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Esercizio 1. Sia X il sottoinsieme del piano proiettivo complesso CP

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Academic year: 2021

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GEOMETRIA 4

ESERCITAZIONE SCRITTA DEL 22-9-2009

Esercizio 1. Sia X il sottoinsieme del piano proiettivo complesso CP

2

, definito in coordinate omogenee dall’equazione

z

20

z

12

= z

24

.

(1) Si determini un sottoinsieme finito A di CP

2

tale che M = X \ A sia una sottovariet`a differenziabile di CP

2

.

(2) Si verifichi che X `e uno spazio topologico compatto e connesso per archi e, dopo aver fissato un punto x

0

∈ X, si calcoli il gruppo fondamentale π

1

(X, x

0

).

Esercizio 2. Si consideri nello spazio la superficie S = {(x, y, z) | xyz = 1}.

(1) Scelta una opportuna parametrizzazione si calcoli la II forma fonda- mentale nel punto P = (1, 1, 1).

(2) Si calcoli la curvatura dell’intersezione di S con il piano di equazione x + y + 2z = 4 in P .

Esercizio 3. Si calcoli l’indice di rotazione della curva chiusa piana definita per t ∈ [0, 4π] tale che

γ(t) = (sin(t), 1/2sin(2t)) per t ∈ [0, 2π], γ(t) = (1/2sin(2t), sin(t)) per t ∈ [2π, 4π].

1

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