Risoluzione 1. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione
8>
<
>:
x2+ y2+ z2= 2y y = z + 1
x 0
, 8>
<
>:
x2+ (z + 1)2+ z2= 2(z + 1) y = z + 1
x 0
, 8>
<
>:
x2+ 2z2= 1 y = z + 1
x 0
Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse x2+ 2z2 = 1, ponendo x = cos t, z = p12sin t, con t 2 [ ⇡2,⇡2] dato che per tali valori risulta x 0. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo
'(t) = (cos t, 1 +p12sin t,p12sin t) t2 [ ⇡2,⇡2].
Con tale parametrizzazione abbiamo che il punto P (1, 1, 0) corrisponde a '(0) dove, essendo '0(t) = ( sin t,p12cos t,p12cos t), risulta T = '0(0) = (0,p12,p12). Dunque il vettore tangente verifica T· j =
p1
2 > 0 e l’orientamento della curva determinato dalla parametrizzazione scelta `e quello richiesto.
2. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione 8>
<
>:
4x2+ y2= 2y z = x + 1
y 1
, 8>
<
>:
x2
1 4
+ (y 1)2= 1 z = x + 1
y 1
Possiamo usare le coordinare polari ellittiche per parametrizzare l’ellisse x12
4 + (y 1)2 = 1, ponendo x = 12cos t, y = 1 + sin t, con t 2 [0, ⇡] poich`e per tali valori risulta y 1. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo
'(t) = (12cos t, 1 + sin t, 1 +12cos t) t2 [0, ⇡].
Risulta allora che P = (0, 2, 1) = '(⇡2) e poich`e '0(t) = ( 12sin t, cos t, 12sin t), otteniamo T = '0(⇡2) = ( 12, 0, 12). Dunque il vettore tangente verifica T· k = 12 < 0 e l’orientamento della curva determinato dalla parametrizzazione scelta `e opposto a quello richiesto. Sar`a quindi sufficiente considerare la curva opposta
(t) = ( ')(t) = '( t) = (12cos t, 1 sin t, 1 +12cos t) t2 [ ⇡, 0]
per ottenere la parametrizzazione richiesta.
3. Per determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno il tri- angolo di vertici (1, 1), (2,32) e (32, 2) percorso in senso antiorario, possiamo determinare una parametriz- zazione delle curve aventi per sostegno i tre lati del triangolo 1, 2 e 3 e considerare la curva unione.
Una parametrizzazione di tali curve, sugli intervalli [0, 1], [1, 2] e [2, 3], rispettivamente, `e data da '1(t) = (1 t)(1, 1) + t(2,32) = (1 + t, 1 +t2), t2 [0, 1],
'2(t) = (2 t)(2,32) + (t 1)(32, 2) = (52 2t, 1 +2t), t2 [1, 2], '3(t) = (3 t)(32, 2) + (t 2)(1, 1) = (52 2t, 4 t), t2 [2, 3].
Una parametrizzazione della curva assegnata sar`a pertanto data dalla curva unione ' : [0, 3]! R2definita da
'(t) = 8>
<
>:
(1 + t, 1 +2t), t2 [0, 1], (52 2t, 1 +t2), t2 [1, 2], (52 2t, 4 t), t2 [2, 3].
4. La curva '(t) = (t2, t3, t2) `e di classeC1in [0, 1] ed essendo '0(t) = (2t, 3t2, 2t) = (0, 0, 0) solo per t = 0, la curva risulta regolare a tratti in [0, 1]. La curva `e semplice poich`e se t1 6= t2 allora t31 6= t32 e quindi '(t1)6= '(t2). La curva non `e chiusa essendo '(0) = (0, 0, 0)6= (1, 1, 1) = '(1).
Essendo di classeC1, la lunghezza della curva `e data da L(') =
Z 1
0 k'0(t)kdt = Z 1
0
p8t2+ 9t4dt = Z 1
0
tp
8 + 9t2dt
= 181 h
2
3(8 + 9t2)32i1
0=271(17p
17 8p 8)
5. La curva, il cui sostegno `e rappresentato in figura, possiamo vederla come unione delle curve 1, avente per sostegno l’arco di circonferenza {(x, y) 2 R2| x2+ y2 = 2, x2 [0, 1]}, 2 con sostegno il segmento {(x, y) 2 R2| x = 0, y 2 [0,p
2]}, e 3con sostegno l’arco di parabola {(x, y) 2 R2| y = x2, x2 [0, 1]}.
Dalla propriet`a di additivit`a segue che
L( ) = L( 1) +L( 2) +L( 3).
Dalla geometria elementare abbiamo che L( 1) = ⇡4 ·p
2 (dato che l’arco `e sotteso da un angolo di ampiezza ⇡4 su una circonferenza di raggio p
2) e L( 2) = p
2. Per calcolare invece la lunghezza della curva 3, osserviamo che la curva ha equazione cartesiana y = f (x) = x2, x2 [0, 1] e che quindi la sua lunghezza sar`a data da
L( 3) = Z 1
0
p1 + f0(x)2dx = Z 1
0
p1 + 4x2dx
= 14[2xp
1 + 4x2+ log(2x +p
1 + 4x2)]10= 14(2p
5 + log(2 +p 5)) dove, per calcolare l’integrale si `e usato l’integrale notevole,R p
1 + t2dt = 12(tp
1 + t2+log(t+p
1 + t2))+
c.
6. La curva di equazione polare ⇢(✓) = e ✓, ✓ 2 [0, 4⇡], corrisponde alla curva parametrizzata '(✓) = (e ✓cos ✓, e ✓sin ✓), ✓2 [0, 4⇡]. La curva risulta regolare essendo ⇢(✓) di classe C1 e
k'0(✓)k =p
⇢(✓)2+ ⇢0(✓)2=p
2e 2✓=p
2e ✓6= 0 8✓ 2 [0, 2⇡]
La curva risulta semplice, essendo ⇢(✓) = e ✓funzione iniettiva, ma non chiusa, dato che '(0) = (1, 0)6=
'(4⇡) = (e 4⇡, 0). La lunghezza della curva `e L(') =
Z 4⇡
0 k'0(✓)k d✓ = Z 4⇡
0
p2e ✓d✓ =p 2⇥
e ✓⇤4⇡
0 =p
2(1 e 4⇡) Per determinarne una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea, osserviamo che
(✓) = Z ✓
0 k'0(⌧ )k d⌧ = Z ✓
0
p2e ⌧d⌧ =p
2(1 e ✓) e dunque 1(s) = log(pp2 s2 ) per ogni s 2 ([0, 4⇡]) = [0,p
2(1 e 4⇡)]. Una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea sar`a pertanto data da
(s) = '( 1(s)) = (elog(
pp2 s 2 )
cos log(pp2 s2 ), elog(
pp2 s 2 )
sin log(pp2 s2 ))
= (pp2 s2 cos log(pp2 s2 ), pp2 s2 sin log(pp2 s2 )), s2 [0,p
2(1 e 4⇡)]
7. Una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno il segmento congiungente il punto P0 = (1, 0, 0) con il punto P1 = (0, 2, 1) `e data da '(t) = tP0+ (1 t)P1 = (1 t)(1, 0, 0) + t(0, 2, 1) = (1 t, 2t, t) con t2 [0, 1]. Tale parametrizzazione non `e per`o mediante ascissa curvilinea dato che
k'0(t)k =p
1 + 4 + 1 =p 66= 1
Per determinarne una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea, osserviamo che (t) =
Z t
0 k'0(⌧ )k d⌧ =p 6t
e dunque 1(s) = ps6 per ogni s2 ([0, 1]) = [0,p
6]. Una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea sar`a quindi data da
(s) = '( 1(s)) = (1 ps 6,p2s
6, ps
6), s2 [0,p 6]
8. La curva '(t) = (sin t, cos t, t2) `e di classeC2in [ ⇡, ⇡] con
'0(t) = (cos t, sin t, 2t) e '00(t) = ( sin t, cos t, 2) Dunque, essendo k'0(t)k =p
1 + 4t2 > 0 e k'00(t)k = p
5 > 0 per ogni t 2 ( ⇡, ⇡), si ha che la curva risulta regolare e biregolare.
La curva risulta chiusa essendo '(⇡) = (0, 1, ⇡2) = '( ⇡). La curva risulta inoltre semplice poich`e se t1, t22 ( ⇡, ⇡] sono tali che t16= t2 allora '(t1)6= '(t2), poich`e se sin t1= sin t2allora t1t2 0 e t216= t22. In '(0) = (0, 1, 0) abbiamo
'0(0) = (1, 0, 0) e '00(0) = (0, 1, 2) quindi il versore tangente `e dato da
T(0) = '0(0)
k'0(0)k = (1, 0, 0), il versore binormale `e
B(0) = '0(0)^ '00(0)
k'0(0)^ '00(0)k = (0, p25, p15) e il versore normale `e
N(0) = B(0)^ T(0) = (0, p15,p25)
Il piano osculatore per '(0) `e il piano ortogonale al versore binormale B(0) passante per '(0) = (0, 1, 0), quindi di equazione
B(0)· (x, y 1, z) = 0 , 2(y 1) + z = 0 , 2y + z = 2 9. Il sostegno della curva `e dato dall’intersezione
(z = x2+ y2
z = 2x ,
(x2+ y2= 2x
z = 2x ,
((x 1)2+ y2= 1 z = 2x
Possiamo usare le coordinare polari per parametrizzare la circonferenza (x 1)2+ y2 = 1, ponendo x = 1 + cos t, y = sin t, con t2 [0, 2⇡]. Otteniamo quindi una parametrizzazione della curva ponendo
'(t) = (1 + cos t, sin t, 2 + 2 cos t), t2 [0, 2⇡].
Risulta allora
'0(t) = ( sin t, cos t, 2 sin t) e '00(t) = ( cos t, sin t, 2 cos t).
Osserviamo la curva non `e parametrizzata mediante ascissa curvilinea dato chek'0(t)k =p
sin2t + cos2t + 4 sin2t = p1 + 4 sin2t6⌘ 1. Il punto P = (1, 1, 2) corrisponde a '(⇡2), abbiamo quindi
'0(⇡2) = ( 1, 0, 2), '00(⇡2) = (0, 1, 0) e '0(⇡2)^ '00(⇡2) = ( 2, 0, 1) e dunque il versore tangente in P `e dato da
T(⇡2) = '0(⇡2)
k'0(⇡2)k = ( p15, 0, p25), il versore binormale `e
B(⇡2) = '0(⇡2)^ '00(⇡2)
k'0(⇡2)^ '00(⇡2)k = ( p25, 0,p15) e il versore normale `e
N(⇡2) = B(⇡2)^ T(⇡2) = (0, 1, 0) Infine, la curvatura `e data da
k(⇡2) = k'0(⇡2)^ '00(⇡2)k k'0(⇡2)k3 =15 mentre la torsione `e nulla essendo la curva piana.
10. La curva '(t) = (cos3t, sin3t), t2 [0, 2⇡], `e di classe C2 in [0, 2⇡] con '0(t) = ( 3 sin t cos2t, 3 cos t sin2t) e
'00(t) = ( 3 cos3t + 6 sin2t cos t, 3 sin3t + 6 cos2t sin t) Risulta allora
'(⇡4) = (2p12,2p12), '0(⇡4) = (2p32,2p32) e '00(⇡4) = (2p32,2p32) da cui otteniamo che il versore tangente e normale orientato in '(⇡4) sono
T(⇡4) = '(⇡4)
k'(⇡4)k = ( p12,p12) e N(˜ ⇡4) = ( p12, p12) La curvatura orientata in '(⇡4) `e
k(˜ ⇡4) = N (˜ ⇡4)· '00(⇡4)
k'0(⇡4)k2 =49( p12, p12)· (2p32,2p32) = 23< 0.
Ne segue che il versore normale N(⇡4) coincide con N(˜ ⇡4) = (p12,p12), la curvatura k(⇡4) `e l’opposto della curvatura orientata k(⇡4) = ˜k(⇡4) = 23. Il raggio di curvatura `e dunque r(⇡4) =k(1⇡
4)= 32 e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da
C(⇡4) = '(⇡4) + r(⇡4)N(⇡4)) = (2p12,2p12) +32(p12,p12) = (p22,p22) L’equazione della circonferenza osculatrice in '(⇡4) sar`a quindi
(x p22)2+ (y p22)2=94.
11. La curva risulta regolare essendo f (x) = x2(1 x2) di classeC1. Una rappresentazione parametrica della curva `e data da '(t) = (t, t2(1 t2)), t2 [ 1, 1] e risulta O = (0, 0) = '(0). Si ha '0(t) = (1, 2t 4t3) e dunque che '0(0) = (1, 0)⌘ T(0), il versore tangente coincide con il vettore tangente. Il versore normale orientato `e quindi ˜N(0) = (0, 1). Risulta inoltre '00(t) = (0, 2 12t2), quindi '00(0) = (0, 2) e la curvatura orientata sar`a
˜k(0) = N (0)˜ · '00(0)
k'0(0)k2 = (0, 1)· (0, 2) = 2 > 0.
Ne segue che il versore normale N(0) coincide con ˜N(0) = (0, 1), la curvatura k(0) coincide con la curvatura orientata ˜k(0) = 2. Il raggio di curvatura `e dunque r(0) = k(0)1 = 12 e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da C(0) = (0,12). L’equazione della circonferenza osculatrice in O sar`a quindi
x2+ (y 12)2= 14.
12. La curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0,⇡2], corrisponde alla curva parametrica '(✓) = (sin(2✓) cos ✓, sin(2✓) sin ✓) con ✓2 [0,⇡2]. Abbiamo che la curva `e di classeC2 con
'0(✓) = (2 cos(2✓) cos ✓ sin(2✓) sin ✓, 2 cos(2✓) sin ✓ + sin(2✓) cos ✓)
e
'00(✓) = ( 5 sin(2✓) cos ✓ 4 cos(2✓) sin ✓, 5 sin(2✓) sin ✓ + 4 cos(2✓) cos ✓)
Nel punto (p22,p22) = '(⇡4) abbiamo allora '0(⇡4) = ( p22,p22) e '00(⇡4) = ( 5p22, 5p22) e quindi che il versore tangente e versore normale orientato sono
T(⇡4) = '0(⇡4)
k'0(⇡4)k = ( p22,p22) e N(˜ ⇡4) = ( p22, p22) e la curvatura orientata `e
˜k(⇡4) =N(˜ ⇡4)· '00(⇡4)
k'0(⇡4)k2 = ( p22, p22)· ( 5p22, 5p22) = 5 > 0.
Avremo allora che versore normale N(⇡4) coincide con ˜N(⇡4) = ( p22, p22) e la curvatura k(⇡4) coincide con la curvatura orientata ˜k(⇡4) = 5. Il raggio di curvatura `e dunque r(⇡4) = 1
k(⇡ 4 )
= 15 e il centro della circonferenza osculatrice `e dato da
C(⇡4) = (p22,p22) +15( p22, p22) = (2p52,2p52).
L’equazione della circonferenza osculatrice in (p22,p22) sar`a quindi
⇣x 2p52⌘2
+⇣
y 2p52⌘2
= 251.
