Cap. 3 Il piano Cap. 3 Il piano Cartesiano Cartesiano

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Cap. 3 Il piano Cap. 3 Il piano

Cartesiano

Cartesiano

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Retta e punto Retta e punto

Consideriamo una retta r e un Consideriamo una retta r e un

punto P su di essa punto P su di essa

Se la retta è formata da un Se la retta è formata da un

numero infinito ed illimitato di numero infinito ed illimitato di

punti allora se inserisco un punto punti allora se inserisco un punto

di fatto la divido in due parti di fatto la divido in due parti

Si viene a formare un nuovo Si viene a formare un nuovo

ente che necessita di nome e ente che necessita di nome e

definizione (che dipenderà definizione (che dipenderà

strettamente dall’operazione strettamente dall’operazione

svolta) svolta)

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Semiretta Semiretta

Si definisce semiretta ciascuna delle due parti in cui una

retta è divisa da un suo punto

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Semiretta orientata Semiretta orientata

Una semiretta si dice orientata se su di essa è stato fissato un

verso positivo

O r

Verso positivo Semiretta orientata

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Semiretta orientata e graduata Semiretta orientata e graduata

Graduare una semiretta orientata significa far Graduare una semiretta orientata significa far

corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente semplice

semplice

Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere dei numeri a caso

dei numeri a caso

Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura (AC =1)

(AC =1)

Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C assegno il valore 1

assegno il valore 1

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Si dice che il punto C è l’immagine di 1 Si dice che il punto C è l’immagine di 1

Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun

punto della semiretta un valore ripetendo punto della semiretta un valore ripetendo

consecutivamente l’unità di misura consecutivamente l’unità di misura

Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà

l’immagine di 2 l’immagine di 2

3 volte il punto 3 e così via 3 volte il punto 3 e così via

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Corrispondenza biunivoca Corrispondenza biunivoca

La corrispondenza biunivoca è una La corrispondenza biunivoca è una

relazione che fa corrispondere a relazione che fa corrispondere a

ciascun elemento di un’insieme A ciascun elemento di un’insieme A

(es. i punti di una semiretta) un (es. i punti di una semiretta) un

elemento dell’insieme B (es. i elemento dell’insieme B (es. i

numeri reali) e viceversa (a ciascun numeri reali) e viceversa (a ciascun

elemento dell’insieme B elemento dell’insieme B

corrisponde un solo elemento corrisponde un solo elemento

dell’insieme A) dell’insieme A)

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Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti della semiretta ed il loro valore

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A ciascun punto della semiretta A ciascun punto della semiretta

corrisponde un numero reale e corrisponde un numero reale e

ogni numero reale ha la sua ogni numero reale ha la sua

immagine in un punto della immagine in un punto della

semiretta

semiretta

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Come ottenere la stessa cosa Come ottenere la stessa cosa

sul piano sul piano

Per ottenere una corrispondenza Per ottenere una corrispondenza

biunivoca fra punti delle retta ed il loro biunivoca fra punti delle retta ed il loro

valore è bastata una retta orientata valore è bastata una retta orientata

Come possiamo fare la stessa cosa su di Come possiamo fare la stessa cosa su di

un piano?

un piano?

Può bastare una sola retta?

Può bastare una sola retta?

Pensate a quante dimensioni ha un piano Pensate a quante dimensioni ha un piano

e a quante ne ha una retta e a quante ne ha una retta

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Il piano cartesiano Il piano cartesiano

In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un

quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi

Prendiamo in considerazione un piano

Prendiamo in considerazione un piano  e due semirette e due semirette orientate e graduate aventi un origine in comune e

orientate e graduate aventi un origine in comune e perpendicolari fra loro

perpendicolari fra loro

Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo

di 90°

di 90°

Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale

Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy

Se le semirette sono graduate significa che è stata Se le semirette sono graduate significa che è stata

fissata un’unità di misura generalmente (ma non fissata un’unità di misura generalmente (ma non

necessariamente) identica per i due assi necessariamente) identica per i due assi

o

x y

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Si dice

Si dice asse delle ascisseasse delle ascisse l’asse x l’asse x Si dice

Si dice asse delle ordinateasse delle ordinate l’asse y l’asse y Ma a cosa serve tutto questo?

Ma a cosa serve tutto questo?

Consideriamo un punto P del piano Consideriamo un punto P del piano

Dal punto P tracciamo la retta verticale r

Asse delle ordinate

Asse delle scisse

Questa incontra l’asse x nel punto E

E è l’immagine di 2 e

prende il nome di ascissa del punto P

Come si vede hanno questo valore tutti i punti della retta r perciò il punto P non può essere individuato solo da questo valore

r

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Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che

costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me

interessa cioè P interessa cioè P

Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s) Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s)

Essa incontra l’asse y nel punto F Essa incontra l’asse y nel punto F

r

Il punto F è l’immagine di 2 sull’asse delle ascisse e prende il nome di

ordinata del punto P

A questo punto il gioco è fatto, il punto P risulta determinato senza

equivoci dai due numeri di cui E ed F costituiscono l’immagine

E ed F prendono il nome di

coordinate cartesiane del punto P e si scrive P (E;F) oppure P(2;2)

Per convenzione si mette prima il valore dell’ascissa e poi quello dell’ordinata

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Una nuova corrispondenza Una nuova corrispondenza

biunivoca biunivoca

Esiste una corrispondenza biunivoca Esiste una corrispondenza biunivoca

fra i punti del piano e una coppia di fra i punti del piano e una coppia di

coordinate cartesiane coordinate cartesiane

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… … ma anche gli assi hanno le loro ma anche gli assi hanno le loro coordinate

coordinate

Consideriamo il punto G Consideriamo il punto G

Anch’esso fa parte del piano perciò Anch’esso fa parte del piano perciò

avrà la sua coppia di coordinate avrà la sua coppia di coordinate

L’ascissa è 1 L’ascissa è 1

Ripetiamo il procedimento Ripetiamo il procedimento

precedente, se tracciamo la retta precedente, se tracciamo la retta

orizzontale passante per G troviamo orizzontale passante per G troviamo il punto O di coordinate (0;0) come si il punto O di coordinate (0;0) come si conviene ad un punto che costituisce conviene ad un punto che costituisce

l’origine degli assi l’origine degli assi

Questo ci porta alla conclusione che tutti i punti situati sull’asse delle ascisse (asse x) avranno l’ordinata 0

Il punto G avrà coordinate (1;0) – ricordiamo che per convenzione si mette prima l’ascissa e poi l’ordinata-

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Consideriamo ora il punto H Consideriamo ora il punto H Trovandosi sull’asse y avrà Trovandosi sull’asse y avrà come ascissa la stessa del come ascissa la stessa del

punto cioè 0 punto cioè 0

Tutti i punti che si trovano Tutti i punti che si trovano

sull’ordinata hanno per sull’ordinata hanno per

ascissa il valore 0 ascissa il valore 0

Le coordinate del punto H Le coordinate del punto H

saranno H(0;4) saranno H(0;4)

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Trovare i punti conoscendo le Trovare i punti conoscendo le

coordinate coordinate

trovare il punto P (4;2) trovare il punto P (4;2) Dal punto di

Dal punto di ascissaascissa 4 (asse x) 4 (asse x) traccio una retta

traccio una retta verticaleverticale Dal punto di

Dal punto di ordinataordinata 2 (asse y) 2 (asse y) traccio una retta

traccio una retta orizzontaleorizzontale Vedo che si incontrano in un Vedo che si incontrano in un

punto punto

Quello è il punto P cercato Quello è il punto P cercato

Punto Q (3;5) Punto Q (3;5)

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