In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy, determinare la distanza fra i punti P = (6, 7) e Q = (1, −5)

Recupero del debito formativo

14 ottobre 2016

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Valutazione:

1. Decomporre il polinomio p(x) = x⁵ − 3x⁴+ 4x² in fattori irriducibili (si osservi che x = −1 `e radice di P (x)). x²(x + 1)(x − 2)²

2. In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy, determinare la distanza fra i punti P = (6, 7) e Q = (1, −5). 13

3. Trovare l’insieme delle soluzioni della disequazione x²+ 2x

x − 1 ≥ 0. [−2, 0]∪(1, +∞) 4. Trovare l’insieme delle soluzioni del seguente sistema:

(x²+ 3x ≥ 0 x² ≤ 9 {−3} ∪ [0, 3]

5. Risolvere il seguente sistema:

(2x + y = 2 x²+ y²+ 4y = 0 [x = 2, y = −2], [x = 6/5, y = −2/5]

6. Risolvere la disequazione

log₈(x + 3)² ≤ 0 . x ∈ [−4, −3) ∪ (−3, −2]

7. In un riferimento cartesiano ortogonale, si consideri la circonferenza C : x²+ y²− 6x − 2y + 6 = 0.

Calcolare le coordinate del centro della circonferenza e determinarne il raggio.

x = 3, y = 1, r = 2

8. Determinare le soluzioni in R dell’equazione algebrica t√ ⁴ − 2t² − 3 = 0. t = 3, t = −√

3

9. Risolvere l’equazione algebrica (t − 4)(t + 2) = 7. t = 5 o t = −3 10. Calcolare

log₄64 = 3 ; log₆ 1

216 =−3 ; log₄2 = 1

2 ; log¹

3 81 =−4 .

11. Trovare tutte le soluzioni in R dell’equazione cos(2x) = 1

2.

±π

6 + kπ, k ∈ Z

12. Trovare le soluzioni nell’intervallo [0, 2π] dell’equazione 2 sin²x − sin x − 1 = 0.

x1 = π

2, x2 = 7

6π, x3 = 11 6 π

13. Trovare l’insieme delle soluzioni della disequazione sin

x 4



≤

√3 2 . 8

3π + 8kπ ≤ x ≤ 28

3π + 8kπ

14. In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy, dire quale conica (ellisse, circonfe- renza, parabola, iperbole) rappresentano le seguenti equazioni:

(a) 3x²+ 3y²− 4x = 0 circonferenza (b) x² + 2y²− 4 = 0 ellisse

(c) x² + 2y − 4 = 0 parabola (d) x² − 2y² − 4 = 0 iperbole (e) x² + 2y²− 4x = 0 ellisse

15. Siano ABC un triangolo rettangolo in A, e siano b, c i cateti opposti agli angoli β = ˆB e γ = ˆC, rispettivamente (vd. figura). Indicare fra le seguenti relazioni

sono corrette M tan(β) = b

c; cot(γ) = a

b; M

sin(β) = b

a; cos(γ) = c a. 16. Determinare per quali valori di k il polinomio

p(x) = (k + 13

4 ) x²+ (k + 2)x + 1 ammette due radici reali coincidenti. k = ±3

17. In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy, scrivere l’equazione della retta t passante per il punto (3, −5) e perpendicolare alla retta r : x + 2y − 1 = 0.

t : 2x − y − 11 = 0

18. Decomporre in fattori primi il numero 90⁶. 2⁶3¹²5⁶

19. In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy, determinare le coordinate del vertice V della parabola di equazione y = −2x²+ 6x. V = 3

2,9 2



20. Determinare le radici dell’equazione e^x4−64= 1. 2√

2, −2√ 2, 2i√

2, −2i√ 2