafico di f(x) di cui non si conosce l’espressione trovare i grafici di
– g(x) = f (x + α), α∈ R assegnato. Il grafico di g si ottiene da quello di f per traslazione lungo l’asse x.
– g(x) = f (x) + α, α∈ R assegnato. Il grafico di g si ottiene da quello di f per traslazione lungo l’asse y.
– g(x) = f (−x). Il grafico di g si ottiene da quello di f per simmetria rispetto all’asse y.
– g(x) = −f(x). Il grafico di g si ottiene da quello di f per simmetria rispetto all’asse x.
Lezione di giovedì 28-10-2010 ore 13:00 - 15:30, aula P100
• Esercizi
– Dimostrare che√ 76∈ Q.
– Trovare F (x, y) tale che l’equazione F (x, y) = 0 ha il grafico riportato in figura
– Determinare, se esistono, dei valori del parametro k∈ R tali che l’equazione (x + 1)2= (x− 1) · (x + 1) + kx
non ha alcuna soluzione reale.
– Indicare, motivando la risposta, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false
V F un’equazione di 2◦ grado ha sempre due soluzioni.
V F un’equazione di 1◦ può avere infinite soluzioni.
V F x33+ x27+ 13 = 0 ha almeno una soluzione negativa.
V F α = 1 è uno zero di P (x) = x3+ x2− 2.
– Sia P (x) = (x−3)·Q(x) dove Q(x) è un polinomio e P (1) = 3. Valutare P (P (1)).
– Risolvere l’equazione log2(x2− 5) = 2.
– Disegnare il grafico delle seguenti funzioni
(a) f (x) = ln(|x|), (b) f (x) =|ln(|x|)| , (c) f (x) =|ln(x)|
(d) f (x) = sin(|x|), (e) f (x) =|sin(x)|
• Definizione di punto di accumulazione x0 per un insieme I ⊂ R. Determinazione dei punti di accumulazione di I = (a, b).
• Definizione di limite finito – commento della scrittura
x→xlim0f (x) = l
mediante il grafico una funzione f e utilizzando opportuni intorni di l di ampiezza ǫ e i corrispondenti (ossia, che seguono dai precedenti|f(x) − l| < ǫ) intorni di x0 di ampiezza δ. Osservare che δ = δ(ǫ).
– Esempio: verificare che
x→2lim3x2= 12.
E’ x0= 2, f (x) = 3x2 e l = 2. Dalla disequazione
|3x2− 12| < ǫ si trova l’intorno di x0dato da
r 4− ǫ
2, r
4 + ǫ 2
.
– Osservare che nella definizione di limite non compare assolutamente x0 dove la funzione potrebbe anche non essere definita e avere comunque limite:
f (x) = x2− 1
x− 1 ha dominio R\{1} e limx→1f (x) = 2 Infatti
x2− 1 x− 1 − 2
< ǫ ⇔ |x − 1| < ǫ che è un intorno di x0= 1 di ampiezza δ = ǫ.
– Alcuni limiti importanti (da sapere!)
x→xlim0k = k, lim
x→x0x = x0
dove k ed x0sono dei numeri reali. f (x) = k è la funzione costante che assume il valore k su tutto R.
– Non tutte le funzioni hanno limite:
Dall’esame della figura si osserva che le prime due non hanno limite e la terza si (e vale 1).
– Introduzione ai limiti destro e sinistro.
Lezione di martedì 2-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• definizioni di limite sinistro e destro:
lim
x→x−0
f (x) = l ⇔ ∀ǫ > 0, ∃ δ = δ(ǫ) : |f(x) − l| < ǫ ∀x : x0− δ < x < x0
lim
x→x+0
f (x) = l ⇔ ∀ǫ > 0, ∃ δ = δ(ǫ) : |f(x) − l| < ǫ ∀x : x0< x < x0+ δ
• Non sempre esiste il limite sinistro e/o destro – La funzione
f (x) =
sin 1x
, x < 0
1 , x≥ 0
non ha limite sinistro ma ha limite destro (che vale 1).
– Le funzioni
(i) f (x) = sin 1 x
, (ii) f (x) = cos 1 x
definite su R\{0} non hanno né limite sinistro né destro.
• Però,
x→xlim0
f (x) = l ⇔ lim
x→x−0
f (x) = lim
x→x+0
f (x) = l
Se i limiti destro e/o sinistro non esistono oppure esistono ma non coincidono tra loro, il limite non esiste.
• Limite infinito: esame e formalizzazione delle scritture (limite, limite sinistro, limite destro)
x→xlim0
f (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ δ = δ(M) : f(x) > M ∀x : 0 < |x − x0| < δ
lim
x→x−0
f (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ δ = δ(M) : f(x) > M ∀x : x0− δ < x < x0
lim
x→x+0
f (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ δ = δ(M) : f(x) > M ∀x : x0< x < x0+ δ
e delle analoghe
x→xlim0f (x) =−∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ δ = δ(M) : f(x) < −M ∀x : 0 < |x − x0| < δ
lim
x→x−0
f (x) =−∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ δ = δ(M) : f(x) < −M ∀x : x0− δ < x < x0
lim
x→x+0
f (x) =−∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ δ = δ(M) : f(x) < −M ∀x : x0< x < x0+ δ
(a) 1/x2, x0= 0 (b) tan(x), x0= π/2 (c) | ln(x)|, x0= 0
Figura 1: Limite, limite destro e limite sinistro di tre funzioni f (x). In azzurro è rappresentata la retta y = M che entra nella definizione di limite.
Nota: non esistono
(i) lim
x→0
1
x, (ii) lim
x→π/2tan(x) perché limiti sinistro e destro sono diversi tra loro.
– Calcolare i limiti (i) lim
x→0
−1
|x|, (ii) lim
x→π/2|tan(x)| , (iii) lim
x→0|ln(|x|)|
Lezione di mercoledì 3-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Esercizi
– Determinare le soluzioni di
| sin(x) = 0|.
– Determinare il numero di radici dell’equazione ln(|x|) = 2 − x2 – Determinare il numero di radici dell’equazione
1 2
x
· log1/2(x) = 1
– Risolvere la disequazione
log2(x) > log1/2(x) – Risolvere la disequazione √
x≤ x
– Determinare la forma delle eventuali soluzioni della disequazione 2x· log2(x) > 1
– La funzione f soddisfa la condizione
x→+∞lim f (x) = 2.
(i) Può essere pure
x→+∞lim f (x) = 0 ? (ii) Può esistere un k0∈ N tale che
f (k) = 0∀ k ∈ N, k ≥ k0? – Si consideri il seguente grafico della funzione f (x)
(i) Scrivere l’espressione di f .
(ii) Trovare le soluzioni delle equazioni (i) f (x) =−1, (ii) f (x) = 3
2, (iii) f (x) = 5 2. (iii) Calcolare, se esistono, i limiti
x→0lim−f (x), lim
x→0+f (x), lim
x→0f (x).
• Verificare mediante la definizione di limite che vale la relazione
x→+∞lim x x + 1 = 1 Soluzione: è
x x + 1− 1
=
x− (x + 1) x + 1
= | − 1|
|x + 1|= 1
|x + 1|
Poiché x→ +∞, possiamo sicuramente assumere x > 0 da cui risulta x + 1 > 1 > 0 per cui è|x + 1| = x + 1. Allora, per ogni ǫ > 0 abbiamo
1
|x + 1| = 1
x + 1 < ǫ ⇔ x > ν =1 ǫ − 1 che è quanto si doveva far vedere.
• Limite infinito (+∞ e −∞) per x → +∞. Esempi importanti:
x→+∞lim xα= +∞, α > 0, lim
x→+∞loga(x) = +∞, a > 1, lim
x→+∞ax= +∞, a > 1,
x→+∞lim loga(x) =−∞, 0 < a < 1
• Limite infinito (+∞ e −∞) per x → −∞. Esempio importante:
Lezione di giovedì 4-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
Lezione di venerdì 5-11-2010 ore 9:30 - 12:30, aula P4
• Esercizio: sia
f (x) =
−1 , x ≤ 0
1
x , x > 0
(i) Disegnare il grafico di f e calcolarne dominio e immagine.
(ii) Determinare le eventuali soluzioni di f (x) = 0.
(iii) Dire se f è invertibile e, se non lo è, trovarne una restrizione in cui lo sia.
(iv) Calcolare, se esistono,
x→0lim−f (x), lim
x→0+f (x), lim
x→0f (x)
• Esercizio: sia
f (x) =
2x + 1 , x≤ 1/2 3 , 1/2 < x < 3/2 (i) Calcolare f (1/2), f (0), f (1).
(ii) Disegnare il grafico di f e calcolare il dominio e l’immagine di f . (iii) Dire se f è invertibile.
(iv) Dire se f è crescente e se lo è in senso stretto.
(v) Risolvere l’equazione f (x) = 0.
(vi) Calcolare
x→(1/2)lim −f (x), lim
x→(1/2)+f (x), lim
x→1f (x)
• Le funzioni continue: definizione di funzione continua in un punto x0e in un intervallo (a, b).
• Classi di funzioni continue
– sono continue le funzioni polinomiali, esponenziali, trigonometriche, razionali (dove definite).
– sono continue la somma, il prodotto, il quoziente, la composizione e l’inversa (se esiste) di funzioni continue.
• La continuità permette di calcolare rapidamente molti limiti: ad esempio (i) lim
x→0ln(x2+x+1), (ii) lim
x→0+
x2+ cos(x)
2x2+ sin(x), (iii) lim
x→3
x2+ x− 1
x2+ 3 , (iv) lim
x→0e2x+x2,
• Proprietà delle funzioni continue
– Teorema di Weierstrass: una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ha in esso massimo e minimo.
– Teorema degli zeri: una funzione continua in un intervallo I⊂ R tale che f(a) · f (b) < 0 per a, b ∈ I ha in I almeno un punto ξ compreso tra a e b tale che f (ξ) = 0. Osservazione: i punti ξ possono essere più di uno.
– Teorema di tutti i valori: una funzione continua in un intervallo I ⊂ R che assume il valore f (a) per a∈ I ed il valore f(b) per b ∈ I assume nell’intervallo di estremia e b anche tutti i valori compresi tra f (a) ed f (b). Osservazione: può assumere più valori rispetto a quelli garantiti dal teorema.
Per tutti e tre i teoremi abbiamo visto degli esempi ed osservato che se le ipotesi vengono a mancare non si può concludere nulla!
• Limiti fondamentali e loro applicazioni nella risoluzione di forme indeterminate
x→0lim sin(x)
x = 1, lim
x→0
1− cos(x) x2 = 1
2
x→0lim ex− 1
x = 1, lim
x→0
ln(1 + x)
x = 1
x→+∞lim
1 + 1
x
x
= e, lim
x→−∞
1 + 1
x
x
= e Esempi
x→0lim sin(2x)
x , lim
x→0
sin(3x)
sin(5x), lim
x→0
1− cos(x))
x2 , lim
x→0+
ln(1−√x
x .
Lezione di lunedì 8-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Calcolare i seguenti limiti
x→+∞lim x2sin 1 x2
, lim
x→+∞
1 + 2
x
3x
• Calcolare i seguenti limiti
x→−∞lim
px2+ 1− x
, lim
x→+∞x
e1/x− 1
, lim
x→0
ex− e−x sin(x)
• Calcolare i seguenti limiti
x→+∞lim
px2+ 1− x
, lim
x→0+
cos(x)
sin(x), lim
x→+∞e−xcos(x)
• Calcolare il limite
x→−∞lim
px2+ 1−p
x2− x
• La relazione
f (x) = [g1(x)]g2(x)= eg2(x) ln( g1(x) ) e sue conseguenze:
– f è definita per gli x tali che ln(g2(x) > 0 – f (x) > 0 ovunque è definita
– Il calcolo del limite
x→xlim0f (x) può essere fatto nel seguente modo
(i) lim
x→x0
g2(x) ln( g1(x) ) = y0, (ii) lim
x→x0
f (x) = lim
x→y0
ey dove x0, y0sono numeri reali o−∞ o +∞. Esempio:
x→0lim+(1 + 3x)2/x
• Sia
x→+∞lim f (x) = +∞.
Calcolare i limiti
x→+∞lim [f (x) + 10] , lim
x→+∞[f (x) + sin(x)] , lim
x→+∞f (x) − sin10(x)
x→+∞lim [f (x)]2, lim
x→+∞[f (x)]−1
• Sia
x→+∞lim f (x) =−1.
Calcolare i limiti
x→+∞lim [f (x)]7, lim
x→+∞[f (x)]0, lim
x→+∞f (x) + f3(x)
Lezione di martedì 9-11-2010 ore 15:40 - 17:15, aula P100
• Esercizio: sia
f (x) =
ln(−x) , x < 0
0 , x = 0
e−x , x > 0 (i) Valutare f (−e2), f (0), f (2).
(ii) Abbozzare il grafico di f determinandone dominio e immagine.
(iii) Giustificare la non invertibilità di f .
(iv) Trovare una possibile restrizione ove f è invertibile.
(v) Calcolare
x→0lim−f (x), lim
x→0+f (x) (vi) Calcolare, se esiste, o motivare la non esistenza di
x→0limf (x).
• Esercizio: sia
f (x) =
− sin(x) , x < 0 sin(x) , x > 0 (i) Valutare f (−π/2), f(π/2), f(π/4).
(ii) Abbozzare il grafico di f determinandone dominio e immagine.
(iii) Calcolare
x→0lim−f (x), lim
x→0+f (x) (iv) Calcolare, se esiste, o motivare la non esistenza di
x→0limf (x).
• Definizione di derivata di f in x0: esiste finito
h→0lim
f (x0+ h)− f(x0)
h = lim
x→x0
f (x)− f(x0) x− x0 Definizione della funzione f′(x). Esempi di calcolo delle derivate di
ex= lim
h→
ex+h− ex
h , sin(x) = lim
h→
sin(x + h)− sin(x) h
• Il significato geometrico della derivata di f in x0ed il legame con l’esistenza della retta tangente al grafico di f nel punto x0: la retta per P e Q ha equazione
r : y = f (x0) +f (x0+ h)− f(x0)
(x0+ h)− x0 (x− x0)
Per h→ 0, il punto Q si sposta lungo il grafico della funzione y = f(x) avvicinandosi a P e la retta r va a coincidere con la retta tangente t nel punto P
t : y = f (x0) + f′(x0)(x− x0) Dunque, f′(x0) è il coefficiente angolare della retta tangente.
• L’interpretazione geometrica fatta va bene se esiste f′(x0). Però, non sempre una funzione è derivabile in un punto x0. Ad esempio, la funzione
f (x) =|x2− 1|
non ha f′(−1) e f′(1). Di conseguenza, non ha retta tangente nei punti di ascissa x0=−1 e x0= 1 come evidenzia il seguente grafico
Ad esempio, per x0 =−1, ci sono due rette tangenti: una per x → −1− ed una per x→ −1+. Corrispondentemente, è
h→0lim
f (−1 + h) − f(−1)
h = lim
h→0
|(−1 + h)2− 1| − |(−1)2− 1|
h = 2· lim
h→0
|h|
h e l’ultimo limite non esiste perché
· lim
h→0−
|h|
h =· lim
h→0−
−h h =−1
dato che per h→ 0− è h < 0 e, quindi,|h| = −h mentre
· lim
h→0+
|h|
h =· lim
h→0+
h h= 1 dato che per h→ 0+ è h > 0 e, quindi,|h| = h.
Questa osservazione permette di “scoprire” i punti x0 di non derivabilità (non esiste f′(x0)) di una funzione osservandone il grafico: sono i punti dove manca la retta tangente, ossia non esiste o non è unica. Ad esempio, nella seguente figura i punti (di ascissa) x1, x2, x3 sono i soli di non derivabilità per il grafico di f (x) evidenziato in rosso. Per il punto x1 sono indicate, anche, le due rette tangenti.
Lezione di mercoledì 10-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Tabella di derivate elementari:
f (x) f′(x)
xα α· xα−1, α∈ R sin(x) cos(x)
cos(x) − sin(x) tan(x) 1 + tan2(x)
ex ex
ln(x) 1x
arcsin(x) √ 1
1−x2
arccos(x) −√1−x1 2 arctan(x) 1+x12
• Algebra delle derivate
f (x) f′(x)
α· f(x) + β · g(x) α· f′(x) + β· g′(x) f (x)· g(x) f′(x)· g(x) + f(x) · g′(x)
f (x) g(x)
f′(x)·g(x)−f(x)·g′(x) [ g(x) ]2
• La derivata della funzione composta f(g(x)) è
f′(g(x))· g′(x)
• La derivata della funzione inversa f−1(x) è 1
f′(ξ) dove ξ è tale che f (ξ) = x.
• Esempio: calcolo delle seguenti derivate (i) f (x) = 2x3+1
x− 3 ln(x), (ii) f (x) =√x, (iii) f (x) = ln(x2− x)
(iv) f (x) = sin(cos(x)), (v) f (x) =psin(x2), (vi) f (x) = esin(x)+ ecos(2·x)
• Esercizio: calcolare le seguenti rette tangenti:
– retta tangente a f (x) = ex nel punto x0= 0.
– retta tangente a f (x) = sin(2x) nel punto x0= 0.
• Esercizio: la funzione f(x) è derivabile in x0= 1 ed ha
x→xlim0f (x) = π 2.
Calcolare in x0la derivata di g(x) = sin(f (x)).
• Esercizio: sapendo che la funzione h(x) è derivabile e diversa da −1 su R, calcolare la derivata di g(x) definita da
g(x) = h(x) h(x) + 1. Valutare, inoltre, g(x) per h(x) = x2− 2x.
• Punti di massimo relativo ed assoluto: x0 è di massimo relativo per la funzione f : A7→ R se esiste δ > 0 tale che
f (x0)≥ f(x) ∀ x ∈ A : |x − x0| < δ (⋆)
Se, invece, la condizione (⋆) vale per tutti i punti del dominio A, il punto x0 è detto punto di massimo assoluto. Chiaramente, un punto di massimo assoluto è anche un punto di massimo relativo ma non viceversa. Graficamente, abbiamo una delle seguenti possibili situazioni.
(a) f (x) = 1 − |x|, x0= 0 è p.to di massimo assoluto
(b) I punti x0≥ 0 sono di massimo assoluto.
(c) f (x) = |x2− 1|, x0 = 0 è di massimo relativo ma non assoluto.
(d) x0= 0 è di massimo assoluto.
Figura 2: Una funzione può avere uno o più punti di massimo relativo e/o assoluto.
• Punti di minimo relativo ed assoluto: x0è di minimo relativo per la funzione f : A7→ R se esiste δ > 0 tale che
f (x0)lef (x) ∀ x ∈ A : |x − x0| < δ (⋆)
Se, invece, la condizione (⋆) vale per tutti i punti del dominio A, il punto x0 è detto punto di minimo assoluto. Chiaramente, un punto di minimo assoluto è anche un punto di minimo relativo ma non viceversa. Esempi di punti di minimo relativo ed assoluto.
Lezione di giovedì 11-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Il legame tra la monotonia (crescenza e decrescenza) di una funzione f ed il segno della derivata prima f′(x):
Teorema 1 Siaf derivabile in (a, b). Allora 1. f′(x)≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇔ f è crescente in (a, b).
2. f′(x) > 0∀ x ∈ (a, b) ⇒ f è strettamente crescente in (a, b).
Osservare che non vale il viceversa di 2. Ad esempio, f (x) = x3 è strettamente crescente in (−1, 1) ma è f′(0) = 0. Inoltre, lo studio della monotonia di f ci permette di individuare gli eventuali punti di massimo e minimo. Alcuni esempi:
– f (x) = x3− 3x è continua su R, derivabile su R con f′(x) = 3x2− 3. Dallo studio del segno di f′(x) si trova che f è crescente (in senso stretto) in (−∞, −1] e in [1, +∞), decrescente in senso stretto in [−1, 1]. Quindi, in x = −1 ha un punto di massimo dove vale f (−1) = (−1)3− 3 · (−1) = 2. In x = 1 ha un punto di minimo dove vale f (1) = (1)3− 3 · (1) = −2.
– f (x) = x3 continua e derivabile su R con f′(x) = 3x2. Poiché f′(x)≥ 0 sempre, la funzione è monotona crescente.
– f (x) = 1/x2 è definita su R\{0} ed è ivi derivabile con derivata f′(x) =−2/x3. Dalla studio del segno di f′(x) si trova che f è crescente in (−∞, 0) e decrescente in (0, +∞). Non ci sono né punti di massimo né di minimo.
• Funzioni concave e convesse. Abbiamo visto due definizioni sia per la convessità che per la concavità. Vediamo solo le due per la convessità.
– f convessa in (a, b) se e solo se per ogni scelta di punti P1, P2∈ (a, b) il segmento che congiunge P1 con P2 sta sopra la parte di grafico di f compresa tra P1 e P2. – f convessa in (a, b) se per ogni punto P ∈ (a, b) del grafico di f la retta tangente
a P sta sotto il grafico di f .
Analoghe definizioni sono state date per una funzione concave in (a, b).
Abbiamo notato che la concavità può cambiare: ad esempio, la funzione f (x) = x3+ 2x2− 5x − 6 è concava per le x abbastanza negative e convessa per le x abbastanza positive.
Perciò, abbiamo formulato un teorema in grado di individuare gli itervalli della retta reale dove una funzione è convessa e dove è concava:
Teorema 2 Siaf derivabile due volte in (a, b). Allora f′′(x)≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇔ f è convessa in (a, b).
I punti dove f è derivabile e cambia concavità sono detti punti di flesso.
Lezione di lunedì 15-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Sia f(x) continua e tale che f(f2(1)) = −2 e f(f2(2)) = 2. Dimostrare che esiste ξ∈ (1, 2) tale che f(f2(ξ)) = 0.
• Studiare la funzione
f (x) = x3− 4x.
• Sia f(x) = c, c ∈ R. Calcolare, utilizzando la definizione, f′(x).
• Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva y = 2x2−8x+1 nel punto di ascissa x0= 2.
• Calcolo della derivata di
f (x) = [g1(x)]g2(x) Si scrive
f (x) = [g1(x)]g2(x)= eg2(x)·ln( g1(x) )
e si deriva l’esponenziale utilizzando la regola della derivazione della funzione compo- sta. Esempi: calcolo delle derivate di
f (x) = 2x, g(x) = xsin(x) Ad esempio è
xsin(x)= esin(x)·ln(x)
per cui risulta
g′(x) = esin(x)·ln(x)· (sin(x) · ln(x))′
= esin(x)·ln(x)·
cos(x)· ln(x) + sin(x) · 1 x
.
• Calcolo della derivata di
ln (|f(x)|) .
• Esercizio su massimi, minimi, punti di non derivabilità e risoluzione di disequazioni utilizzando il seguente grafico
(i) Quanto vale f (−2)? (ii) Trovare gli eventuali punti di massimo e di minimo di f(x) giustificando se sono relativi o assoluti. (iii) Trovare le eventuali soluzioni dell’equa- zione f (x) = g(x). (iv) Risolvere la disequazione f (x) > g(x). (v) Trovare, motivando la risposta, gli eventuali punti di non derivabilità di f .
Lezione di martedì 16-11-2010 ore 15:45 - 17:15, aula P100
• Esercizio: Determinare il numero di soluzioni delle equazioni a) |sin(x)| = e−|x|, b) |ln(|x|)| = e−|x|
• Il teorema di Rolle e sua interpretazione geometrica.
• Il teorema di Lagrange e sua interpretazione geometrica.
• Il teorema di de l’Hopital. Osservazione: il limite può esistere anche senza che esista il limite del rapporto delle derivate:
x→+∞lim
x + sin(x) x− sin(x) Tenendo presente che, per il teorema del confronto, è
x→+∞lim sin(x)
x = 0
si trova che il limite vale 1 mentre il limite del rapporto delle derivate, ossia
x→+∞lim
1 + cos(x)
1− cos(x) = lim
x→+∞
sin2 x2
cos2 x2 = lim
x→+∞
1 tg2 x2 non esiste in quanto è il limite per x→ +∞ di una funzione periodica.
• Esempi di calcolo di limiti con de l’Hopital
x→+∞lim ex
x3 = +∞, lim
x→+∞
x2
ln(x) = +∞
Lezione di mercoledì 17-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Asintoti: significato geometrico dell’asintoto (visto al calcolatore) e corrispondente formulazione matematica.
– verticali: x = x0
– obliqui y = mx + q ed orizzontali y = q. Calcolo di m e q.
– Una funzione può essere priva di qualsiasi tipo di asintoto: f (x) = x2 non ha né asintoti obliqui né verticali.
Figura 3: y = x è asintoto per x→ +∞ e y = −x per x → −∞
Figura 4: y = 1 è asintoto orizzontale per x → +∞, y = x/4 − 1 è asintoto obliquo per x→ −∞ e x = −1 è asintoto verticale. Notare che per x → −∞ l’asintoto coincide con la funzione.
• Il fattoriale n!: definizione ed esempi. 0! = 1! = 1, 6! = 1·2·3·4·5·6, (n+1)! = n!·(n+1).
• Il simbolo di sommatoria
5
X
k=0
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5,
4
X
k=2
k2= 22+ 32+ 42
• La derivata di ordine n della funzione f(x) f(n)(x) =
f(n−1)(x)′
, dove, per definizione, è f(0)(x) = f (x).
Esempio: f (x) = ex ha f(n)(x) = exper ogni n∈ N.
• Lo sviluppo in serie di Mac-Laurin di ordine n di f(x) è il polinomio
Pn(x) =
n
X
k=0
f(k)(0) k! · xk
Ad esempio, per n = 5 si ottiene il polinomio
P5(x) = f(0)(0)
0! x0+f(1)(0)
1! x1+f(0)(2)
2! x2+f(0)(3)
3! x3+f(0)(4)
4! x4+f(0)(5) 5! x5 Se f (x) = ex, tenendo conto che x0= 1, risulta
P5(x) = 1 + x + x2 2 +x3
6 +x4 24+ x5
120
Il polinomio Pn(x) approssima bene vicino ad x0= 0 il comportamento della funzione.
Se cresce il grado del polinomio, migliora la approssimazione e cresce l’intervallo in cui è buona (visto, a livello intuitivo, al calcolatore con Derive per alcuni esempi).
Figura 5: L’approssimazione di Mac-Laurin della funzione f (x) = sin(x) (in rosso) miglio- ra al crescere del grado del polinomio. Notare che l’approssimazione è buona solo vicino all’origine mentre diventa scadente lontano da essa.
Lezione di giovedì 18-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Esercizi: calcolare i limiti (applicando, se ritenuto opportuno, il teorema di De l’Ho- pital)
a) lim
x→0
sin(x)− x
x3 , b) lim
x→0
arctg(x)
x , c) lim
x→0+x ln(x), d) lim
x→+∞
arctg(x) 1 + x2 e) lim
x→0+
cos √
x · x· ln(x) sin(x)
• Introduzione al calcolo integrale come limite di somme mediante esemplificazione (a livello intuitivo) dei seguenti tipi di integrali
– integrali di linea (calcolo del lavoro compiuto da una forza lungo una linea assegnata);
– integrali di superficie (calcolo della quantità di gesso depositata sulla lavagna a partire dalla conoscenza della densità superficiale);
– integrali di volume (calcolo della massa totale degli oggetti presenti in una stanza a partire dalla conoscenza della densità di massa).
Il lavoro del campo di forza ~F lungo una curva (orientata) γ è un particolare tipo di integrale detto di linea che si può pensare ottenuto (a livello intuitivo) come limite delle somme
L = Z
γ
F~· ~dl = lim
n→+∞
n
X
k=0
F~k· ~sk
e la somma va intesa pensando di far tendere a zero (per n→ +∞) le lunghezze dei singoli spostamenti ~sk.
Figura 6: Il calcolo del lavoro del campo di forza ~F lungo una linea γ che va da P1 a P5 è un particolare tipo di integrale (detto di linea di seconda specie).
• Integrazione indefinita come problema inverso alla derivazione: data f(x), trovare F (x) tale che F′(x) = f (x). F (x) è detta una primitiva di f (x). Ad esempio, è noto che (x2)′= 2· x per cui F (x) = x2 è una primitiva di f (x) = 2x.
Però, osserviamo che anche (x2+ 1)′ = 2x e, quindi, anche x2+ 1 è una primitiva di f (x). Estendendo il ragionamento, troviamo subito che tutte le funzioni del tipo x2+ c, c∈ R sono primitive di f perché (x2+ c)′ = 2x in quanto la derivata di una costante è (la funzione) nulla. Chiamiamo l’insieme di tutte le primitive di una data funzione f (x) l’integrale indefinito di f e lo indichiamo col simbolo
Z
f (x)dx.
Quindi, poniamo
Z
2xdx = x2+ c, c∈ R.
• Esempio
( sin(x) )′ = cos(x) ⇒ Z
cos(x) dx = sin(x) + c c∈ R.
• Esempio
( arctg(x) )′= 1
1 + x2 ⇒
Z 1
1 + x2dx = arctg(x) + c c∈ R.
• Esempio
( ln (ln(|f(x)|)) )′ =f′(x) f (x) ⇒
Z f′(x)
f (x) dx = ln(|f(x)|) + c c ∈ R.
Calcolare Z
−tg(x)dx =
Z − cos(x)
sin(x) dx = ln(| sin(x)|) + c, c ∈ R.
Z 2x
x2+ 1dx = ln(|x2+ 1|) + c = ln(x2+ 1) + c, c∈ R.
• Esempio
ef (x)′
= ef (x)· f′(x) ⇒ Z
ef (x)· f′(x) dx = ef (x)+ c c∈ R.
Calcolare Z
exdx = ex+ c, c∈ R.
Z
2x ex2dx = e2x+ c, c∈ R.
Z
esin2(x)· sin(2x)dx = Z
esin2(x)· 2 sin(x) · cos(x)dx = esin2(x)+ c, c∈ R.
Lezione di giovedì 18-11-2010 ore 14:00 - 15:30, aula P100
• Tabella di integrali indefiniti (c ∈ R) Z
xαdx = xα+1
α + 1 + c, α6= −1, Z
x−1dx = Z 1
xdx = ln(|x|) + c Z
sin(x)dx =− cos(x) + c, Z
cos(x)dx = sin(x) + c Z
exdx = ex+ c,
Z 1
1 + x2dx = arctg(x) + c
Z 1
√1− x2dx = arcsin(x) + c, Z
− 1
√1− x2dx = arccos(x) + c
• Linearità dell’integrale indefinito Z
(αf (x) + βg(x)) dx = α Z
f (x)dx + β Z
g(x)dx Esempi:
Z
2x2+ x−1− 3ex dx =2
3x3+ ln(|x|) − 3ex+ c, c∈ R Z
x5+ 10 x2+ 1
dx = x6
6 + arctg(x) + c, c∈ R Z
sin x + π
3
dx =−1
2cos(x) +
√3
2 sin(x) + c, c∈ R
• Regola di integrazione per parti (con dimostrazione) Z
f (x)· g′(x)dx = f (x)· g(x) − Z
f′(x)· g(x)dx Esempi:
Z
ln(x)dx = x ln(x)− x + c, c ∈ R
Z
x ln(x)dx = x2
2 ln(x)−x2
4 + c, c∈ R Z
xexdx = (x− 1)ex+ c, c∈ R Z
(x2− 1)exdx = (x− 1)2ex+ c, c∈ R Z
x cos(x)dx = x sin(x) + cos(x) + c, c∈ R Z
exsin(x)dx = ex
2 (sin(x)− cos(x)) + c, c ∈ R
• Regola di integrazione per sostituzione Z
f (φ(x))· φ′(x)dx = Z
f (y)dy, y = φ(x), dy = φ′(x)dx Esempi:
Z
x sin(x2+ 1)dx =−1
2cos(x2+ 1) + c, c∈ R Z
cos(x) ln(sin(x))dx = sin(x) ln(sin(x))− sin(x) + c, c ∈ R
Z
(2x + 1)ex2+1dx = ex2+x+ c, c∈ R
Z e√x
√xdx = 2e√x+ c, c∈ R
Z
tg(x)dx =− ln( | cos(x)| ) + c, c ∈ R
• Esercizi
– Calcolare il limite
x→0lim
x ln(1− x) sin(x2) – Sia
f (x) =
α , x < 0
0 , x = 0
x + β , x > 0 dove α e β sono parametri reali.
a) Posto α = −1 e β = 1 disegnare il grafico di f, specificandone domi- nio, immagine, eventuali punti di non continuità, eventuali punti di non derivabilità.
b) Determinare α e β in modo che la funzione f sia continua nel suo insieme di definizione.
