Esercizio1. Ponendow=z i, l'equazionepropostasiriscrivenellaforma
w 3
= 1
p
2 i
1
p
2
=e i=4
:
Applicandolaformulaperleradicidi numericomplessi,siricava
w
k
=e i
=4+2k
3
k=0;1;2
dacui
z
0
=i+e i
12
z
1
=i+e i
7
12
z
2
=i+e i
5
4
:
Esercizio2. Ricordando che,pert!0,sihalog (1+t)tesintt;ponendot=3=n 2
!0,nello
sviluppodellogaritmo,et=2=n 2
!0,inquellodelseno,siottiene
lim
n!+1
log 1+ 3
n 2
sin 2
n 2
= lim
n!+1 3=n
2
2=n 2
= 3
2 :
Esercizio3.
@f
@x
(0;0)=
y
1+xy +3e
3x+2y
(x;y)=(0;0)
=3:
Esercizio4. Ponendox=cos ey=1+sin,siottiene
lim
(x;y)!(0;1) x
2
(y 1) 3
[x 2
+(y 1) 2
] 5=2
= lim
!0 +
2
cos 2
3
sin 3
5
= lim
!0 +
cos 2
sin 3
equindiillimitepropostononesiste.
Esercizio5. Passandoincoordinatepolaricentratenell'origine,siottienechel'insiemeEsitrasforma
nell'insieme
~
E=f(;)2[0;+1)[0;2] : 1<<2; sin>cos>0g
[f(;)2[0;+1)[0;2] : 1<<2; 0<
p
3cos<sing
=f(;)2[0;+1)[0;2] : 1<<2; =4<<=2g
[f(;)2[0;+1)[0;2] : 1<<2; =2<<2=3g
equindi
ZZ
E
yexp(x=
p
x 2
+y 2
)
(x 2
+y 2
) 1=2
dxdy= ZZ
~
E
sinexp(cos=)
dd
=
Z
2
1
d
Z
2=3
=4
sine cos
d
!
=
2
2
2
1
!
e cos
2=3
=4
= 3
2
e 1=
p
2 1
p
e
:
Esercizio6. Poichelungogliassix=0ey=1,lafunzionepropostaeidenticamentenulla,si hache
@f
@x
(0;1)=0=
@f
@y (0;1):
Pertanto, per determinare se f e di erenziabile in (0;1), dobbiamo veri care se lim
(h;k )!(0;0)
g(h;k) risulta
nullo,dove
g(h;k):=
[(1+k) 2
1](3h+1)sinh 5
(h 4
+k 8
) p
h 2
+k 2
:
D'altraparte
jg(h;k)j
2jkh 5
j
(h 4
+k 8
) p
h 2
+k 2
2 jkh
5
j
h 4
jhj
=2jkj!0:
costante y0,chenonrisolveilproblemadiCauchyassegnato,eda
Z
dy
y 2
= Z
e x
dx =)
1
y(x)
=e x
+C =) y(x)= 1
e x
+C
; C2IR :
Lacondizioneinizialeimplica 1= 1
1+C
,dacuiC= 2,equindilasoluzionecercatae
y(x)= 1
2 e x
de nitaper x<log2:
Domanda1. Poiche,prendendox
n
= 3
2n
!0,pern!+1,siha
lim
n!+1 [e
3
2n
+cos(2n)]=2;
mentreprendendox
n
= 6
(2n+1)
!0,pern!+1,siha
lim
n!+1 h
e 6
(2n+1)
+cos
(2n+1)
2
i
=1;
illimite propostononesiste.
Domanda2. Perlade nizionedi derivabilita,vedereillibrodi testo.
Domanda3. Ponendok(2k+1)=37,siottiene2k 2
+k 37=0,dacui
k= 1
p
1+296
4
62IN ;
(37)
