11. 21 ottobre 2009
Alcune esempi di minimizzazione
Dati due punti A e B dalla stessa parte di una retta r, vogliamo trovare il punto P su r tale che la somma |AP | + |P B| sia minima. Si traduce questo problema in un problema di minimo di una funzione; dopo aver trovato il punto di minimo, si mostra che il cammino corrispondente `e una riflessione sulla retta r. Tale soluzione si poteva trovare anche con metodi puramente geometrici.
Si propone infine un problema simile, in cui i punti A e B siano dalle parti opposte rispetto a r e si suppone che ci si muova con velocit`a v1 da un lato della retta e v2 dall’altro. Vogliamo allora trovare il cammino che renda minimo il tempo per andare da A a B.
Un secondo problema `e: assegnati n numeri x1, . . . , xn trovare m che renda minima la somma dei quadrati delle distanze da m a xi, ossia Pn
i=1(xi− m)2. Cercando il minimo (in m) di tale funzione, si trova che il minimo si ha in ¯x, la media aritmetica di x1, . . . , xn.
Si lascia il problema (per i pi`u volonterosi) di trovare m che rende minimaPn
i=1|xi− m|, ossia la somma delle distanze senza i quadrati. tale problema `e un po’ pi`u delicato, perch´e la funzione |x|
non `e derivabile in 0.
Infine si considera il problema di trovare la retta dei minimi quadrati, una tecnica utilizzata in altri corsi. Ossia dati n punti (x1, y1), . . . , (xn, yn) nel piano, trovare la retta che renda minima la somma dei quadrati delle distanza verticali fra la retta e i punti. Parametrizzando la retta come y = q + m(x − ¯x) [uso questa parametrizzazione perch´e so che rende i conti pi`u facili] si tratta di trovare q e m che rendano minima
Xn i=1
[yi− (q + m(xi− ¯x))]2 (1)
visto che q + m(xi− ¯x) `e l’ordinata del punto sulla retta di ascissa xi.
Dobbiamo trovare il minimo di una funzione di due variabili (q e m), ma in questo caso riusciamo a fare i minimi uno alla volta. Fissiamo m (la pendenza della retta) e cerchiamo q che renda minima (1); cio`e fra tutte le rette (parallele) di pendenza m cerchiamo quella migliore. In altri termini dobbiamo trovar il minimo di
G(q) = Xn i=1
[yi− (q + m(xi− ¯x))]2
dove m `e un parametro fissato. Troviamo
G′(q) = −2 Xn i=1
[yi− (q + m(xi− ¯x))] = −2[n¯y − nq − nm¯x + nm¯x] = 2n(q − ¯y)
sfruttando ¯x = 1n
Pn
i=1xi e ¯y =n1
Pn
i=1yi.
Si vede subito che G′(q) = 0 ⇐⇒ q = ¯y; inoltre G′′(q) = 2n > 0, ossia G `e convessa e q = ¯y `e il minimo globale di G.
Abbiamo quindi trovato che, chiunque sia m, minimizziamo (1) scegliendo q = ¯y. Allora fissiamo q = ¯y e consideriamo (1) in funzione di m, ossia studiamo
H(m) = Xn i=1
[yi− ¯y − m(xi− ¯x)]2.
Troviamo
H′(m) = −2 Xn i=1
[yi− ¯y − m(xi− ¯x)](xi− ¯x) = −2 Xn i=1
(yi− ¯y)(xi− ¯x) + 2m Xn i=1
(xi− ¯x)2.
1
Inoltre
H′′(m) = 2 Xn i=1
(xi− ¯x)2> 0,
quindi la funzione `e convessa, e per trovare il minimo basta vedere dove si annulla la derivata. Essa si annulla in
ˆ m =
Pn
i=1(yi− ¯y)(xi− ¯x) Pn
i=1(xi− ¯x)2
che `e quindi il coefficiente angolare della retta dei minimi quadrati (o di regressione).
Soluzioni di un’equazione e teorema dei valori intermedi
Trovare le radici di un’equazione, per esempio
4x3− 15x2− 18x + 2 = 0
si pu`o considerare, ponendo f (x) = 4x3− 15x2− 18x + 2 come la ricerca dei punti in cui il grafico di f interseca l’asse x; intuitivamente, `e abbastanza chiaro che ci`o avviene se f cambia segno in un intervallo. Vale infatti
Teorema 1 ( Il teorema dei valori intermedi) Se f `e continua sull’intervallo chiuso [a, b] e si ha f (a) < k e f (b) > k (o viceversa), allora esiste [almeno] un punto c ∈ (a, b) tale che f (c) = k.
] Uso del teorema per mostrare che l’equazione 4x3−15x2−18x+2 = 0 ha una soluzione compresa fra
−2 e −1 (infatti f (−2) = −36 < 0 < 1 = f (−1)). Idea del metodo della bisezione per approssimare tale soluzione.
Si mostrano esempi del fatto che la continuit`a `e necessaria per il teorema dei valori intermedi:
• Se f (x) = 1 per x > 0 e f (x) = 0 per x ≤ 0, si ha f (0) = 0 e f (1) = 1, ma non esiste alcun x ∈ (0, 1) tale che f (x) = 1/2.
• f (x) = 1x soddisfa f (−1) < 0 e f (1) > 0 ma non esiste alcun x ∈ (−1, 1) tale che f (x) = 0.
Infine, se f `e strettamente crescente (o decrescente) nell’intervallo [a, b], `e chiaro che per ogni k intermedio fra f (a) e f (b) il c ∈ (a, b) tale che f (c) = k `e unico.
Altre regole di derivazione
Derivata del prodotto di funzioni. Cenni della dimostrazione della regola.
Regola per la derivata del quoziente, calcolando prima dxd 1
h(x) tramite la regola di derivazione delle funzioni composte, e poi applicando la regola della derivata del prodotto a f (x) ·h(x)1 .
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