ad ogni istante il momento risultante
che si esercitano
1
OP
0
n
I I
R i i
i
M r F
=
= =
una coppia di forze a braccio nullo
rispetto ad un qualunque polo
O
P e’ nullodelle forze interne
➢ costituiscono sempre
per il terzo principio della dinamica le forze interne a coppie di forze di azione e reazione
lungo la stessa direzione quindi
si manifestano sempre
risultante nulla
➢ hanno sempre
ma una coppia di forze a braccio nullo rispetto a qualsiasi polo
ha sempre momento totale nullo Seconda equazione cardinale
fino ad ora abbiamo sempre determinato il momento angolare
cosa succederebbe se il polo
O
Prispetto all’origine
O
del sistema inerziale o ad un poloO
P fissofosse mobile ?
al sistema inerziale fisso S’
se il polo OP fosse in moto con velocita’
v
AOP
derivando
v
ii
A A
dr
= dt dr
AOPdr
OPidt dt
= +
v
PiOP
O A
dr + dt
v + v
OP Pi
A O
la derivata temporale di un vettore
Polo mobile
Ai
rispetto al tempo
r
dato che
i OP P i
A A O
r = r + r
e’ uguale alla differenza delle velocita’
che abbia entrambi gli estremi mobili
i OP Pi
A A O
r = r + r
Pi
AOP
r
OP
r
OPiAi
r
O’
x’
z’
y’
v
Ai=
rispetto
v
Ai=
ma Pi v
Pi
O
O
dr
dt =
v
OPi= v v
i OP
A − A
dei due estremi del vettore significato ?
v
OP
A
vAi
m3
m2
m1
mi
O’
A1
r
A2
r Ai
r
x’
y’
z’
vA3
vAi
vA1
vA2
A3
r
rispetto al polo mobile OP
Pi Pi
v
iO O i A
L = r m
i i
v
iA A i A
L = r m
come cambierebbe il momento angolare rispetto al sistema inerziale
O’
m3
m2
m1
mi
O’
OPi
r
P2
rO
P1
rO
P3
rO
x’
y’
z’
vA3
vAi
vA1
vA2
OP
AO
r v
OP
A
1 i n
A A
i
L L
=
=
il momento angolare totale LA
di punti rispetto al sistema inerziale
O’
P 1 Pi
n
O O
i
L L
=
=
il momento angolare totale
OP
L del sistema rispetto al polo mobile
O
PvAi
Nota bene: le
rimangono le stesse dell’
i
-esimo punto Pi se venisse calcolatodi punti del sistema
1
( v )
Pi i
n
O i A
i
d r m
dt
=
derivando rispetto al tempo il momento angolare totale del sistema di punti OP
dL
dt =
1 Pi n
O i
d L
dt
=1 Pi
n
O i
d L dt
=1
P i
v
i
n O
i A i
dr dt m
=
+
1
( v )
i P i
n i A
O i
r d m
dt
=
per la linearita’ dell’operatore derivata
1 Pi n
O i
d L
dt
=1 Pi
n
O i
d L dt
=
=
Pi Pi
v
iO O i A
L = r m
assumendo che la massa mi
sia costante nel tempo
1
P i
v
i
n O
i A i
dr dt m
=
+
1
v
i P in A
O i
i
r m d
dt
=
P 1 Pi
n
O O
i
L L
=
=
dei punti Pi
ma
dato che il sistema O’ e’ inerziale
v
ii
A
A
d a
dt =
Ri
=
= R
iE+ R
iIma
1
(v v ) v
i OP i
n
A A i A
i
m
=
− +
1
v v
i i
n
A i A
i
m
=
−
1
v v
OP i
n
A i A
i
m
=
+
1 P i
n E
O i
i
r R
=
+
1 P i
n I
O i
i
r R
=
1
( )
P i
n E I
O i i
i
r R R
=
+
v
OPi= v v
i OP
A
−
A1
P i
v
i
n O
i A i
dr dt m
=
+
1
v
i P in A
O i
i
r m d
dt
=
1
v v
Pi i
n
O i A
i
m
=
+
1 Pi i
n
O i A
i
r m a
=
i Ai
m a
1
v v
Pi i
n
O i A
i
m
=
+
1
( )
P i
n E I
O i i
i
r R R
=
+
P i
v
P i
O
O
dr
dt =
OP
dL
dt =
ma e
OP
dL dt
1
v v
i i
n
A i A
i
m
=
−
1
v v
OP i
n
A i A
i
m
=
+
1 P i
n E
O i
i
r R
=
+
1 P i
n I
O i
i
r R
=
v v 0
i i
A
m
i A=
0
1
P i
0
n I
O i
i
r R
=
=
v v
OP CM
A
M
A= −
per le proprieta’ del
1
v
n
i
i Ai
m
=1
v v
OP i
n
A i A
i
m
=
−
1
v v
OP i
n
A i A
i
m
=
−
ad ogni istante il
rispetto ad un delle forze interne momento risultante
- qualunque - polo OP e’ nullo
Q
A=
vACM
= M QA
v v
OP CM
A
M
A−
1 P i
n E
O i
i
r R
=
+
ma
v
AOPQ
A−
in conclusione :
C.M.
0
ma
1 Pi P
n E E
O i O
i
r R M
=
=
P
E
M
O e’ il momento totale risultanterispetto al polo mobile
O
P sceltodelle forze esterne dove
quindi
dL
OPdt = v v
P OP CM
E
O A A
M − M
se il polo fosse fisso seconda
equazione cardinale
v 0
AOP
=
eagenti sul sistema di punti calcolato
O
PdL
dt =
P
E
M
OP P
E O O
M dL
= dt
Seconda equazione cardinale
non e’ altro che l’estensione di piu’ punti materiali si ricava
a sistemi composti
del terzo principio della dinamica delle forze interne sia sempre nullo
imponendo che il momento rispetto ad un polo fisso
significato fisico ?
la seconda equazione cardinale
quindi
del momento della quantita’ di moto totale di un sistema di punti materiali e’ uguale alla risultante dei momenti di tutte
le forze esterne agenti sul sistema di punti
ad ogni istante di tempo la derivata temporale
→ conservazione
agissero forze esterne →
se il sistema di punti fosse isolato, ossia se sul sistema non
del momento della quantita’ di moto totale del sistema di punti
P
0
E
M
O=
P →
P
E O O
M dL
= dt dL
OP0
dt =
→OP
costante
L =
se su di un sistema di punti materiali non agiscono forze esterne
e per un sistema di punti materiali
➢ un sistema di punti materiali isolato
➢ se il sistema fosse inizialmente in rotazione uniforme inoltre
Principio di conservazione del momento angolare per un sistema di punti materiali
polo fisso, non agisca
di moto rettilineo uniforme a risultante non nulla
il momento angolare totale
(sistema isolato) e verso direzione
rimane costante nel tempo in modulo,
il primo principio della dinamica diviene:
persiste nel suo stato di quiete o
fino a che sul sistema non agiscano forze esterne
rispetto ad un qualsiasi persisterebbe nel suo moto rotatorio uniforme finche’ sul sistema
una risultante dei momenti delle forze esterne non nulla
se il polo OP fosse
v 0
AOP
=
se il centro di massa
v 0
ACM
=
se la velocita’ del polo OP
v
AOPv
ACM
// v v
OP CM
A
Asi annullerebbe
il secondo termine nella
del centro di massa
se il polo
O
Pcoincidesse con il centro di massa rispetto al sistema
inerziale
fosse parallela a quella
rispetto al sistema inerziale
v v
P OP CM
E
O A A
M − M
OP
dL
dt =
se
fermo rispetto al sistema inerziale
fosse in quiete
l’equazione rimarrebbe valida
➢ e’ evidente che il centro di massa
se si facesse coincidere il polo
O
Prispetto al riferimento inerziale il centro di massa fosse in moto accelerato
per descrivere il moto del sistema di punti materiali
anche se
e’ un punto “ privilegiato ”
con il centro di massa CM Nota Bene:
