Analisi Matematica 1 2 Febbraio 2018 COMPITO 1 1. Sia dato il numero complesso z = p3 + i 1

Analisi Matematica 1 2 Febbraio 2018 COMPITO 1

1. Sia dato il numero complesso

z =

p3 + i 1 ip

3

!22

Allora

Risp.: A :|z| = 1 e Arg(z) = {2k⇡ : k 2 Z} B : |z| = 2 e Arg(z) = {2k⇡ : k 2 Z}

C : |z| = 1 e Arg(z) = {^⇡₂ + 2k⇡ : k2 Z} D : |z| = 1 e Arg(z) = {⇡ + 2k⇡ : k 2 Z}

2. Il limite

n!+1lim

"r 1 + 1

n cos1 n

#  1 n + 3

1 n log(n³+ 2) log(n³+ 1) vale

Risp.: A : ³₂ B : +1 C : ²₃ D : 0

3. Il limite

xlim!0⁺

1 + log r

1 +sin(x²) x e^x/2 sin(3x) arctanx

3 e ^7/x vale

Risp.: A : ¹₄ B : 1 C : ³₈ D : ¹₈

4. Sia ↵2 R. L’integrale improprio Z ₊₁

0

x sin x x^3↵ dx converge se e solo se

Risp.: A : ²₃ < ↵ ⁴₃ B : ²₃ < ↵ < ⁴₃ C : ↵ > ⁴₃ D : per nessun valore di ↵

5. Siano ↵2 R e f : [0, ⇡] ! R definita da

f (x) = 8>

<

>:

(2x ⇡)



tan x + cos

✓ 1

2x ⇡

◆

se x6= ⇡ 2,

↵ se x = ⇡

2. Allora f `e continua se e solo se

Risp.: A : ↵ = 1 B : ↵ = 1 C : per nessun valore di ↵ D : ↵ = 2

6. L’integrale

Z ⇡/2 0

cos x 8 + cos²xdx vale

Risp.: A : ¹₆log 2 B : arcsin^{2 1}₂ C : ¹₆arctan 2 D : arccos¹₂

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(2y⁰+ 2 sin(x)y = 3e^{cos x}log x y ^⇡₂ = 0.

Allora lim_x!0+y(x) vale˜

Risp.: A : 1 log^⇡₂ e B : 1 C : ^e⇡₂ 1 log^⇡₂ D : ^3e⇡₄ 1 log^⇡₂

8. Sia data la funzione

f (x) = q

(e^{x 1} 1)²+ (x 1)². Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {1} V F (b) lim_{x! 1}f (x) = +1 V F

(c) y = x `e asintoto obliquo per x! 1 V F (d) x = 1 `e un punto angoloso V F

(e) f `e crescente su ] 1, 1] V F (f) f ([0, +1[) = [0, +1[ V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.