La lezione di oggi

2

Urti Quantità di moto

Cinematica

rotazionale

La lezione di oggi

!  Quantità di moto e impulso

!  Urti elastici e anelastici

!  Cinematica rotazionale

4

La quantità di moto

" E’ una grandezza vettoriale

" Unità di misura: kg m s^-1

" Dimensionalmente: [M][L][T^-1]

v m p  

=

Se ho un sistema di n oggetti, la quantità di moto totale sarà:

n 2

1

totale

m v m v ... m v

p    

+ +

+

=

La seconda legge di Newton

La seconda legge di Newton si scrive, nel caso più generale:

t F p

Δ

= Δ

∑

 

Nel caso particolare in cui la massa è costante, ottengo:

Δ =

= Δ

∑ ^{F p} _t

 

Δ = Δ

t ) v m

(  m a 

Δ = Δ

t m v



Questa forma vale anche se varia la massa.

6

Impulso

t F

I = 

Δ

Definizione di impulso



Impulso

t F

I = 

Δ



" E’ una grandezza vettoriale

" Unità di misura: kg m s^-1

" Dimensionalmente: [M]L][T^-1]

" Ha le stesse dimensioni e unità di misura della quantità di moto

Impulso e variazione della quantità di moto sono collegati:

parto dalla 2 legge di Newton

per ottenere

t F p

Δ

= Δ

 



 

8

Esercizio

Una palla da baseball di m = 0.144 kg viaggia con v = 43.0 ms^-1, quando viene colpita con una mazza che esercita

una forza media di 6.50 kN per un tempo t = 1.30 ms.

Qual è il modulo della velocità finale della palla ?

I t

F

p  



= Δ

=

Nota: Il moto è unidimensionale

Δ

t F

v m - v

m

p =

=

Δ

Δ    

− =

= m

mv Δt

v_finale F^{media iniziale}

1 - -1

-3 3

ms kg 15.7

0.144

) ms kg)(43.0

(0.144 -

s) 10

N)(1.30 10

(6.50

⋅ =

= ⋅

t F

) (-mv

-

mv

=

Δ

x

v_iniziale

v_finale F_media

Conservazione della quantità di moto

Se la risultante delle forze che agisce su un oggetto è nulla, la quantità di moto si conserva (rimane costante)

Come la legge di conservazione dell’energia meccanica, questa è una delle leggi di conservazione fondamentali

∑ ^{F  = 0}

t F p

Δ

= Δ

∑

 

0 t

/

p Δ = Δ 

iniziale finale

p

p  

=

2

legge di Newton

10

Forze interne e forze esterne

!  Sistema: insieme di n oggetti, scelto arbitrariamente

"   Le forze interne al sistema non hanno effetto sulla quantità di moto totale di un sistema

"   Se la risultante delle forze esterne al sistema è zero, la quantità di moto totale del sistema si conserva

1 - 1

1

1 t -0.42 ms

m - F t

-a v

- = = =

Canoa 1

Esercizio

Una persona della canoa 1 spinge la canoa 2 con una forza di 46 N per un tempo t=1.20 s.

Se m₁ = 130 kg e m₂ = 250 kg, calcolare la quantità di moto acquistata da ciascuna canoa

x

Nota: Il problema è unidimensionale

1 - 2

2

2 t 0.22 ms

m t F

a

v = = =

Canoa 2

-1 -1

1 1

1

m v (130 kg)(-0.42 ms ) 55 kg ms

p = = = −

-1 -1

2 2

2 m v (250 kg)(0.22 ms ) 55 kg ms

p = = =

Avrei potuto risolvere il probema usando:

Ft p₁ =

Ft p₂ =

12

1 - 1

1

1 t -0.42 ms

m - F t

-a v

- = = =

Esercizio

Una persona della canoa 1 spinge il molo con una forza di 46 N per un tempo t=1.20 s.

Se m1 = 130 kg, calcolare la quantità di moto della canoa dopo la spinta.

x

Nota: Il problema è unidimensionale

v_molo = a_molot = F

m_molo t ≅ 0 perché?

-1 -1

1 1

1

m v (130 kg)(-0.42 ms ) 55 kg ms

p = = = −

F₂

Canoa

MOLO

M_T=5.9742 × 10²⁴ kg

Esercizio

Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g che galleggia sull’acqua e cammina con velocità 3.80 cm/s.

Il bastoncino, di conseguenza,

si muove in verso opposto con velocità di 0.12 cm/s.

Calcolare la massa dell’ape.

x

v_ape v_bastoncino

14

0 0

m 0

m

p 

=

⋅ +

⋅ =

Soluzione esercizio 1

Problema: Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g e cammina con velocità 3.80 cm/s. Il bastoncino, di conseguenza, si muove in verso opposto con velocità di 0.12 cm/s.

Calcolare la massa dell’ape.

Nota: Il problema è unidimensionale

x

v_ape v_bastoncino

0 p

v m

v m

p

=

−

=

= g

15 . v 0

v m m

finale ape,

finale ,

bastoncino bastoncino

ape

= =

Sul sistema ape-bastoncino non agiscono forze esterne.

p = 0 Δ 

finale ,

bastoncino bastoncino

finale ape,

ape

finale

m v m v

p   

+

=

!  Quantità di moto e impulso

!  Urti elastici e anelastici

!  Cinematica rotazionale

16

Urti elastici e urti anelastici

!  Urto elastico: si conserva p e K

!  Urto anelastico: si conserva p e non K

!  Urto completamente anelastico: dopo l’urto gli oggetti rimangono attaccati

completamente anelastico

elastico p: quantità di moto

K: energia cinetica

Esercizio

Un’automobile di m₁ = 950 kg e v₁= 16 m/s si scontra con un angolo di 90^o contro un’altra automobile di m₂ = 1300 kg e v₂ = 21 m/s.

Nell’ipotesi che i due veicoli rimangano attaccati e che le forze esterne siano trascurabili, calcolare modulo e velocità dei veicoli dopo l’urto.

Sul sistema non agiscono forze esterne

p = 0 Δ 

m_{1 ,}v₁

m_{2 ,}v₂

x y

Prima dell’urto

x y

m₁+m₂, _,v_finale θ"

V_finale cosθ Vfinale senθ

Dopo l’urto

I due oggetti rimangono attaccati dopo l’urto !

Urto completamente anelastico K_in ≈ 3 ×10⁵J

18

Esercizio

Asse x

m

v

= (m

+ m

) v

cosθ

m_{1 ,}v₁

m_{2 ,}v₂

x y

Prima dell’urto

x y

m₁+m₂, _,v_finale θ"

V_finale cosθ Vfinale senθ

Dopo l’urto

Asse y

m

v

= (m

+ m

) v

senθ

61

v m

v arctan m

θ

1 1

2

2

=

=

K_fin ≈ 2×10⁵J < K_in

1 1 finale

2

1

m )v cosθ m v

(m + =

2 1

1 1

finale

14 ms

)cosθ m

(m

v

v m =

= +

Esercizio

Due pietre da curling di m = 7.0 kg si urtano. Il disco 1 si muove con v_1i = 1.5 m/s e il disco 2 è fermo. Dopo l’urto, il disco 1 si muove con

v_1f = 0.61m/s e angolo di 66^o rispetto alla direzione iniziale.

Calcolare modulo e velocità del disco 2.

Sul sistema non agiscono forze esterne

p = 0 Δ 

Urto elastico

K = 0

Δ

20

Esercizio

Asse x

m

v

= m

v

cos66

+ m

v

cos θ

Asse y

0 = m

v

sen66

− m

v

senθ

o

f 2, 2

o f

1, 1 i

1, 1

23 0.92

acos

92 . v 0

m

cos66 v

m v

cosθ m

=

− =

= ¹

o 2

o f

1, 1 f

2,

1.4ms

sen23 m

sen66 v

v = m =

Esercizio

Per verificare che questo è davvero un urto elastico, calcolo la variazione di energia cinetica

J 7.9 )

5ms (7.0kg)(1.

2 v 1

2 m

K

= 1

=

=

= +

=

finale

m v

2 v 1

2 m K 1

J 7.9 )

4ms (7.0kg)(1.

2 ) 1

61ms (7.0kg)(0.

2

1

= +

=

22

!  Quantità di moto e impulso

!  Urti elastici e anelastici

!  Il centro di massa

!  Cinematica angolare

Posizione angolare

Convenzione

  θ > 0: verso antiorario

  θ < 0: verso orario

24

Radiante

Radiante

Angolo che sottende un arco di circonferenza

uguale al raggio

s = r θ , θ = 1 radiante 1 giro

(o rivoluzione)

θ = 360^o s = 2πr

θ = 360^o=2π radianti" 1 radiante = 57.3^o"

Velocità angolare e periodo

! Unità di misura: radianti/s (rad/s)

! ω>0 ! rotazioni antiorarie

! ω<0 ! rotazioni orarie

Δt θ θ

Δt

ω Δθ

−

=

=

Periodo (T) = tempo necessario ad effettuare un giro intero

ω T 2π

T

ω = 2π → =

Ripendiamo qui nozioni già introdotte nella lezione III (moto circolare e armonico)

26

Velocità angolare come vettore

Accelerazione angolare

Δt α = Δω

!  Unità di misura: radianti/s² (rad^.s ^-2)

!  Per il segno, devo fare attenzione:

in modulo in modulo in modulo in modulo

28

Cinematica rotazionale

Dalle definizioni di θ, ω, α posso ricavare le equazioni della cinematica rotazionale

nel caso di a costante

2 0

0

αt

2 t 1

ω θ

θ = + +

αt ω

ω = ₀ +

Grandezze lineari e rotazionali

θ"

vtangenziale

Velocità tangenziale:

velocità del punto sulla circonferenza

v = ω ⋅ r

Posizione

posizione del punto sulla circonferenza

P

s = θ ⋅ r

θ in radianti!

30

Il moto circolare

La palla percorre una traiettoria circolare perché è sottoposta a un’accelerazione:

! Modulo costante

! Direzione radiale

! Verso: verso il centro

Punto per punto, cambiano

direzione e verso della velocità (tangenziale);

non cambia il modulo Accelerazione centripeta

r a v

2 c

=

r m v ma

T

2 c

=

=

Accelerazione tangenziale e centripeta

Il bambino si muove sulla circonferenza e

la sua velocità angolare varia

Accelerazionetangenziale

! ω varia

a

= r ⋅ α

Accelerazione

v

32

Esercizio

Una ruota gira con velocità angolare uguale a 3.40 rad/s.

Al tempo t₀ comincia a rallentare e si ferma dopo 1 giro e un quarto.

Calcolare:

1.  L’accelerazione angolare, assumendo che sia costante

2.  Il tempo necessario alla ruota per fermarsi.

1

0

3.40 rad s

ω = ⋅

Condizioni a contorno

2 π 2π 5

4 2π 1

θ

= + =

0 θ

=

0 ω

=

2 0

0

αt

2 t 1

ω θ

θ = + +

αt ω

ω =

+

s

rad 0.736

-

α = ⋅ t = ^{4.62 s}

ricavo t dalla (b) e sostituisco nella (a) per ricavare α"

2 1

-

αt

2 t 1 ) s rad (3.40

rad 0

2 π

5 = + ⋅ ⋅ +

(a)

αt )

s rad 3.40

(

0 = ⋅

+

(b)

Il microematocrito (= Ultracentrifuga)

In una ultracentrifuga per microematocrito, piccole quantità di sangue sono poste in provette con eparina. Le provette ruotano a 11500 giri/minuto con il fondo a 9.0 cm dall’asse di rotazione.

Calcolare:

1. Il modulo della velocità tangenziale delle cellule al fondo della provetta 2. L’accelerazione centripeta nello stesso punto

3. L’accelerazione centripeta in unità di g

1 - 1

-

-1 -1

s rad ) 1200

minuto s

(60

) giro rad

π 2 ( ) minuto giri

(11500

ω = ⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅

v = ω r = 110 ms

-2 5

-2 2

centripeta

ω r 130000 ms 1.3 10 ms

a = = = ⋅

34

Una nuova legge di conservazione:

la conservazione della quantità di moto

Cinematica rotazionale è analoga allacinematica traslazionale Prossima lezione:

La biomeccanica

Riassumendo