Sia V un insieme non vuoto e K un campo. Supponiamo che V sia dotato di una legge di composizione interna

Appunti di lezioni su Spazi vettoriali

0.1 Spazi vettoriali

Sia V un insieme non vuoto e K un campo. Supponiamo che V sia dotato di una legge di composizione interna

+ : V × V → V : (v

, v

) → v

+ v

chiamata somma, e di una legge di composizione esterna su K

· : K × V → V : (λ, v) → λv chiamata prodotto per uno scalare.

La terna (V, +, ·) ` e uno spazio vettoriale sul campo K se soddisfa le seguenti propriet`a:

Propriet` a della somma: (V, +) ` e un gruppo commutativo, vale a dire S

) ∀v

, v

, v

∈ V , (v

+ v

) + v

= v

+ (v

+ v

)

S

) ∃ 0 ∈ V tale che ∀v ∈ V , v + 0 = 0 + v = v S

) ∀v ∈ V , ∃ v

∈ V tale che v + v

= 0

S

) ∀v

, v

∈ V , v

+ v

= v

+ v

Propriet` a del prodotto per uno scalare:

P

) ∀λ ∈ K, v

, v

∈ V , λ(v

+ v

) = λv

+ λv

P

) ∀λ

, λ

∈ K, v ∈ V , (λ

+ λ

)v = λ

v + λ

v P

) ∀λ

, λ

∈ K, v ∈ V , (λ

λ

)v = λ

(λ

v) P

) ∀ v ∈ V , 1v = v

1

Esempi 0.1.1

1. Sia K un campo, allora lo spazio

K

:= {(x

, x

, . . . , x

) | x

∈ K, i = 1, . . . n}

munito della somma

(x

, x

, . . . , x

) + (y

, y

, . . . , y

) = (x

+ y

, x

+ y

, . . . , x

+ y

) e del prodotto per uno scalare

λ(x

, x

, . . . , x

) = (λx

, λx

, . . . , λx

)

` e uno spazio vettoriale. In particolare R

e C

sono spazi vettoriali.

Sia A = (2, i, 3), B = (−4i, 5, 2) ∈ C

abbiamo (3 +i)A − iB = (2 +2i, −1 − 2i, 9 +i) 2. (M

(R), +, ·) `e uno spazio vettoriale su R.

3. V = {P (x) = a

+ a

x + · · · + a

x

} = { polinomi di grado ≤ n} `e uno spazio vettoriale su R.

4. L’insieme delle funzioni continue su un intervallo C([a, b]) con la somma tra funzioni e il prodotto di uno scalare per una funzione ` e uno spazio vettoriale su R.

Gli elementi di uno spazio vettoriale si chiamano vettori.

Proposizione 0.1.2 Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Allora valgono le seguenti propriet` a:

1. Il vettore nullo ` e unico.

2. Per ogni v ∈ V abbiamo 0v = 0

3. Sia λ ∈ K, 0 6= v ∈ V se λv = 0 allora λ = 0.

Dim.

1. Esercizio 2. Abbiamo

0v + v = (0 + 1)v = 1v = v = 0 + v (1)

“Semplificando” v abbiamo 0v = 0.

3. Se infatti fosse λ 6= 0 potremmo scrivere λ

λv = λ

0 da cui v = 0

0.2. SOTTOSPAZI VETTORIALI 3

0.2 Sottospazi vettoriali

Definizione 0.2.1 Sia V spazio vettoriale su K, e sia ∅ 6= S ⊂ V . S si dir`a sottospazio di V se ` e uno spazio vettoriale munito delle stesse leggi di composizione interna ed esterna definite su V .

Proposizione 0.2.2 ∅ 6= S ⊂ V ` e un sottospazio vettoriale di V se e solo se i) ∀ v

, v

∈ S : v

+ v

∈ S

ii) ∀ v ∈ S, λ ∈ K : λv ∈ S

Dim. ” =⇒ ” ovvia. Proviamo ” ⇐= ”. Abbiamo che (S, +) eredita da V l’associativit` a e la commutativit` a. Dobbiamo provare che esiste l’elemento neutro e l’opposto di ogni vettore. Da ii) se poniamo λ = 0 e consideriamo un v ∈ S abbiamo che 0v = 0 ∈ S.

L’opposto di v ∈ S si ottiene considerando il fatto che (−1)v = −v (dimostrare!). Quindi (S, +) ha una struttura di gruppo commutativo. Per quanto riguarda la distributivit` a del prodotto per uno scalare rispetto alla somma, viene ereditata da V .

Osservazione. Se S ` e un sottospazio vettoriale, il vettore nullo 0 deve necessariamente appartenere a S.

Esempi 0.2.3

1. S = {(0, 0, 0), (1, 0, 0)} ⊂ R

non ` e un sottospazio di R

.

2. S = {(λ, 0, 0) | λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ C

non ` e un sottospazio di C

.

3. S = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} ⊂ R

` e un sottospazio vettoriale di R

.

4. S = {(x, y, z) | y − 2x = z − 2t = 0} ⊂ R

` e un sottospazio vettoriale di R

.

5. Dato un vettore v ∈ R

la retta r = {tv | t ∈ R} passante per l’origine `e un sot- tospazio vettoriale di R

.

6. Se x

∈ R

e v ∈ R

con v non parallelo a x

la retta r = {x

+ tv | t ∈ R} non `e

un sottospazio vettoriale di R

.

0.3 Combinazioni Lineari

Sia V spazio vettoriale su un campo K, e sia {v

, . . . v

} un sistema di p vettori di V . Si dice combinazione lineare del sistema ogni vettore v ∈ V della forma

v =

p

X

i=1

α

v

dove α

, . . . , α

sono scalari di K.

Esempi 0.3.1

1. Se v

= (1, 0, 2), v

= (3, −1, 0) il vettore v

= 3v

+ 2v

= (9, −2, 6) ` e c.l. di {v

, v

}

2. In R

consideriamo tutte le combinazioni lineari di un dato vettore v. Otteniamo la retta r = {tv | t ∈ R} passante per l’origine e di direzione v.

3. Due vettori di R

si dicono paralleli se uno ` e combinazione lineare dell’altro, ossia v

parallelo a v

se v

= λv

per qualche λ ∈ K

4. Se in R

consideriamo tutte le c.l. di due vettori non paralleli otteniamo un piano passante per l’origine π = {αv

+ βv

| α, β ∈ R, v

, v

∈ R

}

Proposizione 0.3.2 Sia V spazio vettoriale su un campo K e sia {v

, . . . , v

} sistema di vettori di V . L’insieme costituito da tutte le combinazioni lineari del sistema di vettori

S = {v ∈ V | v =

m

X

i=1

α

v

, α

, . . . α

∈ K}

` e uno sottospazio vettoriale di V .

S ` e detto sottospazio generato dal sistema {v

, . . . , v

} e si denota con span{v

, . . . , v

}.

Esercizi 0.3.3

1. Il vettore (−1, 2, 0) ` e contenuto in span{(1, 0, 1), (0, 1, 0)}?

2. Il vettore (1, 2, 4) ` e c.l. dei vettori (1, 0, 2), (0, 1, 1)?

0.3. COMBINAZIONI LINEARI 5 3. Se v

` e parallelo a v

abbiamo che uno combinazione lineare dell’altro v

= λv

per qualche λ ∈ R, quindi tutte le combinazioni lineari di {v

, v

} si riducono alle combinazioni lineari di {v

}, cio`e span{v

, v

} = span{v

}. Dimostrare.

4. Far vedere che span{(1, 0, 2), (3, −1, 0), (9, −2, 6)} = span{(1, 0, 2), (3, −1, 0)}.

0.4 Dipendenza e indipendenza di vettori

Definizione 0.4.1 (Vettori Linearmente Dipendenti) Un sistema di vettori {v

, . . . v

} si dice linearmente dipendente se esiste un sistema di scalari α

, . . . , α

non tutti nulli, tali che

α

v

+ α

v

+ · · · + α

v

= 0 (2) Definizione 0.4.2 (Vettori Linearmente Indipendenti) Un sistema di vettori {v

, . . . v

} si dice linearmente indipendente se

α

v

+ α

v

+ · · · + α

v

= 0 =⇒ α

= α

= · · · = α

= 0 (3) Esempi.

1. I vettori v

= (1, 0, 2), v

= (3, −1, 0) e v

= (9, −2, 6) sono l.d.

2. I vettori {(−1, 2 − 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} sono l.i.

Osservazione. Un vettore v 6= 0 ` e libero, in quanto λv = 0 implica che λ = 0.

Propriet` a 0.4.3 Sia {v

, . . . , v

} con p > 1 un sistema di vettori di un di uno spazio vettoriale V .

1. Se il sistema contiene il vettore nullo allora il sistema ` e l.d.

2. Il sistema ` e l.d. se e solo se almeno uno dei vettori ` e combinazione lineare degli altri.

3. Se il sistema ` e l.i. e se aggiungiamo al sistema un vettore w ∈ V che rende il sistema l.d. (cio` e il sistema {v

, · · · , v

, w} ` e l.d.) allora w ` e combinazione lineare dei vettori {v

, . . . , v

}.

4. Se il sistema ` e l.i allora non pu` o contenente il vettore nullo.

5. Se il sistema ` e l.d, ogni altro sistema che lo continente ` e l.d.

6. Se il sistema ` e l.i, ogni altro sottosistema ` e l.i.

0.4. DIPENDENZA E INDIPENDENZA DI VETTORI 7 Dim. 1. Abbiamo λ0 = 0 per qualsiasi λ ∈ K. Quindi se v

= 0 per qualche k ∈ {1, . . . , p} la combinazione lineare del sistema di vettori con gli scalari α

= · · · α

= α

= · · · = α

= 0 e α

6= 0 d` a la (2).

2. Supponiamo che v

sia combinazioni lineare di v

, . . . , v

, allora avremo che esistono α

, . . . , α

∈ K non tutti nulli tali che v

= α

v

+ · · · + α

v

che ` e equivalente a −v

+ α

v

+ · · · + α

v

= 0 cio` e la (2).

viceversa Se i vettori sono dipendenti allora esistono α

, . . . , α

∈ K non tutti nulli tali che α

v

+ · · · + α

v

= 0, poich´ e gli scalari sono non tutti nulli esiste un k ∈ {1, . . . , p}

tale che α

6= 0 allora possiamo scrivere α

v

+ · · · + α

v

= 0 ⇐⇒

α

v

= −α

v

+ · · · + α

v

+ α

v

+ · · · + α

v

⇐⇒

v

= − α

α

v

+ · · · + α

α

v

+ α

α

v

+ · · · + α

α

v

che equivale a dire che v

` e combinazione lineare degli altri vettori.

3. Poich´ e il sistema {v

, · · · , v

, w} ` e l.d. esistono α

, . . . , α

, β ∈ K non tutti nulli tali che

α

v

+ · · · + α

v

+ βw = 0. (4) Adesso β non pu´ o essere nullo, in quanto se lo fosse la (4) ci darebbe α

v

+ · · · + α

v

= 0 che, poich´ e v

, . . . , v

sono l.d, implicherebbe che α

= · · · = α

= 0 in contraddizione con il fatto che α

, . . . , α

, β debbano essere non tutti nulli. A questo punto una volta provato che β 6= 0 si procede esattamente come fatto precedentemente.

Il resto dei punti vengono lasciati per esercizio.

Esempi.

1. I vettori v

= (1, 0, 0), v

= (0, 1, 0), v

= (1, 1, 0) sono linearmente dipendenti.

Infatti v

= v

+ v

da cui v

+ v

− v

= 0 cio` e la (2).

I sistemi di vettori {v

, v

}, {v

, v

} e {v

, v

} sono sistemi l.i..

Come si pu` o notare aggiungendo al sistema di vettori l.i. {v

, v

} il vettore v

il sistema {v

, v

, v

} `e l.d. e difatti v

` e combinazione lineare di v

e v

Esercizio Siano v

= (1, 0, 2), v

= (2, 1, 3), v

= (0, 1, −1) vettori di R

. Studiare la loro dipendenza.

Si devono trovare tre scalari α

, α

, α

tali che α

v

+ α

v

+ α

v

= 0. Si deve quindi

avere (α

+ 2α

, α

+ α

, 2α

+ 3α

− α

) = (0, 0, 0) si deve cio` e risolvere il sistema







α

+ 2α

= 0 α

+ α

= 0 2α

+ 3α

− α

= 0

che ha come soluzioni α

= 2k, α

= −k, α

= k con k ∈ R per k = 1 abbiamo la soluzione α

= 2, α

= −1, α

= 1 da cui

2v

− v

+ v

= 0 quindi i tre vettori sono l.d.

Esercizio Sia C(R) lo spazio vettoriale delle funzioni continue su tutto R. Provare che

se λ

, λ

∈ R con λ

6= λ

allora le funzioni v

(x) = e

e v

(x) = e

sono l.i..

0.5. BASI E DIMENSIONE 9

0.5 Basi e dimensione

Definizione 0.5.1 Diremo che i vettori {v

, . . . , v

} generano lo spazio V o costituiscono un sistema di generatori di V , se span{v

, . . . , v

} = V

Dalla definizione di sottospazio generato deriva subito che : un sistema di vettori ` e un sistema di generatori di V se e solo se ogni vettore di V si esprime come combinazione lineare degli elementi del sistema.

Definizione 0.5.2 Un sistema di vettori si dice base di uno spazio vettoriale V se ` e un sistema di generatori linearmente indipendenti.

Esempi. Siano e

= (1, 0, . . . ), e

= (0, 1, 0, . . . ), . . . , e

= (0, 0, . . . , 0, 1) i vettori di R

che hanno tutte componenti nulle tranne una sola componente che ` e uguale ad 1.

Allora {e

, e

, . . . , e

} `e un sistema di generatori di R

. Infatti detto v = (x

, x

, . . . , x

) il generico vettore di R

abbiamo

v = (x

, 0, . . . ) + (0, x

, 0, . . . ) + (0, . . . , 0, x

)

= x

(1, 0, . . . ) + x

(0, 1, 0, . . . ) + · · · + x

(0, . . . , 0, 1) = x

e

+ · · · x

e

ossia v ´ e combinazione lineare di e

, . . . , e

.

Inoltre si dimostra facilmente che tali vettori sono l.i.

Quindi B = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1)} costituisce una base per R

detta Base canonica.

Per esempio il vettore v = (1, 3, −1) ∈ R

si pu` o scrivere come v = e

+ 3e

− e

.

Dalla definizione precedente risulta che se abbiamo una base B = {e

, . . . , e

} v ∈ V si scrive nella forma

v =

n

X

i=1

x

e

.

Tale scrittura si dice decomposizione di v rispetto a B e gli scalari x

si chiamano com-

ponenti di v. Nel seguente teorema vedremo che la decomposizione ` e unica.

Teorema 0.5.3 Un sistema di vettori B = {e

, . . . , e

} ` e una base se e solo se ogni vettore di V ha un unica decomposizione rispetto a B.

Dim. Supponiamo che la decomposizione non sia unica allora abbiamo v =

n

X

i=1

x

e

e v =

n

X

i=1

x

e

,

sottraendo membro a membro, abbiamo 0 =

n

X

i=1

x

e

−

n

X

i=1

x

e

=

n

X

i=1

(x

− x

)e

essendo i vettori e

linearmente indipendenti dobbiamo avere necessariamente x

− x

= 0 cio` e x

= x

, e quindi la decomposizione ` e unica.

Viceversa se ogni vettore si pu` o scrivere in maniera unica come combinazione lineare di vettori di B abbiamo subito che il sistema genera lo spazio. Rimane da far vedere che i vettori siano linearmente indipendenti. Consideriamo allora la combinazione lineare nulla P

i=1

λ

e

= 0 dove λ

sono scalari. D’altra parte abbiamo anche che 0 = P

i=1

0e

, poich` e ogni vettore deve avere una unica decomposizione rispetto a B dobbiamo necessariamente avere λ

= 0 per ogni i = 1, . . . , n.

Esercizi 0.5.4

1. Sia data in R

la base canonica B = {e

, e

, e

}. Dato il vettore V

= (0, 1, 1) scegliere dei vettori di B tale che insieme a v

formino una nuova base di R

. Soluzione B

= {v

, e

, e

}.

2. Si faccia la stessa cosa con i sistemi {v

, v

} e {v

, v

, v

} dove v

= (0, −1, 1) e v

= (1, 0, 2).

3. Si provi ad aggiungere un quarto vettore e tentare di formare una base di R

. Chiamiamo permutazione di un insieme S = {1, 2, . . . , p} una funzione biettiva π : S → S. Dato un sistema di vettori {v

, . . . v

} chiamiamo riordinamento del sistema un altro sistema con gli stessi vettori ma messi in ordine diverso. Vale a dire il sistema {v

, . . . , v

} dove π `e una permutazione degli indici.

Ricordiamo che tutte le possibili permutazione di un insieme di p elementi ` e dato dal

fattoriale p!.

0.5. BASI E DIMENSIONE 11 Teorema 0.5.5 (Completamento della base) Sia B = {e

, · · · , e

} base di uno spazio vettoriale V . Ad un sistema di m vettori linearmente indipendenti {v

, · · · , v

}, con 0 ≤ m ≤ n si possono aggiungere n − m vettori di B, opportunamente scelti, in modo da ottenere un altra base di V .

Vale a dire B

= {v

, · · · , v

, e

, · · · , e

} ` e un altra base di V , dove π ` e un oppor- tuna permutazione di {1, 2, · · · , n}.

Dim. Dimostriamo questo teorema per induzione. Se m = 0 il sistema di partenza non

` e altro che l’insieme vuoto (cio` e il sistema che non contiene alcun vettore, non il sistema che contiene il vettore nullo!!). Aggiungendo al sistema vuoto tutti gli elementi di B si ottiene in maniera ovvia una base.

Sia ora m = 1. Poich` e B ` e una base, posso decomporre v

in maniera unica rispetto ai vettori {e

, . . . , e

}, ossia

v

= x

e

+ · · · + x

e

.

Gli scalari x

, i = 1, . . . , n non possono essere tutti nulli altrimenti avremmo v

= 0, ma ci` o non ` e possibile in quanto il sistema ` e linearmente indipendente. Riordinando opportunamente la base possiamo supporre, senza ledere la generalit` a, che x

sia non nullo. Allora possiamo esprimere e

come c.l. dei vettori {v

, e

, . . . , e

}. Infatti abbiamo

e

= 1

x

v

− x

x

e

+ · · · − x

x

e

.

Ora poich´ e B ` e una base ogni vettore di v si pu` o ottenere come c.l. di {e

, . . . , e

}, ma poich´ e e

` e c.l. dei vettori B

= {v

, e

, . . . , e

} ogni vettore di v si pu` o scrivere come c.l.

di B

vale a dire B

` e un sistema di generatori. Infatti abbiamo v = y

e

+ y

e

+ · · · + y

e

= y

 1

x

v

− x

x

e

+ · · · − x

x

e



+ y

e

+ · · · + y

e

= y

x

v

+



y

− y

x

x

 e

+



y

− y

x

x



e

+ · · · +



y

− y

x

x

 e

. Dobbiamo ora provare che i vettori di B

sono l.i..Consideriamo la c.l. nulla

λ

v

+ λ

e

+ · · · + λ

e

= 0

Se λ

6= 0 possiamo esprime v

come c.l. dei “soli” vettori {e

, e

, . . . , e

} v

= − λ

λ

e

− · · · − λ

λ

e

ma questo significa che la prima componente nella decomposizione unica di v

rispetto a B `e nulla, ma abbiamo supposto che x

sia non nullo. Dunque deve essere λ

= 0. Allora la condizione diventa

λ

e

+ · · · + λ

e

= 0

e poich´ e i vettori {e

, . . . , e

} sono l.i., essendo un sottosistema di un sistema indipen- dente, abbiamo che λ

= λ

= · · · = λ

= 0. Quindi B

` e un sistema l.i. oltre che generatore, quindi ` e una base. Abbiamo cos`ı dimostrato l’asserto per m = 1.

Supponiamo ora il teorema vero per m−1 dobbiamo dimostrarlo per m. Come ipotesi abbiamo che B = {v

, . . . , v

, e

, e

, . . . , e

} `e una base di V . Dobbiamo provare che, dopo un opportuno riordinamento di B, abbiamo che B

= {v

, . . . , v

, e

, . . . , e

}

` e una base di V , dove con π abbiamo indicato una permutazione di {1, 2, . . . , n}. Proce- diamo come prima.

Poich` e B ` e una base, esprimiamo il vettore v

come c.l. unica di elementi di B v

= x

v

+ · · · + x

v

+ x

e

+ x

e

+ · · · + x

e

Gli scalari x

, . . . , x

non possono essere tutti nulli altrimenti avremmo v

come c.l. di v

, . . . , v

, ma ci` o ` e impossibile in quanto i vettori v

, . . . , v

sono l.i.. Dopo un oppor- tuno riordinamento possiamo supporre x

6= 0. Come fatto per il caso m = 1 possiamo esprimere e

come combinazione lineare del sistema di vettori {v

, . . . , v

, e

, . . . , e

}.

Poich´ e B ` e una base possiamo esprimere ogni vettore di V come c.l. dei vettori

{v

, . . . , v

, e

, e

, . . . , e

} ma poich´e e

` e c.l dei vettori {v

, . . . , v

, e

, . . . , e

} allora posso esprimere ogni vettore come combinazione lineare dei vettori del sistema B

= {v

, . . . , v

, e

, . . . , e

}. Cio`e B

` e un sistema di generatori. Rimane da provare che i vettori sono l.i.. Consideriamo allora

λ

v

+ · · · + λ

v

+ λ

e

+ · · · + λ

e

= 0

Se λ

6= 0 possiamo esprimere v

come combinazione lineare dei “soli” vettori

{v

, . . . , v

, e

, . . . , e

} ma questo significa che la m−esima componente di v

rispetto alla base B ` e nulla, ma abbiamo supposto che x

6= 0 quindi deve essere λ

= 0. La c.l.

nulla allora diventa

λ

v

+ · · · + λ

v

+ λ

e

+ · · · + λ

e

= 0

ed essendo il sistema {v

, . . . v

, e

, . . . e

} libero, in quanto sottosistema di un sis-

tema libero, abbiamo che λ

= · · · = λ

= λ

= · · · = λ

= 0, quindi tutti i λ

con

i = 1, . . . , n sono nulli, cio` e B

` e un sistema di vettori l.i., essendo anche un generatore ` e

una base per V .

0.5. BASI E DIMENSIONE 13 Se prendiamo m = n abbiamo il seguente teorema

Teorema 0.5.6 Sia V spazio vettoriale avente come base un sistema di n vettori. Allora ogni altro sistema di n vettori linearmente indipendenti costituisce una base per V

Teorema 0.5.7 (Della dimensione) Sia V spazio vettoriale con una base costituita da n vettori. Allora

1. Un sistema linearmente indipendente ha al pi` u n vettori (o equivalentemente un sistema di m > n vettori ` e legato)

2. Ogni altra base di V ha n vettori.

Dim 1. Siano v

, . . . , v

vettori con m > n ed assumiamo per assurdo che essi siano l.i.. I vettori v

, . . . , v

sono anch’essi l.i. e, per il teorema precedente, costituiscono una base per V . Questo vuol dire che possiamo esprimere uno dei vettori v

, . . . , v

come combinazione lineare di v

, . . . , v

contro l’assunto che v

, . . . , v

siano l.i.

2. Sia B = {e

, . . . , e

} e B

= {f

, . . . , f

} basi di V . Proviamo che n = m.

Consideriamo B come base e B

come sistema di vettori l.i. Per il punto precedente abbiamo m ≤ n. Consideriamo ora invece B

come base e B come sistema di vettori l.i..

Abbiamo n ≤ m. Ne consegue che n = m.

Il numero dei vettori di una base non dipende, quindi, dalla base scelta. Tale numero si chiama dimensione dello spazio vettoriale.

In ogni sottospazio vettoriale, in quanto spazio vettoriale, si pu` o parlare di dimensione.

Se G ` e un sottospazio di uno spazio V allora vale

dim G ≤ dim, V

0.6 Sistemi di vettori equivalenti e rango

Definizione 0.6.1 Due sistemi di vettori S ed S

si dicono equivalenti se span S = span S

Osservazione 0.6.2 La precedente definizione equivale a dire che i due sistemi sono equivalenti se e solo se ogni vettore di S ` e combinazione lineare di vettori di S

e viceversa.

Esempio. I sistemi S = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 2)} ed S

= {(0, 1, 1), (0, 1, −1)}

sono equivalenti.

Infatti si verifica facilmente che i vettori di ognuno sono combinazione lineari dell’altro.

Inoltre span S = {(x, y, z) ∈ R

| x = 0}.

Dato un sistema di vettori S, ci poniamo il problema di trovare il minimo numero di vettori che lasciano il sistema invariato. Come dimostreremo pi` u avanti possiamo eliminare dal sistema tutti i vettori che sono c.l. degli altri sino ad ottenere un sistema equivalente al primo costituito da soli vettori l.i. Il numero di questi vettori si chiama rango del sistema.

Definizione 0.6.3 Si dice rango di un sistema di vettori S, e si indica con rank S, il numero massimo di vettori l.i. che si possono estrarre dal sistema.

Nell’esempio precedente risulta rank{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 2)} = 2, infatti se consideriamo tutti i sottosistemi costituiti da 3 vettori, saranno tutti l.d. per` o il sottosistema {(0, 0, 1), (0, 1, 0)}, costituto da 2 vettori, ` e l.i. Si verifica che questo non

` e l’unico sottosistema l.i. di due vettori (trovare se esistono gli altri sottosistemi l.i.

costituiti da 2 vettori).

Osserviamo che se un sistema ha rango k questo non vuol dire che tutti i sottosistemi di k vettori sono l.i., ma che almeno un sottosistema di k vettori ` e costituito da vettori l.i.

Il pi` u grande sottosistema di generatori l.i. di un sottospazio costituisce una base per il sottospazio e ne determina la dimensione. Abbiamo quindi la seguente proposizione Proposizione 0.6.4 Sia S un sistema di vettori. Allora dim (span S) = rank S

Osserviamo che in uno spazio vettoriale di dimensione n ogni sistema di vettori ha rango non superiore a n.

Elenchiamo ora alcune propriet` a dei sistemi di vettori equivalenti

0.6. SISTEMI DI VETTORI EQUIVALENTI E RANGO 15 Propriet` a 0.6.5 Sia S = {v

, . . . , v

} sistema di p vettori. Allora valgono i seguenti asserti

1. Se aggiungiamo al sistema un vettori che ` e combinazione lineare degli altri, allora il sistema rimane invariato.

span{v

, . . . , v

} = span{v

, . . . , v

,

p

X

i=1

λ

v

} ∀λ

, . . . , λ

∈ K

2. Se aggiungiamo ad un vettore una combinazione lineare degli altri vettori, allora il sistema rimane invariato

span{v

, . . . , v

, . . . , v

} = span{v

, . . . , v

+

p

X

i=1,i6=k

λ

v

, . . . , v

} ∀λ

, . . . , λ

∈ K

3. Moltiplicando un vettore per uno scalare non nullo il sistema rimane invariato span{v

, . . . , v

, . . . , v

} = span{v

, . . . , λv

, . . . , v

} ∀λ ∈ K, λ 6= 0

4. Sia il sistema l.i., allora togliendo un vettore non si ottiene un sistema equivalente al primo

span{v

, . . . , v

, . . . , v

} 6= span{v

, . . . , v

, v

, . . . , v

} Dim.

1. Discende direttamente dalla definizione.

2. Per semplicit` a poniamo k = 1. Siano λ

, . . . , λ

∈ K. ` E chiaro che span{v

+ P

i=2

λ

v

, v

, . . . , v

} ⊂ span{v

, . . . , v

}. Sia ora v ∈ span{v

, . . . , v

} questo vuol dire che esistono α

, . . . , α

∈ K tali che

v =

p

X

i=1

α

v

= α

v

+

p

X

i=2

α

v

= α

v

+ α

p

X

i=2

λ

v

!

− α

p

X

i=2

λ

v

! +

p

X

i=2

α

v

= α

v

+

p

X

i=2

λ

v

! +

p

X

i=2

(α

− α

λ

) v

che ` e una c.l dei vettori v

+ P

i=2

λ

v

, v

, . . . , v

3. Esercizio

4. Il vettore v

non ` e combinazione lineare dei vettori v

, . . . , v

, v

, . . . , v

altri- menti il sistema {v

, . . . , v

} sarebbe l.d.

Le propriet` a precedenti ci permettono di trovare facilmente il rango di un sistema di vettori di R

, ed una base del sottospazio da essi generato. Infatti mediante le operazioni che lasciano invariato il sistema di vettori possiamo ottenere un sistema equivalente al primo del seguente tipo {(∗, ∗, . . . , ∗), (0, ∗, . . . , ∗), (0, 0, ∗, . . . , ∗), . . . } dove ∗ sono coef- ficienti da determinare. Il rango sar` a dato dal numero di vettori non nulli. Infatti, con le componenti cos`ı disposte, ` e immediato verificare che i vettori non nulli sono l.i.. Tale operazione di chiama riduzione a scalini.

Esempio. Siano dati i vettori v

= (1, 0, 2), v

= (2, 1, 3), v

= (3, 1, 5), calcolare rank{v

, v

, v

}, una base ed una rappresentazione cartesiana di span{v

, v

, v

}.

Disponiamo i vettori in righe ed eseguiamo le operazioni che lasciano il sistema equiv- alente al primo





1 0 2 2 1 3 3 1 5





r

→ r

− 2r

,





1 0 2 0 1 −1 3 1 5





r

→ r

− 3r





1 0 2 0 1 −1 0 1 −1



 r

→ r

− r





1 0 2 0 1 −1 0 0 0





Otteniamo che il rango dei vettori ` e 2 ed una base ` e data da {(1, 0, 2), (0, 1, −1)}.

Esercizi 0.6.6

1. Consideriamo il sistema di vettori {(1, 2, 3, 4), (0, 2, 7, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 6, 10, 5)}. Cal- colarne il rango ed una base del sottospazio generato.

2. Sia H il sottospazio di R

generato dai vettori {(−2, 4, 1, 0), (3, −1, 2, 1), (−1, 7, 4, 1)}, calcolare la dimensione ed un base di H.





−2 4 1 0

3 −1 2 1

−1 7 4 1









−2 4 1 0

0 5 7/2 1

0 0 0 0





Per cui una base ` e data da {(−2, 4 − 1, 0), (0, 10, 7, 2)}.

0.6. SISTEMI DI VETTORI EQUIVALENTI E RANGO 17

0.6.1 Rappresentazione cartesiana e parametrica di sottospazi di R

Si ha una rappresentazione cartesiana di un sottospazio di R

quando esso ` e espresso tramite equazioni lineari delle componenti dei vettori che vi appartengono.

H = {(x

, x

, . . . , x

) ∈ R

| F

(x

, x

, . . . , x

) = · · · = F

(x

, x

, . . . , x

) = 0}

dove le equazioni F

sono equazioni lineari. Per calcolare l’equazione cartesiana di un sottospazio generato da un sistema di vettori, basta imporre che il generico vettore di coordinate (x

, x

, . . . , x

) sia combinazione lineare di vettori del sistema dato.

Se vogliamo trovare una rappresentazione cartesiana di H = span{(1, 0, 2), (0, 1, −1)}

dobbiamo richiedere che il generico vettore (x, y, z) appartenga ad H ossia che il sistema di vettori span{(1, 0, 2), (0, 1, −1), (x, y, z)} abbia rango 2. Come prima disponiamo i vettori in righe e riduciamo a scalini il sistema di vettori. Ottenendo





1 0 2 0 1 −1 x y z





r

→ r

− xr

,





1 0 2

0 1 −1

0 y z − 2x





r

→ r

− yr





1 0 2

0 1 −1

0 0 z − 2x + y



 Tale sistema di vettori ha rango 2 se e solo se l’ultimo vettore ` e identicamente nullo.

Quindi abbiamo che il sottospazio ha rappresentazione cartesiana H = {(x, y, z) ∈ R

| z−

2x + y = 0}.

Abbiamo una rappresentazione parametrica di un sottospazio quando le coordinate di un suo vettore sono espresse tramite dei equazioni lineari di alcuni parametri.

H :







x

= F

(λ

, λ

, . . . , λ

) ...

x

= F

(λ

, λ

, . . . , λ

)

λ

, . . . λ

∈ R

Per esempio H = span{(1, 1, 0), (−2, 0, 2)} ha equazioni parametriche

H = {λ

(1, 1, 0) + λ

(−2, 0, 2) | λ

, λ

∈ R} = {(λ

− 2λ

, λ

, 2λ

) | λ

, λ

∈ R} ossia

H :







x

= λ

− 2λ

x

= λ

x

= 2λ

λ

, λ

∈ R

0.7 Somma e intersezione di sottospazi

Siano F ed G sottospazi di uno spazio vettoriale V . Allora definiamo

F + G := {v ∈ V | esistono f ∈ F, g ∈ G, tali che v = f + g}

F ∩ G = {v ∈ V | v ∈ F e v ∈ G}

Abbiamo il seguente teorema

Teorema 0.7.1 Siano F ed G sottospazi di uno spazio vettoriale V . Allora i) F + G ` e sottospazio vettoriale di V

ii) F ∩ G ` e sottospazio vettoriale di V

Un sistema di generatori di F + G ` e dato dall’unione di un sistema di generatori di F con un sistema di generatori di G.

Proposizione 0.7.2 Sia S = {f

, . . . , f

} ed S

= {g

, . . . , g

} sistemi di vettori. Se F = span S e G = span S

allora F + G = span(S ∪ S

).

Dim. Dimostriamo prima che F + G ⊂ span(S ∪ S

). Sia v ∈ F + G allora esistono f ∈ F ed g ∈ G tali che v = f + g poich´ e f ` e c.l. dei vettori di S e g ` e c.l. dei vettori di S

allora f + g ` e c.l. dei vettori di S e di S

.

Dimostriamo ora che F + G ⊃ span(S ∪ S

). Sia v ∈ span(S ∪ S

) allora riusciamo a scrivere v = P

i=1

λ

f

+ P

i=1

µ

g

, con λ

e µ

scalari (poniamo λ

= 0 o µ

= 0 per i vettori che sono ripetuti in span(S ∪ S

)). Abbiamo che f := P

i=1

λ

f

∈ F e g := P

i=1

µ

g

∈ G. Quindi v = f + g `e somma di un vettore di F ed uno di G.

Esempio. Sia F = span{(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} e G = span{(0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

1. Calcolare base e dimensione di F + G, F ∩ G.

Abbiamo B

= {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} quindi dim(F + G) = 3. Poi B

= {(0, 0, 1)} e quindi dim(F ∩ G) = 1. Osserviamo che F + G = R

.

2. Consideriamo ora un vettore di R

e decomponiamolo nella somma di un vettori di F ed un vettore di G.

Sia (x

, x

, x

) ∈ R

possiamo scrivere (x

, x

, x

) = x

(1, 1, 0) − x

(0, 1, 0) +

x

(0, 1, 0) + x

(0, 0, 1), abbiamo che x

(1, 1, 0) ∈ F e −x

(0, 1, 0) + x

(0, 1, 0) +

x

(0, 0, 1) ∈ G. Trovare altre decomposizioni (se ne esistono!!).

0.7. SOMMA E INTERSEZIONE DI SOTTOSPAZI 19 3. Calcoliamo ora le dimensioni di tutti i sottospazi considerati.

Abbiamo che dim F = 2, dim G = 2, dim (F + G) = 3 e dim F ∩ G = 1, cio` e dim F + dim G = dim(F + G) + dim(F ∩ G)

Esempio. Sia F = span{(1, 1, 0), (1, −1, 0)} e G = span{(0, 0, 1)}. Svolgere gli stessi punti dell’esempio precedente.

Abbiamo F ∩ G = {0} e F + G = R

. Questa volta se decomponiamo un vettore di R

come somma di un vettore di F ed uno di G, troveremo che la decomposizione ` e unica.

In questo caso abbiamo dim F ∩ G = 0 e ritroviamo la relazione dim F + dim G = dim(F + G) + dim(F ∩ G).

Se F ∩ G = {0} diciamo che la somma F + G ` e somma diretta. Indichiamo tale somma con F ⊕ G.

Teorema 0.7.3 Siano F, G sottospazi. Allora F ∩ G = {0} ⇐⇒ ogni vettore di F + G si scrive in maniera unica coma somma di un vettore di F ed un vettore di G.

Dim.” =⇒ ” Sia v ∈ F + G e supponiamo che esistano f, f

∈ F ,g, g

∈ G tali che v = f + g e v = f

+ g

. Abbiamo f + g = f

+ g

da cui f − f

= g − g

poich´ e g − g

` e somma di vettori di G si trover` a in G. Quindi g − g

∈ G e quindi anche f − f

∈ G, ma f − f

si trova in F , quindi f − f

∈ F ∩ G. Poich´e F ∩ G = {0} abbiamo che f − f

= 0, cio` e f = f

. Analogamente si ottiene g = g

. Quindi la decomposizione deve necessariamente essere unica.

” ⇐= ” Ragioniamo per assurdo e supponiamo che u ∈ F ∩ G 6= {0}. E sia v = f + g ∈ F +G con f ∈ F e g ∈ G. Abbiamo v = f +g = f +u+g −u = f

+g

, ma f

= f +u ∈ F e g

= g − u ∈ G, quindi la decomposizione non ` e unica, e quindi v = 0.

Teorema 0.7.4 (Identi` a di Grassmann) Siamo F, G sottospazi. Allora dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G).

Quando la somma ` e diretta l’identit` a di Grassmann diventa Teorema 0.7.5 Siamo F, G sottospazi tali che F ∩ G = {0}. Allora

dim (F ⊕ G) = dim F + dim G

Dim. Sia dim F = p, dim G = q, B

= {f

, . . . , f

} base di F e B

= {g

, . . . , g

} base

di G. Dobbiamo semplicemente provare che il sistema B = {f

, . . . , f

, g

, . . . , g

} `e una

base di F + G.

E chiaro che B ` ` e un sistema di generatori di F + G. Dobbiamo provare che il sistema

` e l.i. Sia P

i=1

λ

f

+ P

i=1

µ

g

= 0, ponendo f = P

i=1

λ

f

∈ F e g = P

i=1

µ

g

∈ G abbiamo f + g = 0 da cui f = −g, ma −g ∈ G quindi f ∈ G, siccome f ∈ F abbiamo f ∈ F ∩ G = {0} quindi f = 0, e poich´ e i vettori f

sono l.i. abbiamo λ

= 0 per i = 1, . . . , p. Rimane dunque g = 0 da cui risulta µ

= 0 per i = 1, . . . , q.

Siano F, G sottospazi di V . Se risulta F ⊕ G = V i sottospazi si dicono supplementari.

Teorema 0.7.6 Sia F sottospazio di uno spazio vettoriale V. Allora esiste un sottospazio G di V tale che F ⊕ G = V.

Dim. Sia B

= {e

, . . . e

} e B

= {f

, . . . , f

} basi rispettivamente di V e di F . Per il teorema del completamento della base possiamo completare i vettori f

, . . . , f

con n−m vettori di B

, opportunamente scelti, fino ad ottenere una nuova base di V . Supponiamo di avere ottenuto B

= {f

, . . . , f

, e

, . . . e

} come base di V .

Asseriamo che lo spazio cercato ` e dato da G = span {e

, . . . , e

}.

Infatti abbiamo che G + F = V dalla Proposizione 0.7.2. Inoltre, dalla relazione di Grassmann, abbiamo che dim (F ∩ G) = dim F + dim G − dim (F + G) = m + (n − m) − n = 0. Quindi F ∩ G = {0}.

Definizione 0.7.7 Si chiama iperpiano ogni sottospazio vettoriale supplementare ad un sottospazio vettoriale di dimensione 1 (cio` e supplementare ad una retta).

Se H ` e un iperpiano di uno spazio vettoriale di dimensione n abbiamo dim H = n − 1

Esercizio Sia r = span{(1, 0, 0)}. Trovare tutti i piani supplementari a r.