189 Capitolo 14 Interazione radiazione-materia: i neutroni

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Capitolo 14

Interazione radiazione-materia: i neutroni

14.1 Interazione dei neutroni con la materia

Poiché il neutrone ha carica nulla esso non interagisce elettricamente con gli elettroni dell’atomo, sa subisce solo interazioni nucleari con i nuclei della materia attraversata. I principali tipi di interazione neutrone-nucleo sono i seguenti:

14.2 Diffusione elastica

In questo processo il neutrone urta il nucleo e viene diffuso secondo le leggi della dinamica dell’urto. Nella trattazione non relativistica dell’urto tra neutrone e nucleo, considerati un sistema isolato, si conservano quantità di moto ed energia cinetica. Il neutrone non eccita il nucleo, che generalmente era e rimane nel suo stato fondamentale. Tali reazioni si indicano con X(n,n)X o semplicemente con (n,n).

A bassa energia la sezione d’urto è costante. Essa vale:

σs = 4⋅π⋅R²

dove R è il raggio del nucleo. In prima approssimazione dipende quindi dall’elemento come A^2/3. Dopo questa zone costante la sezione d’urto comincia a decrescere, ma si incontra una regione di risonanze, dovute alla formazione del nucleo composto. In figura 14.1 è riportata la sezione d’urto nel caso del ¹²C. Per nuclei più pesanti la regione delle risonanze si sposta ad energie più basse: per esempio nel caso dello

238U la zona delle risonanze comincia a 6 eV e finisce intorno ad 1 keV.

Fig 14.1 sezione d’urto di interazione neutroni -¹²C

190

14.3 Diffusione inelastica

Questo processo è identico al precedente eccetto che il nucleo è lasciato in uno stato eccitato e quindi decadrà successivamente emettendo in genere un fotone. Il processo si indica con X(n,n’)X^*. Questo processo ha una soglia, che coincide con l’energia del primo stato eccitato del nucleo e che diminuisce all’aumentare di A. Per il ¹²C questa soglia è pari a 4.43 MeV, mentre nello ²³⁸U essa scende a soli 44 keV.

Al di sopra della soglia, l’andamento della sezione d’urto è simile a quello della diffusione elastica.

14.4 Cattura radiativa

In questo processo il neutrone è catturato dal nucleo. Il nucleo si trova in uno stato eccitato e decadrà emettendo uno o più fotoni. Molto spesso il nucleo ottenuto, anche dopo essere decaduto al suo stato fondamentale, è instabile per decadimento beta. A bassa energia la sezione d’urto di questo processo ha il tipico andamento 1/v (ossia 1/ E ) e si presenta quindi come una retta di pendenza –½ in scala bi- logaritmica. Presenta risonanze nello stesso intervallo energetico delle risonanze della diffusione elastica (e anche ad energie maggiori) poi, al di sopra della zona delle risonanze decade velocemente e con continuità. Nella figura 14.2 è riportata la sezione d’urto per il ¹⁹⁷Au.

Fig 14.2 sezione d’urto di cattura (n,γ) su ¹⁹⁷Au

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14.5 Reazioni con emissione di particelle cariche

In questo caso il neutrone viene assorbito e come risultato possono essere emessi protoni, particelle alfa, ecc.ecc. Tali processi si schematizzano con (n,p), (n,α), e così via. In questo caso la sezione d’urto dipende molto da reazione a reazione.

L’andamento più tipico si ha per le reazioni (n,α), quale ad esempio la ¹⁰B (n,α) ⁷Li e

6Li (n,α) ³H dove si ha un vasto intervallo energetico di andamento 1/v (lineare in carta logaritmica). Nella figura 14.3 è riportata appunto la sezione d’urto della reazione ¹⁰B (n,α) ⁷Li.

14.6 Reazioni con emissione di neutroni

In questo caso, a seguito dell’assorbimento del neutrone, il nucleo può emettere due o più neutroni. Si parla allora di reazioni (n,2n), (n,3n). Esempi tipico sono:

n + ²H → 2n + 2p oppure n + ⁹Be → 2n + 2α

In entrambi i casi il neutrone appartenente al nucleo era già di per sé poco legato.

Fig 14.3 sezione d’urto della reazione ¹⁰B (n,α) ⁷Li

192

14.7 Fissione

Il neutrone urta contro un nucleo pesante e lo spezza in due frammenti, come abbiamo visto diffusamente nel capitolo 9.

14.8 Interazione dei neutroni con la materia

Da quanto visto precedentemente, la sezione d’urto totale (cioè la somma delle diverse sezioni d’urto elencate) per basse energie del neutrone si può esprimere con la formula approssimata:

E R C

4 ²

tot = π +

σ (1)

Ad energie superiori si incontra la zona delle risonanze dovute ai processi di scattering elastico e inelastico e alla cattura radiativa. Ad energie ancora più alte la sezione d’urto torna ad avere un andamento più regolare e velocemente decrescente con l’energia.

Attenuazione dei neutroni

Sia N0 il numero di neutroni che incidono su un materiale e n(x) il numero di neutroni che non hanno interagito dopo aver attraversato uno spessore x. La variazione infinitesima dN(x) nel tratto compreso tra x e x+dx risulta data dall’espressione:

dN = - Σt⋅N(x)⋅dx

dove il fattore di proporzionalità Σt (coefficiente di attenuazione) rappresenta come nel caso dei fotoni la probabilità di interazione per unità di percorso e si chiame sezione d’urto macroscopica. Anche in questo caso si definisce un libero cammino medio dato da: λ = 1/Σt.

L’integrazione fornisce la solita espressione:

N(x) = N0⋅exp( - Σt⋅x).

La sezione d’urto macroscopica è legata alle sezioni d’urto microscopiche σj relative ai vari processi di interazione dalla seguente espressione:

∑

⋅

= Σ

j j

t N

dove N rappresenta il numero di nuclei per unità di volume.

Se un mezzo omogeneo contiene N1 nuclei per unità di volume di tipo 1, N2 nuclei per unità di volume di tipo 2 e così via, si scriverà invece:

∑ ∑

= = 









 σ

=

Σ ^{nelem interaz}

1 i

n 1 j ij

t Ni

dove σij rappresenta la sezione d’urto relativa all’interazione di tipo “j” (scattering elastico, inelastico, cattura, fissione,….) con il nucleo di tipo “i”.

Dopo quanto detto precedentemente, e dalla relazione approssimata (1) si deduce che la sezione d’urto (ossia la probabilità) di interazione dei neutroni con la materia aumenta al diminuire della loro energia. Una tecnica usata nella pratica per

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assorbire i neutroni (per esempio nel progetto di una schermatura) è quella di rallentarli mediante scattering elastico con materiali leggeri e poi assorbirli (e quindi eliminarli) tramite qualche razione di cattura (n,γ) o, meglio, (n,α): in quest’ultimo caso non vengono prodotti fotoni, difficili da schermare, ma particelle α facilmente arrestabili.

14.9 Energia perduta dai neutroni nell’urto elastico

Dalla conservazione della quantità di moto risulta: p = p’ + P

dove p e p’ rappresentano la quantità di moto del neutrone prima e dopo l’urto e P il rinculo del nucleo.

Analizzando la figura 14.4 si ricava:

P² = p² + p’² -2⋅p⋅p’⋅cosϑ (2)

Dalla conservazione dell’energia cinetica:

M 2

P m 2

' p m 2

p² = ² + ² , avendo indicato con m e M rispettivamente la massa del neutrone e del nucleo bersaglio. Scrivendo, con una lieve approssimazione: A = M/m si ha:

P² = A⋅(p² – p’²)

Che, sostituito nella (2) fornisce le relazione tra p e p’, che scriviamo nel seguente modo:

1 A

sin A cos

p '

p ^{2 2}

+



 

 ϑ+ − ϑ

= (3)

dove abbiamo ovviamente considerato la sola soluzione positiva.

Se indichiamo con T e T’ l’energia cinetica del neutrone prima e dopo l’urto, esse sono ovviamente legate dalla relazione:

( )

(

(

) )

1 A ' T

T ϑ+ − ϑ

= +

La figura 14.5 rappresenta l’andamento del rapporto p’/p in funzione dell’angolo ϑ per alcuni valori di A. Risulta evidente come solo nuclei leggeri (idrogeno e deuterio) sono in grado di degradare significativamente l’energia del neutrone incidente, e questo avviene per angoli di scattering all’indietro. Dalla figura si vede che nel solo

E

,P E’,P’

E, p ϑ

ϕ

Fig. 14.4 il diagramma dei momenti nell’urto elastico

194

caso di un urto con l’idrogeno, per la meccanica classica (essendo le due masse uguali) ϑmin = π /2

In termini di energia cinetica, per ϑ = π abbiamo:

( )

A 1 T A

T '

T _min^' ²=α⋅



 



 +

⋅ −

=

= π dove α è detto parametro di collisione.

Dalla tabella 14.1 che segue appare come materiali leggeri siano estremamente più convenienti quando si vogliono rallentare i neutroni

nuclide A α = (A-1)²/(A+1)²

H 1 0

2H 2 0.111

9Be 9 0.640

12C 12 0.716

16O 16 0.779

23Na 23 0.840

56Fe 56 0.931

238U 238 0.983

Tab. 14.1

Fig. 14.4 andamento del rapporto p’/p in funzione dell’angolo di scattering per vari valori di A

195

Tab. 14.2

Tab. 14.3

196

Nelle tabelle 14.2-6 riportate sono raccolti molti dati utili per la soluzione dei problemi relativi all’interazione dei neutroni con la materia. Nelle tabelle σa

rappresenta la sezione d’urto di assorbimento, cioè la somma delle sezioni d’urto dei canali (n,γ), (n,p), (n,α) fissione, ecc.; σs rappresenta invece la sezione d’urto di scattering (elastico ed inelastico). Le sezioni d’urto sono calcolate per neutroni termici (En= ₄₀¹ eV = 0.026 eV)

Tab. 14.4

Tab. 14.5

197

Esercizio 1

Calcolare il cammino libero medio di neutroni termici in sodio.

Dalle tabelle risulta:

σtot = σa + σs = 3.73 barn = 3.73⋅10^-24 cm² N = 0.02541⋅10²⁴ atomi/cm³

Σt = Σa + Σs = N⋅(σa + σs) = N⋅σtot = 0.0948 cm^-1 λ = 1/Σt = 10.55 cm

Esercizio 2

Le sezioni d’urto di assorbimento per neutroni termici (E 0.026 eV) in ²³⁵U e ²³⁸U valgono rispettivamente 680.8 barn e 2.70 barn.

Tab. 14.6

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Calcolare Σa per l’Uranio naturale per neutroni termici ed il cammino libero medio.

Detta ϑi la frazione in massa dello i-esimo isotopo di peso atomico Ai risulta che:

∑

= _iA_i

A . Il numero di nuclei per unità di volume è al solito:

∑

ρ =

=

i i 0

0 N A

N A

N ,

dove N0 è il numero di Avogadro e ρ la densità dell’Uranio naturale (ρ =19.1 g/cm³).

Il numero di nuclei di tipo “i” per unità di volume allora risulta essere:

∑

= ϑ

=

i i 0 i i

i N N A

N

Sapendo che per l’Uranio si ha: ϑ235 = 0.72 % e ϑ238 = 99.27 %, sostituendo i valori numerici si ottiene:

3 20 3

23 3 i

i 0 235

235 3.4810 cm

238 9927 . 0 235 10 2 . 7

10 2 . 7 1 . 10 19

A 6 N

N ₋ ⁻ = ⁻

⋅ +

⋅ ⋅ ϑ =

ϑ

= ρ

∑

3 22 3

23 i

i 0 238

238 4.7810 cm

238 9927 . 0 235 10 2 . 7

9927 . 0 1 . 10 19

A 6 N

N ₋ = ⁻

⋅ +

⋅ ⋅ ϑ =

ϑ

= ρ

∑

Σa = N235⋅σ235 + N238⋅σ238 = 0.367 cm^-1. λa = 1/Σa = 2.72 cm

Esercizio 3

Un neutrone di energia Tn =1 MeV è diffuso elasticamente ad un angolo ϑ = 45°

nell’urto con un nucleo di deuterio. Calcolare l’energia del neutrone diffuso e l’energia del nucleo che rincula.

Dalla formula:

( )

( (

) )

N

N' cos A sin

1 A

T T ϑ+ − ϑ

= +

con Tn =1 MeV, A = 2 e ϑ = 45°, si ricava:

T’n = 0.738 MeV. Poiché inoltre non vi è alcun cambio nelle masse a riposo:

TA= Tn – T’n = 0.262 MeV Esercizio 4

Il valore della sezione d’urto di cattura di neutroni termici da parte dell’idrogeno è pari a 0.332 barn. Quanto vale la sezione d’urto per neutroni di energia cinetica pari ad 1 eV ?

Poiché σ ∝ 1/v e quindi σ ∝ 1/ E , essendo l’energia termica pari a 0.026 eV, avremo:

σ(1 eV) = σ(0.026 eV)⋅

1 026 .

0 = 0.053 barn

199

Esercizio 5

Calcolare il libero cammino medio di neutroni in grafite alla energia di 1 eV, 1 keV ed 1 MeV. Le ripettive sezioni d’urto sono:

σ(1 eV) = σ(1 keV) = 4.8 barn ; σ(1 MeV) = 2.6 barn Σ = N⋅σtot. λ = 1/Σ = 1/( N⋅σtot)

La densità della grafite è: ρ = 1.6 g/cm³. N A

N = ₀ ρ= 0.08⋅10²⁴ cm^-3. λ(1 eV) = λ(1 keV) = 2.6 cm λ(1 MeV) = 4.8 cm

Esercizio 6

Un neutrone di energia cinetica pari ad 1 MeV urta elasticamente un nucleo di ¹²C inizialmente fermo e viene diffuso ad un angolo ϑ = 90°. Calcolare l’energia del neutrone dopo l’urto, l’energia del nucleo che rincula e l’angolo di rinculo.

(

)

( (

) )

'

N cos A sin

1 A

T T ϑ+ − ϑ

= +

( )

( )

2 N '

N A 1

1 T A

T +

= − = TN⋅ ²₂ 13

1

12 − = 0.846 MeV

TA = TN – T’N = 0.154 MeV ϕ

⋅

=p cos p_{N A}

A N A

A N N A

N

T 12

T T

m 2

T m 2 p

cos p

= ⋅

=

=

ϕ 

 





= ⋅













= ⋅

ϕ 12 0.154

acos 1 T

12 acos T

A

N = 42.6°

Esercizio 7

Un fascio monoenergetico di neutroni avente un flusso Φ = 4⋅10⁴ neutroni/cm²/s urta un bersaglio di area a = 1 cm² e spessore x = 0.1 cm che contiene N = 0.048 atomi/cm³. se la sezione d’urto totale di interazione vale σ = 4.5 barn, calcolare il numero di neutroni che interagiscono al secondo con il bersaglio.

P’

p

P

Fig. 14.6 diagramma dei momenti

200

Y = σ⋅Φ⋅a⋅N⋅x = 0.86⋅10³ s^-1

Avremmo anche potuto calcolare l’intensità di neutroni I(x) che non interagiscono attraversando il bersaglio di spessore x:

I(x) = I0⋅exp(-Σx), dove I0 = Φ⋅a è l’intensità totale di neutroni che incide sul bersaglio. Per differenza, l’intensità dei neutroni che interagiscono è data da:

Y = ∆I = I0 – I(x) = I0⋅(1-exp(-Σx).

Σx = N⋅σ⋅x = 2.16⋅10^-3 << 1.

Allora: Y = I0⋅(1-exp(-Σx) ≈ I0⋅(1 – 1 + Σx) = I0Σx = Φ⋅a⋅N⋅σ⋅x