Determinare il momento d’inerzia di un disco
il momento d’inerzia
e densita’ superficiale di massa σ costante.
2
I
z= ∫ r dm
condm = σ dS
passante per il suo centro. Il disco ha spessore trascurabile,
diverra’
rispetto ad un asse perpendicolare massa totale M , raggio R
il problema e’ bidimensionale
al piano del disco
avremo a che fare con come variabili
2 1
n
z i i
i
I m r
=
= ∑
un integrale doppio
dove
r
e’ la distanza dall’asse del discovista dall’alto
z
dr
r
Rutilizziamo le coordinate dividiamo il disco in corone concentriche infinitesime (anelli) di raggio
r
lo spessore del disco e’ trascurabile
con
0 < < r R
suddividiamo ulteriormente la la corona in aree infinitesime
dS ≈ dr dl ⋅ dl = rd ϕ
dS ≈ rdr d ϕ
dmdr
rdl
R
dS
dϕ
polari piane
2
I
z= ∫ r dm
dm =σdS2
r σ rdr d ϕ
∫∫
ma r e ϕ sono indipendenti tra loro e l’integrale doppio fattorizza dϕ
dr
r
dS
dl
R
0 ≤ ≤ r R
0 ≤ < ϕ 2 π
dS ≈ rdr dϕ0 ≤ ≤r R 0 ≤ <ϕ 2π
r dr d
3σ ∫∫ ϕ
2 3
0 0
R π
r drd σ ∫ ∫ ϕ
3 2
0 0
R
r dr
πd
σ ∫ ∫ ϕ
3
2 πσ ∫
0Rr dr 2
44 R
= πσ 1
4z
2
I = πσ R
4
2
1
z
2
I R M π R
= π
1
2 z2
I = MR
S
=π R
2in conclusione il momento d’inerzia del disco
e dato che la massa
M σ
=S
la superficie del disco e’
Determinazione di σ :
per cui
rispetto all’asse z e’ :
e’ distribuita in maniera uniforme
2
M π R
sul disco =
e
costante
σ =
4 0