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Esercizi di riepilogo e complemento 2
I numeri complessi
Le n radici dell’unit`a sono date dalla formula
ε
k= cos 2kπ
n + i sin 2kπ
n (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).
Una ε
k` e detta primitiva se ε
mk= 1 per 0 < m < n. In tal caso, le potenze ε
0k= 1, ε
k, ε
2k, . . . , ε
n−1kdanno tutte le radici ennesime dell’unit` a. Le ε
kprimitive sono tutte e sole quelle che corrispondono ai valori di k primi con n. Pertanto, ε
1= cos 2π
n + i sin 2π
n ` e primitiva.
Se ε `e una radice ennesima primitiva dell’unit`a e se ω `e una radice di z
n= w, le n radici complesse di w sono
ω, εω, ε
2ω, . . . , ε
n−1ω.
1. Calcolare le potenze
a) i
176, b) i
241, c) i
302, d) i
731, e) i
−243.
1;i; −1; −i; i.
2. Dimostrare che le radici comuni alle equazioni z
n= 1, z
m= 1 sono tutte e sole quelle di z
δ= 1, essendo δ il M.C.D. di m ed n.
3. Dimostrare che se n = pq, con p e q primi fra loro, le radici di z
n= 1 sono z = ε
rη
s(r = 0, 1, 2, . . . , p − 1; s = 0, 1, 2, . . . , q − 1) essendo ε una radice primitiva di z
p= 1 ed η una radice primitiva di z
q= 1.
Risolvere con tale procedimento l’equazione z
12= 1, e ritrovare il risultato applicando direttamente la formula della radice ennesima dell’unit` a.
±1; ±i; −1±i2√3; 1±i
√3 2 ; i±
√3 2 ; −i±
√3 2 .
4. Sia r un intero. Dimostrare che la somma delle potenze r
medelle n radici di z
n= w `e uguale a nw
r/nse
rn` e intero, ed ` e uguale a zero se
rnnon ` e intero.
5. Dimostrare che il prodotto delle n radici di z
n= w `e uguale a (−1)
n−1w.
6. Risolvere l’equazione 1 + ix 1 − ix
n= 1
x = tgkπn, (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) escludendo, se n `e pari, il valore k =n2.
