Determinazione della densità di solidi.
Scopo dell’esperienza
Lo scopo di questa esperienza è quello di determinare la densità di alcuni corpi solidi, per poi confrontare il valore ottenuto sperimentalmente con le densità teoriche specifiche di ogni materiale indicate sull’ Handbook (CRC, Handbook of Chemistry and Physics, 1990, CRC Press Inc. Florida), al fine di poter stabilire se il materiale costituente ogni oggetto corrisponda a quello da noi ipotizzato inizialmente.
Materiali a disposizione
Un calibro
Una squadretta da 45°
Un becker, con sensibilità 5 ml
Un becker con sensibilità 0,5 ml
Una bilancia di precisione con fondoscala 510 g e sensibilità 0.001 g
Procedimento
Fra i diversi oggetti disponibili abbiamo scelto:
un piccolo parallelepipedo, presumibilmente di rame
un dado da ponteggi, presumibilmente di acciaio
Schiavon Simone
Misurazioni
Abbiamo utilizzato il calibro per misurare le dimensioni del parallelepipedo e del cilindro cavo. Essendo il calibro uno strumento sensibile, abbiamo scelto di utilizzare come errore proprio la sensibilità di tale oggetto, ossia 0,005 cm.
Per misurare la massa di ciascun oggetto, ci siamo serviti della bilancia di precisione.
Dopo aver ripetuto qualche volta la pesata, ci siamo accorti che il risultato ottenuto era sempre lo stesso a meno di una differenza nella terza cifra decimale, questo perché lo strumento è molto sensibile, dunque non è stato necessario calcolare la media dei valori ottenuti.
Calcolo degli errori e della loro propagazione
In un’esperienza come questa, bisogna tener conto degli errori derivanti dalla misurazione, dalla sensibilità degli strumenti utilizzati e dalla lettura.
Tali errori si propagano, poi, attraverso i calcoli nel seguente modo:
Se sommiamo o sottraiamo misure, gli errori assoluti si sommano
Se moltiplichiamo o dividiamo misure, l’errore relativo del prodotto o della divisione è la somma degli errori relativi sui singoli fattori.
Infine, vista la comparsa di valori numerici con più cifre decimali, siamo stati costretti più volte a ricorrere ad approssimazioni per difetto o per eccesso.
Calcolo del volume
Per calcolare il volume del parallelepipedo e del cilindro cavo abbiamo utilizzato un metodo geometrico, mentre per il dado e, in un secondo tempo, anche per il parallelepipedo, abbiamo immerso i solidi in acqua, calcolando la variazione del livello del liquido all’interno di un becker graduato.
Calcolo della densità
Abbiamo calcolato la densità utilizzando la formula V
m
.
Valutazione dei risultati ottenuti
Il confronto tra valori di densità ottenuti sperimentalmente e valori teorici riportati sul manuale, ci ha consentito di verificare le nostre ipotesi sui materiali costituenti gli oggetti.
Risultati sperimentali
PRIMO OGGETTO
Dimensioni parallelepipedo:
Dimensione Misura Errore assoluto Misura affetta da errore
x 0,990 cm 0,005 cm (0,990 ±0,005) cm
y 0,990 cm 0,005 cm (0,990 ±0,005) cm
z 2,935 cm 0,005 cm (2,935 ±0,005) cm
Volume V =
V z V y
x
= ((0,99)2 2,935)cm3 ± V
V
= 2,8766 cm3 ± V
V
Errore relativo al volume:
z z y
y x
x V
V
2 5,05 10 1,7 10 0,0118 1%
935 , 2
005 , 0 99 , 0
005 ,
20 3 3
V V
Dunque V = 2,88 cm3 ± 1% = (2,88 ± 0,03) cm3 Massa m = (25,522 ± 0,001) g
Errore relativo sulla massa: 4 10 5 522
, 25
001 ,
0
m
m
Densità
3 8,8618 3 88
, 2
522 . 25
cm g cm
g V
m
Errore relativo sulla densità: 1%
V V V
V m
m
L’errore relativo alla misura della massa dell’oggetto era trascurabile rispetto all’errore relativo al volume (ciò è dato dal fatto che la bilancia di precisione è uno strumento davvero molto sensibile).
Dunque densità ρ = 8,86 g/cm3 ± 1% = (8,86 ± 0,09) g/cm3
Schiavon Simone
Conclusioni
Visto il dato teorico riportato sull’Handbook (densità del rame: 8,91 g/cm3) giungiamo alla conclusione che la nostra ipotesi era corretta, in quanto tale valore ricade nell’intervallo ottenuto. La discrepanza del risultato può essere imputabile agli errori segnalati ed, in parte, agli evidenti segni di ossidazione e impurità che il parallelepipedo mostrava.
Determinazione del volume per via indiretta
In questa prova sperimentale abbiamo misurato il volume del parallelepipedo utilizzando una metodologia diversa dalla precedente.
Abbiamo versato nel becker con sensibilità 0,5 ml un volume di acqua pari a V1 (ml);
quindi, dopo aver immerso completamente il parallelepipedo nell’acqua, abbiamo letto sulla scala graduata il nuovo volume V2 (ml).
La differenza V2 – V1 corrisponde al volume del solido immerso.
In questo procedimento abbiamo considerato un errore assoluto sulle misure pari alla metà della sensibilità.
Determinazione della quantità di acqua senza parallelepipedo:
V1 = (15,00 ± 0,25) ml
Determinazione della quantità di acqua con parallelepipedo:
V2 = (18,00 ± 0,25) ml
Differenza d = V1 - V2 ± (Δ V1 + Δ V2) = (3,0 ± 0,5) ml = 3,0ml ± 20%
Massa m = (25,522 ± 0,001)g
Errore relativo sulla massa: 4 10 5 25,522
001 ,
0
m
m
Densità
3 8,5073 3
3 g 25,522
cm g cm
V m
Errore relativo sulla densità: 20%
V V V
V m
m
Dunque densità ρ = 8,5 g/cm3 ± 20% = (8 ± 2) g/cm3
Riassumendo in una tabella:
Grandezza Misura Errore assoluto
Errore relativo Misura affetta da errore
Vol senza corpo 15,00 ml 0,25 ml 2% (15,00 ± 0,25) ml Vol con corpo 18,00 ml 0,25 ml 1% (18,00 ± 0,25) ml Volume corpo 2,8766 cm3 0,03 cm3 1% (2,88±0,03) cm3 Massa 25,522 g 0,001 g 4105 (25,522±0,001)g Densità 8,8618 g/cm3 0,09 g/cm3 1% (8,86±0,09)g/cm3
Conclusioni
Data la minore sensibilità dello strumento utilizzato, unita alle difficoltà di lettura relative alle misure dei due volumi, l’intervallo di valori ottenuto è decisamente più ampio e, quindi, meno significativo rispetto a quanto ricavato con il metodo geometrico precedente.
SECONDO OGGETTO
Dimensioni oggetto:
Dimensione Misura Errore assoluto Misura affetta da errore
H 3,415 cm 0,005 cm (3,415 ±0,005) cm
Ø esterno 1,410 cm 0,005 cm (1,410 ±0,005) cm Ø interno 1,070 cm 0,005 cm (1,070 ±0,005) cm Approssimiamo per arrotondamento alla quarta cifra decimale.
Volume del cilindro se fosse pieno V1 = H(Øest/2)2±
1 1
V
V
= 3,14163,415cm(1,41cm/2)2±
1 1
V
V
= 5,3324cm3±
1 1
V
V
Errore relativo su tale volume:
% 1 0156 , /2 0 1,410
005 , 2 0 3,415
005 , 2 0
1
R R h
h V
V
Schiavon Simone
Dunque V2= 3,07 cm3 ± 2% = (3,07 ± 0,06) cm3
Volume oggetto V = (V1 - V2 ) ± ΔV = (2,26 ± ΔV) cm3
Errore assoluto sull’oggetto ΔV = ΔV1 + ΔV2 = 0,05 cm3 + 0,06 cm3 0,1
Errore relativo sul volume 4% 3 , 2
1 , 0
V
V
Dunque V = 2,3 cm3 ± 4% = (2,3 ± 0,1) cm3
Massa m = (16,302 ± 0,001)g
Errore relativo sulla massa: 6 10 5 16,302
001 ,
0
m
m
Densità
3 7,0878 3 3
, 2
g 16,302
cm g cm
V m
Errore relativo sulla densità: 4% V
V V
V m
m
Dunque densità ρ = 7,1 g/cm3 ± 4% = (7,1 ± 0,3) g/cm3
Riassumendo in una tabella:
Grandezza Misura Errore assoluto
Errore relativo Misura affetta da errore Volume
cilindro pieno 5,3324 cm3 0,05 cm3 1% (5,33±0,05) cm3 Volume foro 3,0708 cm3 0,06 cm3 2% (3,07±0,06) cm3 Volume
oggetto 2,26 cm3 0,1 cm3 4% (2,3±0,1) cm3
Massa 16,302 g 0,001 g 6105 (16,302±0,001)g Densità 7,0878 g/cm3 0,3 g/cm3 4% (7,1±0,3) g/cm3
Conclusioni
Visto il dato teorico riportato sull’Handbook (densità di vari tipi di acciaio: 7,2 g/cm3) giungiamo alla conclusione che la nostra ipotesi era corretta, in quanto tale valore ricade nell’intervallo ottenuto sperimentalmente.
TERZO OGGETTO
Il dado utilizzato è un solido di forma geometrica irregolare, pertanto, per calcolarne il volume, siamo stati costretti ad immergerlo in acqua.
Per fare ciò abbiamo utilizzato un becker con sensibilità 5 ml (poiché il diametro del becker precedente, più sensibile, non era sufficientemente ampio da permettere l’introduzione dell’oggetto).
Per sopperire alla minore sensibilità dello strumento, ci siamo serviti nuovamente del calibro, per misurare dall’esterno, con maggiore precisione, il livello dell’acqua prima e dopo l’immersione.
Quota livello acqua con dado H = (6,650 ± 0,005) cm
Quota livello acqua senza dado h = (6,415 ± 0,005) cm
Differenza d = H-h ± (ΔH+Δh) = (0,23 ± 0,01) cm Diametro interno del beker Ø = (3,205 ±0,005) cm
Volume cilindretto d’acqua:
V =d(Ø/2)2±
1 1
V
V
=3,14160,23cm(3,205cm/2)2± V
V
= 1,855cm3± V
V
Errore relativo su tale volume:
% 5 0497 , /2 0 3,205
005 , 2 0 0,23
01 ,
2 0
r r d
d V
V
Dunque V= 1,85 cm3 ±5% = (1,85 ± 0,09) cm3
Massa m = (14,820 ± 0,001)g
Errore relativo sulla massa: m 0,001 7105
Schiavon Simone
Riassumendo in una tabella:
Grandezza Misura Errore assoluto
Errore relativo Misura affetta da errore
H 6,650 cm 0,005 cm 7*10-3 (6,650±0,005)cm
h 6,415 cm 0,005 cm 8*10-4 (6,415±0,005)cm
Ø 3,205 cm 0,005 cm 8*10-4 (3,205±0,005)cm
Volume 1,855 cm3 0,09 cm3 5% (1,85±0,09)cm3
Massa 14,820 g 0,001 g 7*10-5 (14,820±0,001)g
Densità 8,0108 g/cm3 0,4 g/cm3 5% (8,0±0,4) g/cm3
Conclusioni
Visto il dato teorico riportato sull’Handbook (densità dell’acciaio inox: 8,02 g/cm3) giungiamo alla conclusione che la nostra ipotesi era corretta, in quanto tale valore ricade nell’intervallo ottenuto.
