Analisi Matematica 1 2 Febbraio 2015 COMPITO 1 1. Sia dato il numero complesso z = e

Analisi Matematica 1 2 Febbraio 2015 COMPITO 1

1. Sia dato il numero complesso

z = e^4i⇡(1 + i)³⁰ (1 i)²⁰ . L’insieme delle sue radici cubiche `e dato da

Risp.: A : {2^7/3e^⇡6i, 2^7/3e^65⇡i, 2^7/3i} B : {2^5/3e^⇡4i, 2^5/3e^54⇡i, 2^5/3i} C : {2^5/3e^⇡6i, 2^5/3e^56⇡i, 2^5/3i} D : {e^⇡6i, e^56⇡i, i}

2. Sia ↵2 R. Il limite

n!+1lim [p

n²+ 3 n] cos n + 3n^↵ pn⁵+ 3 + ln n vale

Risp.: A : 0 per ogni ↵ B : 3 se ↵ = 5/2, +1 se ↵ > 5/2, 0 se ↵ < 5/2 C : 3 se ↵ = 5/2, +1 se ↵ < 5/2, 0 se ↵ > 5/2 D : 3 se ↵ = 5/2, +1 se ↵ 6= 5/2

3. Il limite

x!+1lim

⇥x²ln(3 + x) x²ln(x) 3x⇤

vale

Risp.: A : ⁹₂ B : 9 C : 0 D : 1

4. Sia ↵2 R. L’integrale improprio Z +1

0

[e^2x 1]^↵ sinh(2x) dx converge se e solo se

Risp.: A : ↵ > 0 B : ↵  1 C : 0  ↵ < 1 D : 0 < ↵ < 1

5. Sia f :R ! R data da f(x) = e^3x. Allora il polinomio di Taylor di ordine 2 con centro in x = 1

`e dato da

Risp.: A : e³+³₂e³(x 1)+₄⁹e³(x 1)² B : e³+3e³(x 1)+⁹₂e³(x 1)² C : e³+3e³x+⁹₂e³x² D : 3e³(x 1) +⁹₂e³(x 1)²

6. La primitiva F (x) della funzione

f (x) = cos(ln x) tale che F (1) = 1 `e data da

Risp.: A : ^x₂[cos(ln x) + sin(ln x)] + ¹₂ B : ^x₂[cos(ln x) sin(ln x)] + ¹₂ C : ^x₂²[cos(ln x) sin(ln x)] + ¹₂ D : ^x₂[1 + sin(ln x)] + ¹₂

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰ 5y⁰ 6y = 0 y(0) = 0

y⁰(0) = 7 Allora ˜y(1) vale

Risp.: A : e⁶+ e ¹ B : e⁶ 2e ¹ C : e⁶ e ¹ D : e⁶

8. Sia data la funzione

f (x) = 3 ln

✓sin x + 1 sin x + 2

◆

+ 5

sin x + 2 Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {³₂⇡ + 2k⇡, k2 Z} V F (b) lim_x!3

2⇡f (x) = +1 V F

(c) f ammette asintoto orizzontale per x! +1. V F (d) f `e crescente su [0,^⇡₆][ [^⇡₂,⁵₆⇡][]³₂⇡, 2⇡] V F

(e) x = ^⇡₂ `e punto di minimo relativo V F (f) x = <sup>5</sup><sub>6</sub>⇡ `e punto di massimo assoluto V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.