Metodi Statistici per la Biologia Cognome:
Laurea Triennale in Biologia Nome:
24 luglio 2008 Matricola:
Tema B
1. Parte A
1.1. Sia x1, x2, . . . , xn una campione di dati relativi ad una variabile numerica. Indichiamo con a il 15o percentile campionario, e con b il 55o percentile campionario. Quale delle seguenti affermazioni `e sicuramente vera?
a < b
a ≤ x ≤ b
il 70o percentile `e uguale ad a + b
nessuna delle precedenti affermazioni `e sicuramente vera
1.2. Tirando due volte un dado regolare a sei facce, qual `e la probabilit`a che il punteggio del secondo dado sia strettamente maggiore del punteggio del primo dado?
12
13
365
125
1.3. Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti, ciascuna con distribuzione P o(1). Quale delle seguenti variabili `e standardizzata (cio`e ha media zero e varianza uno)?
X + Y − 2
√12(X − Y )
√12(X + Y )
12(X − Y )
1.4. Siano X1, X2, X3, . . . variabili i.i.d. con valore atteso µ. Fissato un arbitrario ε > 0, quale delle seguenti relazioni `e una conseguenza della Legge dei Grandi Numeri?
limn→∞P X1+...+Xn n > µ − ε = 0
limn→∞P
X1+...+X√ n
n < µ
= 12
limn→∞P X1+...+Xn n < µ + ε = 1
limn→∞P (X1+ . . . + Xn− nµ > ε) = 0
1.5. Effettuando un test d’ipotesi di livello di significativit`a α sono sicuro che
P (rifiuto H0 quando `e corretta) ≤ α
P (rifiuto H0 quando `e sbagliata) ≥ α
P (accetto H0 quando `e corretta) ≤ α
P (accetto H0 quando `e sbagliata) ≤ α
1
1.6. Si vuole verificare l’efficacia di un farmaco nel diminuire la frequenza cardiaca a riposo.
A tal fine si considera un gruppo di persone a cui viene misurata la variazione della frequenza cardiaca a riposo tra prima e dopo la somministrazione del farmaco. Quale test occorre usare per analizzare i dati?
un test χ2 di indipendenza
un test χ2 di adattamento
un test per il confronto di medie di campioni indipendenti
un test per il confronto di medie di dati appaiati
1.7. Si vuole stimare la media µ di una variabile con distribuzione normale di varianza in- cognita. Calcolando l’intervallo di confidenza al 95% su un campione di taglia 20, si ottiene I1 = [4.21, 4.56]. Si ricalcola quindi l’intervallo di confidenza al 95% su un secondo campione, sempre di taglia 20, ottendendo I2 = [4.59, 4.73]. Da questi dati si pu`o concludere che:
la media µ `e certamente compresa tra 4.56 e 4.59
la media µ cade in uno dei due intervalli I1, I2 con probabilit`a almeno del 10%
la media µ potrebbe non appartenere a nessuno dei due intervalli I1, I2
`e stato commesso un errore nelle misurazioni o nei calcoli, perch´e I1 e I2 non possono essere disgiunti
2. Parte B 2.1. Esercizio 1
Un certo negozio on-line di prodotti per l’informatica, vende ogni giorno un numero di computer portatili che ha distribuzione P o(3). Inoltre, i numeri di computer portatili venduti in giorni distinti sono variabili aleatorie indipendenti.
a) Qual `e la distribuzione del numero di computer venduti in 30 giorni?
b) Usando l’approssimazione normale, calcolare approssimativamente la probabilit`a che nei prossimi 30 giorni vengano venduti pi`u di 100 (> 100) computer.
Soluzione.
a) Sia X1, X2, . . . , X30i numeri di computer venduti in ognuno dei 30 giorni. Le Xi ∼ P o(3) e sono indipendenti. Il numero totale di computer venduti `e X := X1+ X2+ · · · + X30∼ P o(90).
b) Usando anche la correzione di continuit`a, posto Z ∼ N (0, 1), P (X > 100) = P (X > 100.5) = P (X − 90
√
90 > 100.5 − 90
√
90 ) ' P (Z > 1.11)
= 1 − P (Z ≤ 1.11) ' 1 − 0.87 = 0.13.
2.2. Esercizio 2
Il TOEFL (Test of English as Foreign Language) `e uno dei test di lingua inglese internazio- nalmente riconosciuti. L’Universit`a di Berkeley, che riceve ogni anno centinaia di domande di ammissione da parte di studenti stranieri, confronta i punteggi ottenuti nel TOEFL da stu- denti provenienti dalla Francia con quelli ottenuti da studenti provenienti dalla Germania. Per ognuno dei due gruppi vengono selezionati in modo casuale 25 studenti. Per il Francesi, i pun- teggi formiscono una media campionaria di 518 e una deviazione standard campionaria di 87;
per i Tedeschi, la media campionaria ottenuta `e 545 con deviazione standard campionaria di 93. Quali conclusioni si possono trarre da questi dati? (Effettuare un test al 5%; si assuma la normalit`a della distribuzione del punteggio nel TOEFL, e l’uguaglianza delle varianze nelle due popolazioni).
Soluzione. Usiamo un test di uguaglianza di medie per campioni normali indipendenti.
sp=
r872+ 932
2 ' 90.05.
Come ipotesi nulla scegliamo H0 : µx = µy (x = punteggio di uno studente francese). La statistica test `e
t = 518 − 545 90.05
q 2 25
=' −1.06
Essendo t48,0.025 ' 2.01, H0 viene accettata al 5%: a questo livello di significativit`a i dati non dimostrano una differenza significativa nel punteggio medio tra i due gruppi.
2.3. Esercizio 3
In una verifica sugli errori tipografici, vengono contati gli errori per pagina in un’edizione di un libro. Si ottengono i seguenti risultati:
N. errori 0 1 2 3 4 5 6 o pi`u N. di pagine 13 24 31 18 11 3 0
Questi dati sono coerenti con l’ipotesi che il numero di errori per pagina abbia distribuzione di Poisson? (Effettuare un test al 5%).
Soluzione. Effettuiamo un test χ2 di buon adattamento. Se x `e il numero di errori per pagina, i dati forniscono x = 1.99. Calcoliamo le frequenze attese per un P o(1.99). Per i = 0, 1, 2, 3, 4:
fi = 100e−1.991.99i i!
Inoltre, raggruppando tutti i valori maggiori o uguali a 5 in un unica classe, otteniamo f5= 100 −
4
X
i=0
fi.
Svolgendo i calcoli, si trova la statistica test (oi= frequenze osservate)
5
X
i=0
(fi− oi)2 fi
' 2.37.
Confrontando questo valore con il percentile χ24,0.05 = 9.48, si trova che il campione non cade nella regione critica: dati sono coerenti con l’ipotesi che il numero di errori per pagina abbia distribuzione di Poisson.
