GEOMETRIA E ALGEBRA INGEGNERIA INFORMATICA SECONDA SERIE DI ESERCIZI PRIMO ESERCIZIO
Si fissino un piano Π e una retta r nello spazio euclideo. Si definiscano nel- l’insieme S dei punti dello spazio euclideo le relazioni ∼Π e ∼r nel modo seguente:
P ∼ΠQ se e solo se d (P, Π) = d (Q, Π) e
P ∼rQ se e solo se d (P, r) = d (Q, r) 1. Si dimostri che ∼Πe ∼rsono relazioni di equivalenza.
2. Si determinino gli insiemi quoziente S/ ∼Π e S/ ∼r.
SECONDO ESERCIZIO
Sia f un’applicazione da un insieme A a un insieme B.
1. Si dimostri che f `e suriettiva se e solo se esiste un’applicazione g da B in A tale che f ◦ g = IdB. Si dimostri che tale applicazione g non `e unica se f `e suriettiva ma non iniettiva.
2. Si dimostri che f `e iniettiva se e solo se esiste un’applicazione g da B in A tale che g ◦ f = IdA. Si dimostri che tale applicazione g non `e unica se f `e iniettiva ma non suriettiva e A ha almeno 2 elementi.
TERZO ESERCIZIO
Nell’insieme M (R, n) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti reali si introduca la reazione ∼ di similitudine definita da:
A ∼ B se e solo se esiste M ∈ GL (n, R) tale che A = M−1BM . 1. Si dimostri che la relazione di similitudine `e di equivalenza.
2. Si dimostri che la funzione determinante det : M (R, n) → R passa al quoziente.
QUARTO ESERCIZIO
Si consideri la funzione f : R2→ R2 cos`ıdefinita f ((a, b)) = (a, 0) .
Si scriva f come composizione della funzione quoziente sull’insieme delle fibre di f , di una funzione biunivoca e di una funzione inclusione.
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