∪ {} ∪ {} ∪ {} !"###$%&&& "#$$$%&''' → ∑ ∑ ∉ ⊆ fxyz v v v !"###$%&&& 111101110 − k k 1111 b b − = 1011 Axyz − !"###$%&&& 1

AA  2012-­‐2014  

Esercizi  e  soluzioni  relativi  al  modulo  2  di  MD    

Es  1.  a)  Si  dia  la  definizione    di  insieme  di  vettori  linearmente  dipendenti  di  uno   spazio  vettoriale  V.  

b)Sia  V  uno  spazio  vettoriale  e  B  una  sua  base.  Si  provi  che  se  v  è  un  vettore  di  V   con  v∉B,  allora  B∪ v

{ }

 è    un  insieme  di  vettori  linearmente  dipendenti.  

Sol.  a)Sia  V  spazio  vettoriale  sul  campo  K.  D  ⊆V  è  un  insieme  di  vettori  

linearmente  dipendenti  se  il  vettore  nullo  è  una  combinazione  lineare  dei  vettori   di  D  a  coefficienti  in  K  non  tutti  nulli.  

b)Sia  v=   k_ib_i

i

∑

^{.Allora   kibi}

i

∑

^-­‐v=0    ove  il  coefficiente  di    v  è  1  e  dunque  B∪ v

{ }

 ^e  

dunque  B∪ v

{ }

 ^è    un  insieme  di  vettori  linearmente  dipendenti.  

               

Es.2  a)  Provare  che  i  tre  vettori  v=(1,1,1),  v1  =(1,0,1),  v2 =(1,1,0) formano  una   base  B  di  R³    .  

b)  Determinare  le  componenti  dei  vettori  della  base  canonica  di  R³      rispetto  alla   base  B.  

Sol.a)  Consideriamo  la  matrice  le  cui  colonne  costituiscono  le  coordinate  dei   vettori  v,    v1,  v2  rispetto  alla  base  canonica  di  R³,  e  cioè  la  matrice    

P=  

1 1 1 1 0 1 1 1 0

!

"

##

#

$

%

&

&

&

 .P  ha  determinante  diverso  da  0,  e  ciò  implica  che  B  =(v,    v1,  v2)  è   una  base  B  di  R³  .  

b)  P  è  la  matrice  cosiddetta  di  passaggio  dalla  base  canonica  alla  base    B.  La  sua   inversa  P^-­‐1  è  la  matrice  di  passaggio  dalla  base  canonica  alla  base  B  e  le  sue   colonne  costituiscono  le  coordinate  della  base  canonica  rispetto  alla  base  B.  

Calcolando    P^-­‐1,  per  esempio  col  metodo  di  eliminazione  di  Gauss,  si  ottiene   P^-­‐1=

−1 1 1

1 −1 0

1 1 −1

"

#

$$

$

%

&

'' '  

Dunque  le  componenti  (coordinate)cercate  sono,nell’ordine  corretto,  gli   elementi  delle  colonne  di  P^-­‐1    

 

Es.3  Si  consideri.  l’applicazione  lineare  f:  R³  →  R³  

f x y z

!

"

##

#

$

%

&

&

&

= A x y z

!

"

##

#

$

%

&

&

&

 

ove  A  è  la  matrice  

2 1 2k

k 1 1

0 k 2

!

"

#

##

$

%

&

&

&

..Si  determinino  i  valori  di  k  tali  che  il  vettore   (1,1,1)  sia  un  autovettore  per  f.  

Sol.  Si  deve  avere  f(1,1,1)=(2+1+2k,k+1+1,k+2)=(c,c,c)  per  qualche  c ∈R,da  cui   si  ricava  subito  k=-­‐1  

   

Es.  4  .  Sia    T:R³   R³  l’applicazione  lineare  la  cui  matrice  associata  rispetto  alla  

base  canonica  è   .     a)  Si  calcolino  gli  autovalori  di  T    

b)  Si  calcolino  le  dimensioni  degli  autospazi  relativi  a  ciascun  autovalore   c)  T  è  diagonalizzabile?  

Sol.  Il  polinomio  caratteristico  di  T,  dopo  gli  usuali  calcoli  risulta  essere  

−λ³+12λ²− 36λ + 32 =   2 − λ

( )

²(8 − λ) .  

a)  Gli  autovalori  di  T    sono  2  con  molteplicità  algebrica  2  e  8  con  molteplicità   algebrica  1.    

b)Poiché  la  dimensione  degli  autospazi  non  può  mai  superare  la  molteplicità   algebrica  dell’autovalore  relativo,  l’autospazio  E(8)  avrà  necessariamente   dimensione  1,  mentre    per  l’autospazio  E(2)per  il  momento  sappiamo  che  può   avere  dim.1  o  dim.  2.  Calcolare  la  dim.  di  E(2)    equivale  a  calcolare  la  dimensione   di  Ker(T-­‐2I),  ove  I    è  l’applicazione  identica    R³   R³.  La  dimensione  di  Ker(T-­‐2I)   è  data  dalla  formula:  dim  R³  =  dim.(Ker(T-­‐2I))+rango(T-­‐2I).  Chiaramente        

dim.  R³=3  e  

rango(T-­‐2I)=  rango  

1 1 1 2 2 2 3 3 3

!

"

##

#

$

%

&

&

&

=1.  Pertanto  dim  (E(2))=2.  

c)  T    è  diagonalizzabile  poiché  la  somma  delle  dimensioni  degli  autospazi  

coincide  con  la  dimensione  di  R³.(Vedi,  ad  esempio,  corollario  10.24  pag.  143  del   testo  Accascina-­‐Villani)  

 

Es.  5    a)  Si  trovi    l’insieme  S  delle  soluzioni  del  seguente  sistema  omogeneo  di   equazioni  lineari  a  coefficienti  nel  campo  Q  dei  numeri  razionali;  

 

b)  Come  si  è  visto  a  lezione  S  e’  un  sottospazio  di  V=Q⁴  .  Se  ne  calcoli  la   dimensione  (Sugg:  S  è  il  nucleo  dell’applicazione  lineare    moltiplicazione  a   sinistra  per  la  matrice  incompleta  del  sistema  S)  

→

3 1 1 2 4 2 3 3 5

!

"

##

#

$

%

&

&

&

→

€

x₁+ x₂ + x₃ + x₄ = 0 2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ = 0 3x₁ + 4 x₂ + 3x₃ + 2x₄ = 0

"

# $

% $

Sol.  a)  La  forma  a  scala  per  righe  della  matrice  incompleta  associata  al  sistema   omogeneo,  ottenuta  dopo  facili  calcoli,  è  la  seguente:  

1 0 1 2

0 1 0 −1

0 0 0 0

"

#

$

$$

%

&

' ''  

Possiamo  assegnare  un  valore  arbitrario  alle  incognite  corrispondenti  alle   colonne  che  non  hanno  Pivot,  e  cioè  la  terza  e  la  quarta.  Poniamo  dunque  

x₄=t  ,  x₃=s,  da  cui  x₂=t  ,  x₁=-­‐2t-­‐s.  

L’insieme  S    è  dunque  costituito  da  tutte  le  quaterne  ordinate  di  numeri  razionali   della  forma  (-­‐2t-­‐s,  t  ,  s,  t),  al  variare  di  t  e  s    in  Q.  

b)  Il  rango  della  matrice  associata  al  sistema  è  2,  le  incognite  sono  4,  dunque  la   dim.  di  S  è  4-­‐2=2.