INTRODUZIONE “Le grand jeté” Nel balzo sembra che la ballerina galleggi mentre attraversa il palco.

INTRODUZIONE

“Le grand jeté”

Nel balzo sembra che la ballerina galleggi mentre attraversa il palco.

INTRODUZIONE

I corpi possono essere trattati come particelle puntiformi se tutti i loro punti si muovono di moto identico come nel moto traslatorio.

In molte situazioni, tuttavia, questa schematizzazione non è valida; ad esempio quando un oggetto ruota, o le sue parti oscillano le une rispetto alle altre.

Anche in questi casi più complicati esiste un punto dell’oggetto il cui moto può essere considerato come quello di una semplice particella sottoposta alla risultante delle forze esterne. Tale punto si chiama “centro di massa”.

Nel seguito si mostra come calcolare la posizione del centro di massa e quale sia la legge generale che permette di determinarne il moto.

Si introduce una nuova grandezza detta “quantità di moto”

Si mostra che questa grandezza gode della seconda delle grandi leggi di conservazione, la Conservazione della Quantità di Moto.

attrito nullo

m₁=2m₂

solo forze interne

SISTEMI DI DUE PARTICELLE

Il concetto di energia è risultato utile per studiare il moto di un corpo sottoposto ad una forza elastica Consideriamo: moto di due corpi connessi da una molla elastica e non sottoposti a forze esterne

le forze hanno uguale intensità e versi opposti Terza Legge

I corpi sono abbandonati da fermi con la molla allungata di “d_i”

I loro moti sono correlati e si influenzano reciprocamente tramite la molla

SISTEMI DI DUE PARTICELLE

Il sistema è isolato poiché le forze esterne, la gravità e la reazione della slitta, fanno lavoro nullo. Relazioni energetiche.

E = U

+ K

=

kd

+ 0

E = U + K =

kd

+

m

v

+

m

v

Energia iniziale

Energia in ogni istante

1

2

kd

=

kd

+

m

v

+

m

v

x

= x

+ L + d

! "

#

relazione fra le posizioni

L = lunghezza di riposo d = allungamento

Le informazioni non sono sufficienti per determinare x₁(t) e x₂(t)

Un’informazione aggiuntiva si ottiene studiando il moto di un punto particolare del sistema detto

“centro di massa”

posizione del

“centro di massa”

x

= 1

m

+ m

( m

x

+ m

x

)

media pesata delle posizioni sulle masse

Si mostra come, sulla base delle leggi del moto, nella situazione illustrata, il centro di massa non si muove affatto sebbene se le due masse oscillino influenzandosi reciprocamente per mezzo della molla.

CARATTERISTICHE DEL MOTO DEL CENTRO DI MASSA

posizione del c.m.

velocità del c.m.

accelerazione del c.m.

x_cm = 1

M

(

)

v_cm = dx_cm dt = 1

M

(

)

a_cm = dv_cm dt = 1

M

(

)

Si applicano separatamente le leggi del moto a m₁ e ad m₂

F 

= m



a

; 

F

= m



a

; 

F

= −  F

Seconda Legge Terza Legge

a

= 1

M ( F

+ F

) ^{= 0}

v_cm=costante v_cm=0

il c.m. ha una velocità iniziale

il c.m. non risente delle forze interne

LEGGE DI MOTO DEL CENTRO DI MASSA (2 PARTICELLE)

In generale possono agire sulle particelle anche delle forze esterne

F 

+ 

F

= m



a

; 

F

+ 

F

= m

 a

F 

+ 

F

+ 

F

+ 

F

= m



a

+ m



a

= M m



a

+ m

 a

M

!

"

# $

% &

Il centro di massa di un sistema di due particelle si muove come se fosse una particella di massa pari alle masse delle due

particelle e sottoposta alla risultante delle forze esterne agenti

F 

n=1 2

∑ ^{= M a }

Legge di Moto

del centro di massa Seconda Legge

applicata al c.m.

SISTEMI DI MOLTE PARTICELLE

Si considera un sistema formato da N particelle interagenti

Definizione della posizione del centro di massa

x

= 1

M ( m

x

+ m

x

+...m

x

) ^{= 1}

M ∑ m

x

y

= 1

M ( m

y

+ m

y

+...m

y

) ^{= 1}

M ∑ m

y

z

= 1

M ( m

z

+ m

z

+...m

z

) ^{= 1}

M ∑ m

z

media pesata delle posizioni rispetto alle masse

m

r 

, 

v

,  a

F 

M = m

+ m

+....m

= ∑ m

massa della particella “n”

posizione, velocità, accelerazione della particella “n”

forza applicata alla particella “n”, può essere originata da agenti esterni (forze esterne) e/o dalle altre N-1 particelle (forze interne, molte e sconosciute)

massa totale del sistema

SISTEMI DI MOLTE PARTICELLE

Derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità del c.m.

v 

= d  r

dt = 1

M m



v

+ m



v

+...m

 v

( ) ^{= 1}

M m

 v

∑

Derivando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l’accelerazione del c.m.

a_cm = dv_cm dt = 1

M m₁

a₁+ m₂

a₂ +...m_N a_N

( )

∑

Il moto di pura traslazione di un sistema di particelle può essere analizzato applicando le leggi di Newton al c.m. del sistema, considerato come una particella di massa uguale alla massa totale del sistema e sulla quale è applicata la risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema .

Applicando la Seconda Legge del Moto

m

 a

∑ ^{= M a }

^{→ F }

^{+ F }

^{+.... F }

⁼ ∑ ^{F }

^{= M a }

forze esterne ed interne

non utilizzabile Applicando la Terza Legge del Moto le forze interne fra particella e particella si cancellano

reciprocamente nella sommatoria

F 

= − 

F

→ ∑ ^{F }

^{= M a }

OSSERVAZIONI E CONSEGUENZE

DELLA LEGGE DI MOTO DEL CENTRO DI MASSA

Il centro di massa non è necessariamente una particella fisica del sistema, è un punto geometrico che può stare al di fuori del sistema.

Le forze esterne sono fisicamente applicate alle particelle del sistema e non al c.m.. La risultante delle forze esterne non è un vettore applicato e non ha punto di applicazione.

Nonostante ciò il c.m. si comporta come se fosse una particella di massa M uguale alla massa del sistema ed alla quale sia applicata la risultante di tutte le forze esterne.

Nel caso in cui non siano applicate forze esterne, il c.m. del sistema si muove con velocità costante o rimane fermo.

Le forze interne al sistema non hanno effetto sul moto del c.m.

Il c.m. dei frammenti procede come se l’esplosione non fosse avvenuta (forze interne) fuoco d’artificio

MOTO DI CORPI SOTTOPOSTI ALLA FORZA PESO

punto di massa M sottoposto al peso totale traiettorie

complicate

M_terra+M_luna

il c.m. sta all’interno della Terra (4600 km)

http://www.schulphysik.de/suren/Applets/Dynamics/CM/CMApplet.html

ESEMPIO

Trovare l’intensità dell’accelerazione dei due blocchi nel sistema illustrato. Si risolva considerando il moto del c.m.

posizione del c.m. x_cm = −m₁

M

(

)

M y velocità del c.m. v_cm,x = m₁

M v; v_cm,y = m₂

M v velocità e accelerazione delle masse

accelerazione del c.m. a_cm,x = m₁

M a; a_cm,y = m₂ M a

T = Ma

m

g − N + m

g − T = Ma

"

# $

%$

forze esterne agenti sul sistema

supporto senza attrito T=tensione

→ a = g m

m

+ m

stessa soluzione dell’analisi dinamica

APPLICAZIONI DELLA LEGGE DI MOTO DEL CENTRO DI MASSA

Le grand jeté

moto del c.m.

parabolico moto della testa

orizzontale

Il c.m. si muove rispetto al corpo

Salto in alto oltre 2 m

Il c.m. si trova al di sotto del corpo

http://www.youtube.com/watch?v=yzmPtZyuo4s

http://www.youtube.com/watch?v=HSW8gXmOazs

IL CENTRO DI MASSA DI CORPI SOLIDI

Si divide l’oggetto in più parti e si trattano i c.m. di ogni parte come punti materiali

Il c.m. complessivo è il c.m. dei singoli c.m.

Per calcolare la posizione del c.m. di corpi solidi si divide il corpo in minuscoli elementi di massa dm

x_cm = 1 M lim

δm→0

∑

δ

∫

∫

^ρ

y_cm = 1 M lim

δm→0

∑

δ

∫

∫

^ρ

z_cm = 1 M lim

δm→0

∑

δ

∫

∫

^ρ

integrali di volume

Per semplificare il calcolo spesso si usano argomenti basati sulla geometria o sulla simmetria Se la simmetria è sferica il c.m. deve trovarsi nel centro, se è cilindrica deve trovarsi sull’asse, ecc.

Il c.m. deve trovarsi sulle linee

ESEMPIO

Da una lamina circolare di raggio 2R è stato tolto un disco di raggio R. Trovare la posizione del c.m.

Si considera l’oggetto C come composto dallo oggetto X e dall’oggetto D

x

= m

x

+ m

x

m

+ m

= 0 → x

= − m

x

m

m

m

= area di D

area di X = π R

π ( ) ^2R

^{− π R}

⁼

1 3

x

= −R → x

= 1

3 R

ESEMPIO

Una sottile striscia di materiale è piegata a forma di semicerchio. Trovare il suo centro di massa.

Dalla simmetria il c.m. deve trovarsi sull’asse y

y

= 1

M y dm

0 π

∫ ⁼ _M ^{1 ( Rsin ϕ )}

0 π

∫ ^M _π ^{d ϕ =}

= R

π ^sin ϕ

0 π

∫ ^{d ϕ = 2R} _π ^{= 0, 637R}

il c.m. non è all’interno del corpo

ESEMPIO

Una palla di massa m e raggio R è all’interno di un contenitore sferico di massa m e raggio 2R. La palla viene lasciata libera e rotola all’interno della sfera fermandosi per attrito. Qual è lo spostamento del contenitore?

Le uniche forze esterne sono la gravità e la reazione verticale del piano

Non ci sono forze esterne orizzontali quindi la posizione x_cm non varia.

Trattiamo palla e guscio come particelle puntiformi in cui la massa è concentrata nei rispettivi cm (coincidenti con i centri geometrici).

Il c.m. del sistema palla+contenitore si trova a

x

= − 1 2 R

Alla fine del movimento il contenitore dovrà essersi spostato della distanza

d = − 1 2 R

La forza di attrito che ferma la palla non influenza la posizione del contenitore perché è una forza interna

LA QUANTITÀ DI MOTO MOMENTO LINEARE

La quantità di moto di una particella è un vettore p definito come il prodotto della massa della particella per la sua velocità vettoriale

p = m  

v

La Seconda Legge del Moto può essere espressa in termini della quantità di moto della particella

F 

∑ ^{= m a = m  d}

v 

dt = d m 

( ) v

dt → 

∑ F ^{= d} p  dt

In questa forma la Seconda Legge del Moto si può estendere anche alle situazioni relativistiche.

Relazione classica fra Quantità di Moto ed Energia Cinetica

K = p

2m

m = m

1− v

/ c

E = mc

= m

1− v

/ c

c

p = mv = m

1− v

/ c

v _{K = mc}

_{− m}

_c

Relazioni relativistiche

LA QUANTITÀ DI MOTO MOMENTO LINEARE

Quantità di Moto di un sistema di particelle

Dato un sistema di N particelle di masse m₁, m₂, m₃, … sottoposte ad interazioni reciproche e con l’ambiente esterno.

La Quantità di Moto totale del sistema è definita:

P =  p₁+ 

p₂ +.... + 

p_N = m₁

v₁+ m₂

v₂ +.... + m_N v_N P = M

M m₁

v₁ + m₂

v₂ +.... + m_N v_N

( )

Il moto del c.m. rappresenta il moto complessivo del sistema Derivando l’espressione della quantità di moto

d  P

dt = M d  v

dt = M 

a

;  F

∑ ^{= M a }

espressione alternativa per la q.d.m. totale

P = M   v

F 

∑ ^{= d}

P  dt

espressione della II Legge del Moto per un sistema Prima Equazione

Cardinale della Dinamica

Descrive il moto del c.m. di un sistema di particelle sottoposto a forze esterne ed interne. Le forze interne non hanno effetti.

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

Se la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nulla

d  P

dt =  F

∑ ^{→ d}

P 

dt = 0; 

P = costante

Legge di Conservazione della Quantità di Moto

Quando la risultante delle forze esterne agenti su un sistema è nulla (sistema isolato), il vettore Quantità di Moto totale del sistema rimane costante

La Legge di Conservazione della quantità di moto si applica ad un gran numero di situazioni fisiche e non è stata mai smentita dall’esperienza

Come altre Leggi di Conservazione (energia, momento angolare, carica elettrica,…) sono di grande importanza teorica e pratica in fisica perché semplici ed universali

Esse superano le limitazioni della meccanica classica e sono valide anche in meccanica relativistica e in meccanica quantistica

Ci forniscono una visione diretta delle leggi generali che regolano l’Universo poiché sono collegate alle simmetrie della sua struttura

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=5

APPLICAZIONE LEGGI CONSERVAZIONE

APPLICAZIONE LEGGI CONSERVAZIONE

strangeness exchange reaction

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

Per tutte le Leggi di Conservazione, una grandezza fisica rimane immutata mentre il fenomeno evolve, non importa quale sia la sua complessità

Questa costanza rimane valida per tutti gli osservatori inerziali

La quantità di moto di un sistema può essere modificata solamente dalla forze esterne agenti sul sistema stesso

Le forze interne, essendo a due a due opposte producono variazioni di quantità di moto delle particelle che si annullano a vicenda

Per un sistema di particelle sul quale non agiscano forze esterne si ha:

F 

= 0 →  p

+

∑ ^{p }

^{+ p }

^{+.... p }

^{= costante}

Le quantità di moto delle singole particelle possono cambiare, ma non la loro somma (vettoriale) Poiché la quantità di moto è una quantità vettoriale, la sua conservazione impone tre condizioni al moto del sistema al quale è applicata

L’energia è invece una quantità scalare, la sua conservazione impone una sola condizione al sistema al quale è applicata.

http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/pool/pool_table.html http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html

ESEMPIO

Una raffica di pallottole, ciascuna di massa m=3,8 g, è sparata orizzontalmente con velocità v=1100 m/s in un blocco di legno di massa M=12 kg in quiete su un piano orizzontale senza attrito.

Quale velocità acquisterà il blocco dopo aver assorbito 8 pallottole?

Il blocco e le otto pallottole sono un sistema chiuso e isolato

forze interne

P

= N mv ( ) ^{; P}

^{= M + Nm} ( ) ^V

P

= P

→ N mv ( ) ^{= M + Nm} ( ) ^V

V = Nm

M + Nm v = ( ) 8 ( ^3,8⋅10

^kg )

12 kg + 8 ( ) ( ^3,8⋅10

^kg ) ^{1100 ms}

(

) ^{= 2,8ms}

Se si include nel sistema l’arma fissata al suolo cambia la q.d.m. prima e dopo lo sparo? Agisce una forza esterna orizzontale? http://www.regentsprep.org/Regents/physics/phys01/miscons/default.htm

ESEMPIO

Un cannone di massa M=1300 kg spara una palla di massa m=72 kg in direzione orizzontale con velocità v=55 m/s. Il cannone può rinculare liberamente. Quale velocità acquista il cannone rispetto al suolo? Quale velocità acquista la palla rispetto al suolo?

forze interne

P

= 0

P

= MV + mv

= MV + m v +V ( )

P

= P

MV + m v +V ( ) ^{= 0}

V = − mv

M + m = −

(

) (

)

1300 kg + 72 kg = −2, 9 ms⁻¹

v

= v +V = 55ms

+ −2, 9 ms (

) ^{= 52 ms}

Importanza della scelta del sistema (cannone+palla) Importanza della scelta corretta del riferimento

velocità di rinculo

scelta del rapporto della masse

http://www.youtube.com/watch?v=YlkTBbFikU8

Velocità palla rispetto alla terra

LAVORO ED ENERGIA CINETICA DI UN SISTEMA

La pattinatrice si dà una spinta La pattinatrice aumenta la sua energia cinetica poiché il suo c.m. acquista velocità

Quale forza fornisce il lavoro?

L’unica forza esterna è F_ext che non sposta il suo punto di applicazione quindi non compie lavoro

Analisi energetica

ΔU + ΔK

+ ΔE

= L

L

= 0 ΔU = 0

la ringhiera non fa lavoro l’energia potenziale non cambia

ΔK

= −ΔE

Il guadagno di energia cinetica è fatto a spese dell’energia interna, tramite l’azione di forze interne, non a spese di una sorgente esterna

LAVORO ED ENERGIA CINETICA DI UN SISTEMA

Analisi dinamica

La ringhiera esercita una forza F_ext sulla pattinatrice. E’ la forza di reazione corrispondente all’azione che la pattinatrice esercita sulla ringhiera.

La pattinatrice può essere considerata un sistema di particelle

La forza esercitata dalla ringhiera è responsabile del moto del c.m.

F !

M a !

=

COME FA AD AVANZARE UN’AUTOMOBILE?

Le forze di attrito con il terreno sono le forze esterne che mettono in moto il centro di massa dell’automobile

Su una superficie ghiacciata una automobile non si muove



F

= M  a

Le forze di attrito non spostano il loro punto di applicazione

Non sono loro quindi a compiere il lavoro necessario

ΔU + ΔK

+ ΔE

= L

→ ΔK

= −ΔE

Forze del motore forze interne

IMPULSO E QUANTITÀ DI MOTO

Il concetto di quantità di moto e ed la sua legge di conservazione risultano molto utili quando si trattino fenomeni di urto fra corpi e forze cosiddette impulsive

urto fra corpi forza impulsiva Caratteristiche delle forze impulsive:

Durata molto breve Molto intense

Andamento temporale sconosciuto o molto difficile da misurare

Definizione di impulso di una forza

forza impulsiva che

agisce su un corpo Legge del moto



F = d  p dt

Variazione di q.d.m. in dt

d  p = 

F t ( ) ^dt

Variazione totale di q.d.m. durante l’urto

d 



p

p_i p_f

∫ ^{= F t  ( ) dt}

t_i t_f

∫ ^{= J }

Impulso della forza

TEOREMA DELL’IMPULSO QUANTITÀ DI MOTO

p 

− 

p

= 

F t ( ) ^dt

t_i t_f

∫ ^{= J }

variazione di q.d.m. Impulso della forza

L’impulso della forza risultante agente su una particella durante un certo intervallo di tempo è uguale alla variazione della quantità di moto della particella nello stesso intervallo di tempo

Proprietà ed applicazioni del Teorema dell’Impulso-q.d.m.

Il Teorema dell’Impulso-q.d.m. è ricavato dalla legge del moto ed è una relazione del tutto generale, che vale anche se le forze non sono impulsive. E’ molto simile al Teorema Lavoro-Energia.

Si applica ad una particella singola, si ricava direttamente dalle leggi del moto e si esprime attraverso un integrale della forza agente.

A differenza del Teorema Lavoro-Energia si calcola come integrale della forza rispetto al tempo e non rispetto allo spazio ed è una relazione vettoriale e non scalare.

Consente di calcolare l’Impulso di una forza agente a partire dal suo effetto sul moto, vale a dire la variazione della q.d.m..

Consente di calcolare la forza media agente se si riesca a stimare la durata dell’urto e a misurare la variazione di q.d.m. _{J =}^ _{F t}^

( )

t_i t_f

∫

ESEMPIO

Una palla da baseball (m=0,14 kg) è colpita dalla mazza mentre sta viaggiando orizzontalmente a v=42 m/s. Dopo l’urto viaggia a 50 m/s in una direzione che forma un angolo f=35° con la direzione dell’asse x. Si determini l’impulso della forza. Supponendo che l’urto duri 1,5 ms qual è la forza media?

p_fx = mv_f cosϕ = 0,14 kg

( ) (

)

( ) (

)

p_ix = mv_i = 0,14 kg

( ) (

)

componenti dell’impulso J

= p

− p

= 11, 6 kg ms

J

= p

− p

= 4, 0 kg ms

J = J

+ J

= 12, 3kg ms

θ = arctan J_y J_x

!

"

# $

%& = arctan 4, 0 kg ms⁻¹ 11, 6 kg ms⁻¹

!

"

# $

%& = 19°

J =  

p

−  p

J = 

FΔt → 

F =

(

)

0, 0015s = 8200 N la forza massima è più grande