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3. A = R +× R, β = 6; integrando da A a B sull’asse delle ascisse si ottiene 2(cos 1 − cos 9).

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(1)

ANALISI MATEMATICA II- 5 febbraio 2010.

Il numero del compito `e dato dal dato di Cauchy dell’esercizio 7.

COMPITO 1 1. α > 1 7 .

2. m = 0 sui punti della retta di equazione y = 2x, non ammette massimo assoluto.

3. A = R + × R, β = 6; integrando da A a B sull’asse delle ascisse si ottiene 2(cos 1 − cos 9).

4. −4π

5. r = 7, converge uniformemente in [−7, 7] per il teorema di Abel, f (x) = x 49

2

− log(1 + x 49

2

).

6.

³

1 + √ t+1 1

´

y arctan(y + 2) `e C ∞ in ] − 1, +∞[×R ⇒ ∃! sol. locale ∀ y 0 ∈ R; sublineare, quindi esistenza globale su I =] − 1, +∞[. Sol. stazionarie: y = 0, y = −2. Per y 0 > 0 soluzione u crescente in I e lim

t→+∞ u(t) = +∞; per −2 < y 0 < 0: u decrescente lim

t→+∞ u(t) = −2; per y 0 < −2: u crescente lim

t→+∞ u(t) = −2.

7. y(t) = t √ 2t − 1.

8. 4.

COMPITO 2 1. α > 1 6 .

2. m = 0 sui punti della retta di equazione y = 3x, non ammette massimo assoluto.

3. A = R + × R, β = 9; integrando da A a B sull’asse delle ascisse si ottiene 3(cos 1 − cos 9).

4. −6π

5. r = 6, converge uniformemente in [−6, 6] per il teorema di Abel, f (x) = x 36

2

− log(1 + x 36

2

).

6.

³

1 + √ t+1 1

´

y arctan(y + 3) `e C ∞ in ] − 1, +∞[×R ⇒ ∃! sol. locale ∀ y 0 ∈ R; sublineare, quindi esistenza globale su I =] − 1, +∞[. Sol. stazionarie: y = 0, y = −3. Per y 0 > 0 soluzione u crescente in I e lim

t→+∞ u(t) = +∞; per −3 < y 0 < 0: u decrescente lim

t→+∞ u(t) = −3; per y 0 < −3: u crescente lim

t→+∞ u(t) = −3.

7. y(t) = t √ 5t − 1.

8. 8.

COMPITO 3 1. α > 1 5 .

2. m = 0 sui punti della retta di equazione y = 4x, non ammette massimo assoluto.

3. A = R + × R, β = 12; integrando da A a B sull’asse delle ascisse si ottiene 4(cos 1 − cos 9).

4. −8π

(2)

5. r = 5, converge uniformemente in [−5, 5] per il teorema di Abel, f (x) = x 25

2

− log(1 + x 25

2

).

6.

³

1 + √ t+1 1

´

y arctan(y + 4) `e C ∞ in ] − 1, +∞[×R ⇒ ∃! sol. locale ∀ y 0 ∈ R; sublineare, quindi esistenza globale su I =] − 1, +∞[. Sol. stazionarie: y = 0, y = −4. Per y 0 > 0 soluzione u crescente in I e lim

t→+∞ u(t) = +∞; per −4 < y 0 < 0: u decrescente lim

t→+∞ u(t) = −4; per y 0 < −4: u crescente lim

t→+∞ u(t) = −4.

7. y(t) = t √

10t − 1.

8. 12.

COMPITO 4 1. α > 1 4 .

2. m = 0 sui punti della retta di equazione y = 5x, non ammette massimo assoluto.

3. A = R + × R, β = 15; integrando da A a B sull’asse delle ascisse si ottiene 5(cos 1 − cos 9).

4. −10π

5. r = 4, converge uniformemente in [−4, 4] per il teorema di Abel, f (x) = x 16

2

− log(1 + x 16

2

).

6.

³

1 + √ t+1 1

´

y arctan(y + 5) `e C ∞ in ] − 1, +∞[×R ⇒ ∃! sol. locale ∀ y 0 ∈ R; sublineare, quindi esistenza globale su I =] − 1, +∞[. Sol. stazionarie: y = 0, y = −5. Per y 0 > 0 soluzione u crescente in I e lim

t→+∞ u(t) = +∞; per −5 < y 0 < 0: u decrescente lim

t→+∞ u(t) = −5; per y 0 < −5: u crescente lim

t→+∞ u(t) = −5.

7. y(t) = t √

17t − 1.

8. 16.

COMPITO 5 1. α > 1 3 .

2. m = 0 sui punti della retta di equazione y = 6x, non ammette massimo assoluto.

3. A = R + × R, β = 18; integrando da A a B sull’asse delle ascisse si ottiene 6(cos 1 − cos 9).

4. −12π

5. r = 3, converge uniformemente in [−3, 3] per il teorema di Abel, f (x) = x 9

2

− log(1 + x 9

2

).

6.

³

1 + √ t+1 1

´

y arctan(y + 6) `e C ∞ in ] − 1, +∞[×R ⇒ ∃! sol. locale ∀ y 0 ∈ R; sublineare, quindi esistenza globale su I =] − 1, +∞[. Sol. stazionarie: y = 0, y = −6. Per y 0 > 0 soluzione u crescente in I e lim

t→+∞ u(t) = +∞; per −6 < y 0 < 0: u decrescente lim

t→+∞ u(t) = −6; per y 0 < −6: u crescente lim

t→+∞ u(t) = −6.

7. y(t) = t √

26t − 1.

8. 20.

(3)

COMPITO 6 1. α > 1 2 .

2. m = 0 sui punti della retta di equazione y = 7x, non ammette massimo assoluto.

3. A = R + × R, β = 21; integrando da A a B sull’asse delle ascisse si ottiene 7(cos 1 − cos 9).

4. −14π

5. r = 2, converge uniformemente in [−2, 2] per il teorema di Abel, f (x) = x 4

2

− log(1 + x 4

2

).

6.

³

1 + √ t+1 1

´

y arctan(y + 7) `e C ∞ in ] − 1, +∞[×R ⇒ ∃! sol. locale ∀ y 0 ∈ R; sublineare, quindi esistenza globale su I =] − 1, +∞[. Sol. stazionarie: y = 0, y = −7. Per y 0 > 0 soluzione u crescente in I e lim

t→+∞ u(t) = +∞; per −7 < y 0 < 0: u decrescente lim

t→+∞ u(t) = −7; per y 0 < −7: u crescente lim

t→+∞ u(t) = −7.

7. y(t) = t √

37t − 1.

8. 24.

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