Cap. 3 Il piano Cap. 3 Il piano
Cartesiano
Cartesiano
Retta e punto Retta e punto
Consideriamo una retta r e un Consideriamo una retta r e un
punto P su di essa punto P su di essa
Se la retta è formata da un Se la retta è formata da un
numero infinito ed illimitato di numero infinito ed illimitato di
punti allora se inserisco un punto punti allora se inserisco un punto
di fatto la divido in due parti di fatto la divido in due parti
Si viene a formare un nuovo Si viene a formare un nuovo
ente che necessita di nome e ente che necessita di nome e
definizione (che dipenderà definizione (che dipenderà
strettamente dall’operazione strettamente dall’operazione
svolta) svolta)
Semiretta Semiretta
Si definisce semiretta ciascuna delle due parti in cui una
retta è divisa da un suo punto
Semiretta orientata Semiretta orientata
Una semiretta si dice orientata se su di essa è stato fissato un
verso positivo
O r
Verso positivo Semiretta orientata
Semiretta orientata e graduata Semiretta orientata e graduata
Graduare una semiretta orientata significa far Graduare una semiretta orientata significa far
corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente semplice
semplice
Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere dei numeri a caso
dei numeri a caso
Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura (AC =1)
(AC =1)
Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C assegno il valore 1
assegno il valore 1
Si dice che il punto C è l’immagine di 1 Si dice che il punto C è l’immagine di 1
Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun
punto della semiretta un valore ripetendo punto della semiretta un valore ripetendo
consecutivamente l’unità di misura consecutivamente l’unità di misura
Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà
l’immagine di 2 l’immagine di 2
3 volte il punto 3 e così via 3 volte il punto 3 e così via
Corrispondenza biunivoca Corrispondenza biunivoca
La corrispondenza biunivoca è una La corrispondenza biunivoca è una
relazione che fa corrispondere a relazione che fa corrispondere a
ciascun elemento di un’insieme A ciascun elemento di un’insieme A
(es. i punti di una semiretta) un (es. i punti di una semiretta) un
elemento dell’insieme B (es. i elemento dell’insieme B (es. i
numeri reali) e viceversa (a ciascun numeri reali) e viceversa (a ciascun
elemento dell’insieme B elemento dell’insieme B
corrisponde un solo elemento corrisponde un solo elemento
dell’insieme A) dell’insieme A)
Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti della semiretta ed il loro valore
A ciascun punto della semiretta A ciascun punto della semiretta
corrisponde un numero reale e corrisponde un numero reale e
ogni numero reale ha la sua ogni numero reale ha la sua
immagine in un punto della immagine in un punto della
semiretta
semiretta
Come ottenere la stessa cosa Come ottenere la stessa cosa
sul piano sul piano
Per ottenere una corrispondenza Per ottenere una corrispondenza
biunivoca fra punti delle retta ed il loro biunivoca fra punti delle retta ed il loro
valore è bastata una retta orientata valore è bastata una retta orientata
Come possiamo fare la stessa cosa su di Come possiamo fare la stessa cosa su di
un piano?
un piano?
Può bastare una sola retta?
Può bastare una sola retta?
Pensate a quante dimensioni ha un piano Pensate a quante dimensioni ha un piano
e a quante ne ha una retta e a quante ne ha una retta
Il piano cartesiano Il piano cartesiano
In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un
quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi
Prendiamo in considerazione un piano
Prendiamo in considerazione un piano e due semirette e due semirette orientate e graduate aventi un origine in comune e
orientate e graduate aventi un origine in comune e perpendicolari fra loro
perpendicolari fra loro
Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo
di 90°
di 90°
Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale
Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy
Se le semirette sono graduate significa che è stata Se le semirette sono graduate significa che è stata
fissata un’unità di misura generalmente (ma non fissata un’unità di misura generalmente (ma non
necessariamente) identica per i due assi necessariamente) identica per i due assi
o
x y
Si dice
Si dice asse delle ascisseasse delle ascisse l’asse x l’asse x Si dice
Si dice asse delle ordinateasse delle ordinate l’asse y l’asse y Ma a cosa serve tutto questo?
Ma a cosa serve tutto questo?
Consideriamo un punto P del piano Consideriamo un punto P del piano
Dal punto P tracciamo la retta verticale r
Asse delle ordinate
Asse delle scisse
Questa incontra l’asse x nel punto E
E è l’immagine di 2 e
prende il nome di ascissa del punto P
Come si vede hanno questo valore tutti i punti della retta r perciò il punto P non può essere individuato solo da questo valore
r
Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che
costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me
interessa cioè P interessa cioè P
Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s) Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s)
Essa incontra l’asse y nel punto F Essa incontra l’asse y nel punto F
r
Il punto F è l’immagine di 2 sull’asse delle ascisse e prende il nome di
ordinata del punto P
A questo punto il gioco è fatto, il punto P risulta determinato senza
equivoci dai due numeri di cui E ed F costituiscono l’immagine
E ed F prendono il nome di
coordinate cartesiane del punto P e si scrive P (E;F) oppure P(2;2)
Per convenzione si mette prima il valore dell’ascissa e poi quello dell’ordinata
Una nuova corrispondenza Una nuova corrispondenza
biunivoca biunivoca
Esiste una corrispondenza biunivoca Esiste una corrispondenza biunivoca
fra i punti del piano e una coppia di fra i punti del piano e una coppia di
coordinate cartesiane coordinate cartesiane
… … ma anche gli assi hanno le loro ma anche gli assi hanno le loro coordinate
coordinate
Consideriamo il punto G Consideriamo il punto G
Anch’esso fa parte del piano perciò Anch’esso fa parte del piano perciò
avrà la sua coppia di coordinate avrà la sua coppia di coordinate
L’ascissa è 1 L’ascissa è 1
Ripetiamo il procedimento Ripetiamo il procedimento
precedente, se tracciamo la retta precedente, se tracciamo la retta
orizzontale passante per G troviamo orizzontale passante per G troviamo il punto O di coordinate (0;0) come si il punto O di coordinate (0;0) come si conviene ad un punto che costituisce conviene ad un punto che costituisce
l’origine degli assi l’origine degli assi
Questo ci porta alla conclusione che tutti i punti situati sull’asse delle ascisse (asse x) avranno l’ordinata 0
Il punto G avrà coordinate (1;0) – ricordiamo che per convenzione si mette prima l’ascissa e poi l’ordinata-
Consideriamo ora il punto H Consideriamo ora il punto H Trovandosi sull’asse y avrà Trovandosi sull’asse y avrà come ascissa la stessa del come ascissa la stessa del
punto cioè 0 punto cioè 0
Tutti i punti che si trovano Tutti i punti che si trovano
sull’ordinata hanno per sull’ordinata hanno per
ascissa il valore 0 ascissa il valore 0
Le coordinate del punto H Le coordinate del punto H
saranno H(0;4) saranno H(0;4)
Trovare i punti conoscendo le Trovare i punti conoscendo le
coordinate coordinate
trovare il punto P (4;2) trovare il punto P (4;2) Dal punto di
Dal punto di ascissaascissa 4 (asse x) 4 (asse x) traccio una retta
traccio una retta verticaleverticale Dal punto di
Dal punto di ordinataordinata 2 (asse y) 2 (asse y) traccio una retta
traccio una retta orizzontaleorizzontale Vedo che si incontrano in un Vedo che si incontrano in un
punto punto
Quello è il punto P cercato Quello è il punto P cercato
Punto Q (3;5) Punto Q (3;5)