4) METODO AGLI ELEMENTI DI CONTORNO 4.1) Introduzione

(1)

4) METODO AGLI ELEMENTI DI CONTORNO 4.1) Introduzione

Si considera l’equazione integrale di frontiera o del contorno

Γ

ottenuta nel metodo diretto (eq.

( ^{28.2 '} ) del paragrafo ^3.1 ) ^):

( ) ( ) ( ) (

^*

^, ) ( ) ( ) (

^*

^, ) ( )

c

_Γ

u

_Γ

q u

_Γ

d u q

_Γ

d ξ

_Γ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ³⁵

Invece di cercare soluzioni analitiche della ( ) ³⁵ per particolari condizioni al contorno e per particolari geometrie, è possibile ridurre questa equazione integrale in una forma algebrica facilmente risolvibile per via numerica. Il metodo, che viene qui illustrato, consta di varie fasi:

I) Si discretizza il contorno (o frontiera)

Γ

in una serie di elementi (per esempio segmenti, archi di circonferenza, parabole, ecc) e si individuano dei punti del contorno (o della frontiera)

Γ

nei quali dovrà essere soddisfatta l’eq. ( ) ³⁵ ^{. Tali}

punti vengono detti nodi.

II) Si discretizza l’equazione integrale di contorno ( ) ³⁵ , imponendo che essa venga soddisfatta nei nodi del contorno (o della frontiera)

Γ

.

III) Si assume che sul contorno o frontiera

Γ

la funzione incognita u e la sua derivata normale q siano variabili ed abbiano un andamento descritto da funzioni interpolanti note.

IV) Tenendo conto delle condizioni al contorno e dell’ipotesi formulata al passo II), si risolvono le equazioni ottenute e pertanto si ottengono i valori delle incognite sul contorno. In genere queste equazioni vengono risolte mediante una formula numerica di quadratura.

Successivamente si possono ricavare i valori che l’incognita u assume nei punti interni del dominio

Ω

.

Questo metodo, che si basa sulla definizione dei nodi, nei quali viene imposta l’equazione da risolvere, è detto metodo di collocazione.

4.2) Problemi bidimensionali. Approssimazione del metodo agli elementi di contorno

Nel presente paragrafo viene presentata una applicazione del metodo agli elementi di contorno per problemi bidimensionali. Per problemi tridimensionali il procedimento è analogo.

Dunque si considera un dominio bidimensionale

Ω

, delimitato dal contorno

Γ

, costituito da due porzioni,

Γ₁

e

Γ₂

. Si vuole determinare la soluzione dell’equazione di Laplace applicando il metodo agli elementi di contorno con la tecnica di collocazione. Pertanto il problema che si intende risolvere, consiste nel determinare ^{u x} ( ) che soddisfa le seguenti relazioni:

^∇

²

^u ( ) ^x ⁼ ⁰ ^{∀ ∈Ω} ^x ( ^35.1 )

(2)

^{cc u} ^. ( ) ( ) ^x ⁼ ^u ^x ^{∀ ∈Γ} ^x

¹

( ^35.2 )

^{cc q} ^. ( ) ( ) ^x ⁼ ^q ^x ^{∀ ∈Γ} ^x

²

( ^35.3 )

dove: ( ) ( )

( )

q u

n

=∂

∂

x x

x , essendo ^{n x} ( ) la normale esterna a

Γ

in x ; ^{u x} ( ) ^e ^{q x} ( ) sono funzioni assegnate note.

Su

Γ₁

sono imposte condizioni al contorno di Dirichlet, mentre su

Γ₂

sono imposte condizioni al contorno di Neumann,

Il primo passo per l’applicazione del metodo di collocazione consiste nella discretizzazione del contorno

Γ

e nella scelta dei nodi. In generale si approssima il contorno

Γ

con una spezzata e lo si suddivide in una serie di segmenti che vengono detti elementi di contorno. Si fissano poi i nodi, nei quali vengono valutati i valori della funzione incognita. I nodi possono trovarsi al centro degli elementi di contorno, oppure agli estremi degli elementi di contorno, oppure contemporaneamente al centro ed agli estremi degli elementi di contorno (figura 1).

nodi al centro degli elementi di contorno

nodi agli estremi degli elementi di contorno

nodi al centro ed agli estremi degli elementi di contorno

Figura 1: Diverse tipologie di elementi di contorno.

Nel caso in esame si procede nel seguente modo:

(3)

1) si suddivide il contorno

Γ

complessivamente in N elementi, di cui N

₁

discretizzano

Γ₁

e N

2

discretizzano

Γ₂

;

2) si pongono i nodi al centro di ogni elemento di contorno.

Le operazioni successive sono le seguenti:

3) si considera l’equazione al contorno ( ) ³⁵ ottenuta dal metodo diretto nella riformulazione in forma debole dell’equazione di Laplace:

( ) ( ) ( ) (

^*

^, ) ( ) ( ) (

^*

^, ) ( )

c

_Γ

u

_Γ

q u

_Γ

d u q

_Γ

d ξ

_Γ

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∀ ∈Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ³⁶

4) si applica la ( ) ³⁶ al generico nodo i

^-esimo

, ottenendo:

( ) ( )

_i _i

( ) ( ) ( )

^* _i

^, ( ) ( ) ( )

^* _i

^, 1, 2,3,....,

c u q u d u q d i N

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ =

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ³⁷

dove: ^u

^*

( )

ⁱ

^, ² ¹ ^π ^ln ^r ( ) ¹

ⁱ

^,

 

=

   

 

ξ ξ ξ ξ è il potenziale generato da una sorgente uniforme e lineare che interseca ortogonalmente il dominio bidimensionale

Ω

in ξ ;

r ξ ξ

(

i^,

) rappresenta la distanza dal punto di contorno ξ di un punto ξ che,

_i

nell’integrazione, percorre tutto il contorno

Γ

;

( ) ¹

i

2 c ξ

=

infatti il contorno

Γ

è stato approssimato con una spezzata costituita da tanti segmenti rettilinei, al centro dei quali sono stati collocati i nodi e quindi ogni nodo appartiene ad un tratto rettilineo.

L’integrale lungo

Γ

che compare nella ( ) ³⁷ può essere scomposto nella somma degli integrali lungo i vari elementi di contorno e, tenendo conto di ciò, la ( ) ³⁷ può essere posta nella seguente forma più compatta:

( ) ( ) ( )

^*

( ) ( ) ( )

1 1

, , 1, 2, 3,....,

1, 2, 3,....,

j

N N

i i i i

j j

c u q u d u q d i N

j N

= Γ =

= Γ − Γ =

=

∑ ∫ ∑ ∫

j

* Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

( ) ³⁸

dove:

Γ_j

individua il j

^-esimo

elemento di contorno;

^u

ⁱ

⁼ ^u ( ) ^ξ

ⁱ

è il valore della funzione incognita nel nodo i

^-esimo

del contorno;

( ) ¹

i i

2 c

=

c ξ

= ∀

i .

La ( ) ³⁸ è un’equazione integrale di contorno, che rappresenta la relazione che correla il nodo i

^-

esimo

con tutti gli elementi di contorno, compreso j

=

i .

5) Si assume che

^{u x}

( ) ^e ^q ( ) ^x siano costanti in ogni elemento ed abbiano valori uguali a

quelli che essi assumono nei nodi. Quando si fissano i nodi al centro degli elementi e si pone

che le funzioni incognite siano costanti in ogni elemento, si dice che vengono impiegati

elementi di contorno costanti. L’utilizzo di elementi costanti può comportare in generale una

discontinuità delle soluzioni di ^u ( ) ^x ^e ^q ( ) ^x nel passaggio da un elemento all’altro.

(4)

In virtù dell’ipotesi fatta, ^{u ξ} ( ) ^e ^{q ξ} ( ) , essendo costanti in ogni elemento, possono essere portati fuori dal simbolo di integrale che compare nella ( ) ³⁸ , che assume quindi la seguente espressione:

^*

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 , ,

2 , 1, 2, 3,....,

j

N N N N

i i j i j ij j ij j

j j j j

u u d q q d u G q H u

i j N

= Γ = = =

   

   

=



Γ



−



Γ



= −

   

=

∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑

j

* Γ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ɶ

( ) ³⁹

dove:

( ) ( ) ( ) ( )

*

, , 1, 2, 3,....,

j

ij i

G u d i j N

H q d i j N

Γ

= Γ =

∫

j

* Γ

ξ ξ ξ

ɶ

Al variare di i, la ( ) ³⁹ individua complessivamente un sistema di N equazioni lineari. I coefficienti G

_ij

e Hɶ

_ij

legano il nodo i

^-esimo

all’elemento di contorno j

^-esimo

. Tali coefficienti sono dati da integrali che possono essere risolti analiticamente se la soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace e la geometria del dominio sono semplici, altrimenti (è così nella maggior parte dei casi) gli integrali vengono risolti numericamente.

Si pone:

1 2

ij ij

ij

H se i j

H

H se i j



≠

=

 

+ =

  ɶ

ɶ

Quindi la ( ) ³⁹ assume la seguente forma:

1 1

1, 2,3,...,

N N

ij j ij j

j j

H u G q i N

= =

∑ ∑ ( ) ⁴⁰

La ( ) ⁴⁰ può essere riscritta in forma matriciale:

H u

=

G q ( ) ⁴¹

dove H , G sono matrici quadrate di ordine N i cui elementi sono rispettivamente i coefficienti Hɶ

ij

e G

_ij

, mentre u e q sono vettori dati dai valori di u e q nei nodi, u

_i

e q

_i

con

1, 2, 3,...,

i

=

N .

Quindi il problema iniziale (individuato dalle relazioni 35.1- 35.2 - 35.3 ) è stato ricondotto al seguente sistema:

H u

=

G q ( ) ⁴²

cc : u

_i =

u

_i

i

=

1, 2, 3,..., N ( ^42.1 )

cc : q

_i =

q

_i

i

=

1, 2, 3,..., N ( ^42.2 )

(5)

dove le condizioni al contorno ( ^42.1 ) ^e ( ^42.2 ) sono state ricavate dalle condizioni al contorno

( ^35.2 ) ^e ( ^35.3 ) imposte rispettivamente su

Γ₁

e

Γ₂

.

Il sistema è costituito da N equazioni individuate dalla ( ) ⁴² ^{, da} N valori noti di u su

¹ Γ₁

e da N

₂

valori noti di q su

Γ₂

. Quindi sono disponibili N

+

N

₁+

N

₂ =

2 N condizioni che devono essere soddisfatte, il numero delle incognite è pari a 2N (i valori di u e q sul contorno), perciò il sistema è completo.

Combinando la ( ) ⁴² e le condizioni al contorno ( ^42.1 ) ^e ( ^42.2 ) e portando a primo membro le incognite ed a secondo membro i termini noti, si ottiene il seguente sistema:

A y

=

f ( ) ⁴³

dove: A è una matrice di ordine N pienamente popolata;

y è il vettore che contiene le incognite di contorno, u e

_i

q con

_i

i

=

1, 2, 3,..., N ; f è il vettore dei termini noti.

Risolvendo il sistema ottenuto, si determinano i valori di u e q nei nodi e di conseguenza nei punti del contorno.

Calcolate le incognite sul contorno, bisogna determinare i valori di u e di q nei punti interni del dominio

Ω

. A tal fine, bisogna prendere in esame l’equazione fornita dal metodo diretto:

^u ( ) ^q ( ) ( ) ( ) ^u

^*

^, ^d ^u ( ) ( ) ( ) ^q

^*

^, ^d

Γ Γ

= ∫ Γ − ∫ Γ ∈Ω

x ξ x ξ ξ ξ x ξ ξ x ( ) ⁴⁴

Dunque si considera all’interno del dominio

Ω

un punto x

_k

nel quale si vuole calcolare u x . ( )

k

Sia ^u

^k

⁼ ^u ( ) ^x

^k

, quindi la ( ) ⁴⁴ , applicata ad x , diventa:

_k

( ) (

^*

^, ) ( ) ( ) (

^*

^, ) ( )

k k k k

u q u d u q d

Γ Γ

= ∫ ^ξ ^{x ξ} Γ ^ξ − ∫ ^ξ ^{x ξ} Γ ^ξ ^x ∈Ω ( ) ⁴⁵

Si scompongono gli integrali lungo

Γ

nella somma degli integrali definiti lungo gli elementi di contorno e si portano fuori dai simboli di integrazione ^{u ξ} ( ) ^e ^{q ξ} ( ) , essendo essi costanti in ogni elemento di contorno in virtù dell’ipotesi formulata al punto ⁵ ) del presente paragrafo. Pertanto risulta:

( ) ( ) ( ) ( )

* *

1 1

, ,

j j

N N

k k j k j k

j j

u u d q q d u

= Γ = Γ

   

   

=  Γ  −  Γ  ∈Ω

   

∑ ∫ ^{x ξ} ^ξ ∑ ∫ ^{x ξ} ^ξ ^x ( ) ⁴⁶

La ( ) ⁴⁶ può essere riscritta nel seguente modo:

x_k

Figura 2: punto interno al dominio

(6)

1 1

N N

k kj j kj j

j j

u G q H u

= =

= ∑ − ∑ ^ɶ ( ) ⁴⁷

dove:

^* ( ^, ) ( )

j

kj k

G u d

Γ

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ ^* ( ^, ) ( )

j

kj k

H q d

Γ

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ ɶ

Tutti i termini che compaiono nel secondo membro della ( ) ⁴⁷ sono noti, quindi risolvendo tale equazione si ricava ^u

^k

⁼ ^u ( ) ^x

^k

. Questo procedimento può essere ripetuto per qualsiasi altro punto interno ad

Ω

. Inoltre, derivando opportunamente l’equazione integrale e discretizzandola, si ottiene la derivata direzionale di u rispetto alla generica direzione x nel punto interno k

_l ^-esimo

:

( )

^*

(

^k

^, ) ( ) ( ) ( ) ( )

^* ^k

^,

k

l k l l

u q

u q d u d

x

_Γ

x

_Γ

x

∂ ∂



∂



= Γ − Γ ∈Ω

 

∂ ∂ ∂

  ∫ ^ξ ^{x ξ} ^ξ ∫ ^ξ ^{x ξ} ^ξ ^x ( ) ⁴⁸

E’ stato dunque calcolato tutto, ma, in realtà, per ricavare tutte le incognite, bisogna determinare gli integrali Hɶ

_ij

, G ,

_ij

Hɶ

_kj

e G . Come già osservato, tali integrali raramente possono essere risolti

_kj

analiticamente e quindi nella maggior parte dei casi è necessario fare ricorso alla risoluzione numerica. Per esempio si può adottare una formula di quadratura di Gauss-Legendre, ottenendo per i coefficienti Hɶ

_ij

, G ,

_ij

Hɶ

_kj

e G relazioni del tipo:

_kj

( ) ( ) ( )

1

* , * ,

2

j

M j

ij i m i m

m

H q d l w q i j

Γ =

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ

≅

∑ ^{x ξ}

≠

ɶ

( ) ( ) ( )

1

* , * ,

j

2

M j

ij i m i m

m

G u d l w u i j

Γ =

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ

≅

∑ ^{x ξ}

≠

( ) ( ) ( )

1

* , * ,

j

2

M j

kj k m k m

m

H q d l w q

Γ =

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ

≅

∑ ^{x ξ}

ɶ

( ) ( ) ( )

1

* , * ,

j

2

M j

kj i m k m

m

G u d l w u

Γ =

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ

≅

∑ ^{x ξ}

dove: l è la lunghezza dell’elemento di contorno j

_j ^-esimo

;

w è il valore del peso associato al punto di integrazione numerica

_m

ξ .

_m

Le formule sopra scritte possono essere impiegate per tutti gli integrali in esame eccetto i coefficienti Hɶ e

_ii

G . In tali integrali infatti il nodo appartiene all’elemento di contorno considerato

_ii

e quindi la funzione integranda presenta una singolarità per cui bisogna ricorrere a regole di integrazione di ordine superiore o, se possibile all’integrazione analitica.

Per esempio, nel caso si adottino elementi di contorno costanti, come è stata la scelta operata nel

presente paragrafo, Hɶ e

_ii

G possono essere calcolati analiticamente. Infatti:

_ii

(7)

▪ ^* ( ^, ) ( )

i

ii i

H q d

Γ

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ ɶ

( )

*

_i

,

q x ξ è la derivata di ^u ^* ( ^{x ξ}

ⁱ

^, ) rispetto alla normale ^{n ξ} ( ) ^ed ^u ^* ( ^{x ξ}

ⁱ

^, ) è data dal potenziale logaritmico generato da una sorgente lineare, unitaria ed uniforme, ossia:

( ) ( )

( )

* ,

*

_i

, u

ⁱ

q n

=∂

∂

x ξ x ξ

ξ e ^u ^* (

ⁱ

^, ) ² ¹ ^π ^ln ^r ( ¹

ⁱ

^, )

 

=

   

 

x ξ x ξ .

Poiché ^u ^* ( ^{x ξ}

ⁱ

^, ) è funzione di ^{r x ξ} (

ⁱ

^, ) , conviene porre la derivata rispetto ad ^{n ξ} ( ) nella seguente forma:

r

n r n

∂ = ∂ ∂

∂ ∂ ∂

, quindi risulta:

( )

( ) ( )

* , ,

i

,

i i

ii

i

u r

H d

r n

Γ

∂ ∂

= Γ

∂ ∂

∫ ^{x ξ} ^{x ξ} ^ξ

x ξ ξ

ɶ

x ed il generico punto ξ appartengono all’elemento

i

⁻^esimo

,

quindi r x ξ (

i

^, ) è tangente all’elemento di contorno, mentre ^{n ξ} ( ) è perpendicolare all’elemento di contorno. Perciò ^{r x ξ} (

ⁱ

^, ) ^e ^{n ξ} ( ) sono tra loro perpendicolari ed indipendenti. Pertanto

( ) ( )

, 0

r

i

n

∂ =

∂

x ξ

ξ , quindi risulta:

H ɶ

_ii =

0

∀

i

▪ ^* ( ^, ) ( )

i

ii i

G u d

Γ

=

∫ ^{x ξ}

Γ

^ξ

( ) ( ) ¹ ( ¹ ) ( )

* , ln

2 ,

i i

ii i

i

G u d d

π r

Γ Γ

 

= Γ =

   

Γ

 

∫ ^{x ξ} ^ξ ∫ _{x ξ} ^ξ

Con riferimento alla figura ( ) ⁴ , si definiscono due

ascisse curvilinee, t

₁

e t

₂

, entrambe aventi origine nel nodo i (ossia nel punto x ). Le due ascisse hanno versi di

_i

percorrenza opposti individuati in figura ( ) ⁴ dalle frecce. Sia ^t

ⁱ

( ) ^> ⁰ il valore che la variabile t

₁

assume all’estremo dell’elemento e sia ^t

ⁱ+¹

( ) > ⁰ il valore che t

₂

ha nell’altro estremo. Poiché il nodo i è posto al centro dell’elemento, allora t

_i =

t

_i₊₁

.

x ed il generico punto ξ appartengono entrambi all’elemento

i

−^esimo

, quindi:

se ξ appartiene al tratto [ ] ^t

ⁱ

^{, 0} ^{, allora} ^r

⁼

^t

¹

^, ^d

^{Γ = − = −}

^dr ^dt

¹

^;

nodo i r n

Figura 3: Elemento i-

^esimo

nodo i t

₁

t

2

i+1

t

Figura 4: Elemento i-

^esimo

(8)

se ξ appartiene al tratto [ ^0, ^t

ⁱ+¹

] , allora r

=

t

₂

, d

Γ = − = −

dr dt

₂

. Perciò:

1 1

0

1 2 1 2 1

1 0 2 0 1 0 2 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ln ln ln ln 2 ln

2 2 2 2 2

i i i i

i

t t t t

ii t

G dt dt dt dt dt

t t t t t

π π π π π

+ +

         

= −

 

+

 

=

 

+

 

=

 

         

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

¹ ¹

0

1 ln

ti

G

ii

t dt

= − ∫ π

Integrando per parti, si ottiene:

( ) ¹

ln 1 ln

b b

a a

x dx x

x

     

− =

   

+

       

∫

da cui segue:

( )

¹ ¹

0 0

1 1 1

ln 1 ln 1 ln

i ti

t

i ii

i

x t

G t dt

x t

π π π

 

       

= − =

 

+

   

=



+

  

   

   

   

∫

Quindi

1 1 ln

i ii

i

G t i

π t

   

=



+

  

∀

   

 

4.3) Condizione al contorno di Robin

Spesso nei problemi applicativi, come, per esempio, quelli di diffusione dei neutroni o quelli di conduzione del calore con fenomeni di convezione, può essere imposta una particolare condizione al contorno, detta condizione di Robin. Tale condizione individua una relazione tra la funzione incognita e la sua derivata sul contorno o sulla frontiera del dominio, pertanto può essere così formulata:

^e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x

Γ

^u x

Γ

+ ^g x

Γ

^q x

Γ

= ^d x

Γ

∀ x

Γ

dove ^u ( ) x

Γ

è la funzione incognita, ^q ( ) x

Γ

la sua derivata rispetto alla normale al contorno o alla frontiera del dominio, ^e ( ) x

Γ

, ^g ( ) x

Γ

e ^q ( ) x

Γ

sono funzioni note della posizione.

Si può osservare che la condizione al contorno di Robin generalizza le condizioni al contorno di Dirichlet e di Neumann: infatti se ^g ( ) x

Γ

= ⁰ ∀ x

Γ

, allora la condizione al contorno di Robin coincide con quella di Dirichlet, mentre se ^e ( ) x

Γ

= ⁰ ∀ x

Γ

, allora la condizione di Robin coincide con quella di Neumann.

Per impiegare la condizione di Robin nel problema di Laplace affrontato con il metodo agli

elementi di contorno, si considera l’equazione ( ) ⁴¹ ottenuta nel paragrafo precedente, a cui viene

aggiunta la condizione del contorno di Robin:

(9)

H u

=

G q

^cc ^: ^e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x

Γ

^u x

Γ

+ ^g x

Γ

^q x

Γ

= ^d x

Γ

∀ x

Γ

La condizione di Robin può essere posta in forma matriciale: infatti la si applica ai nodi degli elementi di contorno e quindi risulta:

4) METODO AGLI ELEMENTI DI CONTORNO 4.1) Introduzione