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Determinare il momento d’inerzia di un disco

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Academic year: 2021

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(1)

Determinare il momento d’inerzia di un disco

il momento d’inerzia

e densita’ superficiale di massa σ costante.

2

I

z

= ∫ r dm

con

dm = σ dS

passante per il suo centro. Il disco ha spessore trascurabile,

diverra’

rispetto ad un asse perpendicolare massa totale M , raggio R

il problema e’ bidimensionale

al piano del disco

avremo a che fare con come variabili

2 1

n

z i i

i

I m r

=

= ∑

un integrale doppio

dove

r

e’ la distanza dall’asse del disco

vista dall’alto

z

dr

r

R

utilizziamo le coordinate dividiamo il disco in corone concentriche infinitesime (anelli) di raggio

r

lo spessore del disco e’ trascurabile

con

0 < < r R

suddividiamo ulteriormente la la corona in aree infinitesime

dSdr dldl = rd ϕ

dSrdr d ϕ

dmdr

rdl

R

dS

dϕ

polari piane

(2)

2

I

z

= ∫ r dm

dm =σdS

2

r σ rdr d ϕ

∫∫

ma r e ϕ sono indipendenti tra loro e l’integrale doppio fattorizza dϕ

dr

r

dS

dl

R

0 ≤ ≤ r R

0 ≤ < ϕ 2 π

dS rdr dϕ

0 ≤ ≤r R 0 ≤ <ϕ 2π

r dr d

3

σ ∫∫ ϕ

2 3

0 0

R π

r drd σ ∫ ∫ ϕ

3 2

0 0

R

r dr

π

d

σ ∫ ∫ ϕ

3

2 πσ ∫

0R

r dr 2

4

4 R

= πσ 1

4

z

2

I = πσ R

4

2

1

z

2

I R M π R

= π

1

2 z

2

I = MR

S

=

π R

2

in conclusione il momento d’inerzia del disco

e dato che la massa

M σ

=

S

la superficie del disco e’

Determinazione di σ :

per cui

rispetto all’asse z e’ :

e’ distribuita in maniera uniforme

2

M π R

sul disco =

e

costante

σ =

4 0

2 1

4 r

R

πσ

(3)

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