Guido Proietti

(1)

Teoria degli algoritmi e della computabilità

Terza giornata: Ricerca e ordinamento ottimi. P vs NP, algoritmi di approssimazione, e il potere della randomizzazione

Guido Proietti

Email: guido.proietti@univaq.it

URL: www.di.univaq.it/~proietti/index_personal

(2)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Algoritmi e strutture dati

Un primo algoritmo è quello di ricerca sequenziale (o esaustiva), che gestisce l’insieme di numeri come una lista L non ordinata

Correzione esercizio:

Il problema della ricerca

T

_best

(n) = 1 x è in prima posizione

T

_worst

(n) = n xL oppure è in ultima posizione

Contiamo il numero di confronti (operazione dominante):

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Algoritmo di ricerca binaria

Confronta x con l’elemento centrale di L e prosegue nella

Se ipotizzassimo che la sequenza di numeri fosse un array L

ordinato, potremmo progettare un algoritmo più efficiente:

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Esempi su un array di 9 elementi

Cerca 2 Cerca 1 Cerca 9 Cerca 3

3<4 quindi a e b

si invertono

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Analisi dell’algoritmo di ricerca binaria

T

_best

(n) = 1 l’elemento centrale è uguale a x T

_worst

(n) = Θ(log n) xL

Infatti, poiché la dimensione del sotto-array su cui si procede si dimezza dopo ogni confronto, dopo l’i-esimo confronto il sottoarray di interesse ha dimensione n/2

ⁱ

. Quindi, dopo

i=log n +1 confronti, si arriva ad avere a>b.

Contiamo i confronti eseguiti nell’ istruzione 3 (operazione dominante):

(6)

• Problema dell’ordinamento:

– Lower bound - (n log n) albero di decisione – Upper bound – O(n

²

) IS,SS

• Proviamo a costruire un algoritmo ottimo, usando la tecnica del divide et impera:

1 Divide: dividi l’array a metà

2 Risolvi il sottoproblema ricorsivamente

3 Impera: fondi le due sottosequenze ordinate

Un algoritmo di ordinamento ottimo: il

MergeSort (John von Neumann, 1945)

(7)

Esempio di esecuzione

7 2 4 5 3 1 5 6

1 2 3 4 5 5 6 7

2 4 5 7 1 3 5 6

2 7 4 5 1 3 5 6

input output

Input ed output delle

chiamate

ricorsive

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• Due array ordinati A e B possono essere fusi rapidamente:

– estrai ripetutamente il minimo di A e B e copialo nell’array di output, finché A oppure B non

diventa vuoto

– copia gli elementi dell’array non ancora

completamente svuotato alla fine dell’array di output

Fusione di sequenze ordinate (passo di impera)

Notazione: dato un array A e due indici x  y, denotiamo con

A[x;y] la porzione di A costituita da A[x], A[x+1],…,A[y]

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Merge (A, i₁, f₁, f₂)

1. Sia X un array ausiliario di lunghezza f₂-i₁+1 2. i=1

3. i₂=f₁+1

4. while (i₁ f₁ e i₂  f₂) do 5. if (A[i₁]  A[i₂]) 6. then X[i]=A[i₁]

7. incrementa i e i₁ 8. else X[i]=A[i₂]

9. incrementa i e i₂

10. if (i <f ) then copia A[i ;f ] alla fine di X

fonde A[i

₁

;f

₁

] e A[f

₁

+1;f

₂

] output in A[i

₁

;f

₂

]

Osservazione: usa l’array ausiliario X

Algoritmo di fusione di sequenze ordinate

(10)

Lemma

La procedure Merge fonde due sequenze ordinate di lunghezza n

₁

e n

₂

eseguendo al più n

₁

+ n

₂

-1 confronti

Dim: Ogni confronto “consuma” un elemento di A.

Nel caso peggiore tutti gli elementi tranne l’ultimo sono aggiunti alla sequenza X tramite un confronto.

Il numero totale di elementi è n

₁

+ n

₂

. Quindi il numero totale di confronti è n

₁

+ n

₂

-1. QED

Numero di confronti: C(n=n

₁

+ n

₂

)=O(n

₁

+ n

₂

)=O(n) (si noti che vale anche C(n)=Ω(min{n

₁

,n

₂

}))

Numero di operazioni (confronti + copie)? T(n)=(n + n )

Costo dell’algoritmo di merge

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MergeSort (A, i, f)

1. if (i  f) then return 2. m = (i+f)/2

3. MergeSort(A,i,m) 4. MergeSort(A,m+1,f) 5. Merge(A,i,m,f)

MergeSort

Ovviamente la chiamata principale è Mergesort(A,1,n)

(12)

Complessità del MergeSort

Si vede facilmente che il tempo di esecuzione di MergeSort è:

T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) con T(1)=1, da cui:

T(n)=2(2T(n/2

²

)+Θ(n/2))+Θ(n)=

=2(2(2T(n/2

³

)+Θ(n/2

²

))+Θ(n/2))+Θ(n)=…

e per k = log

₂

n si ha n/2

^k

 = 1 e quindi

T(n)=2(2(…(2T(n/2

^k

)+Θ(1))+…+Θ(n/2

²

))+Θ(n/2))+Θ(n)

= 2

^{log n}

·Θ(1)+2

^log ^n-1

·Θ(2)+2

^log ^n-2

·Θ(2

²

)+…+ 2

⁰

·Θ(n)

= n∙Θ(1)+n/2∙Θ(2)+n/4∙Θ(4)+…+1∙Θ(n) = Θ(n log n)

(13)

Più precisamente…

1. Nel caso peggiore, il MS esegue (n log n - 2 ⌈ ⌉

^⌈^{log n}^⌉

+ 1) confronti, che corrisponde ad un numero compreso tra (n log n - n + 1) e (n log n + n + O(log n))

2. Nel caso medio, il MS esegue (n log n - 2 ⌈ ⌉

^⌈^{log n}^⌉

+ 1) – 0.2645·n confronti

3. Nel caso migliore (array già ordinato), il MS esegue n-1 confronti; può essere ottenuto facendo un

controllo preliminare nella procedura di Merge tra

ultimo elemento della prima sequenza e primo della

seconda

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Osservazioni finali

• Il MergeSort è un algoritmo (asintoticamente) ottimo rispetto al numero di confronti eseguiti nel caso peggiore

• Il MergeSort non ordina in loco, e utilizza memoria ausiliaria (l’occupazione di

memoria finale è pari a 2n)

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Richiamo: gerarchia delle classi

Decidibili

ExpTime

(ARRESTO(k)) P (ricerca)

NP NP-completi (SAT)

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Richiamo: inclusioni proprie?

• Abbiamo visto che:

P ⊑ NP ⊑ ExpTime, con P ≠ ExpTime

• In NP c’è una classe molto speciale ed importante di problemi che sicuramente non apparterrebbero a P se fosse NP≠P: i problemi NP-completi

• Per i problemi in P, che possono essere risolti in tempo polinomiale su una RAM, il compito principale dell’algoritmista è progettare algoritmi efficienti, possibilmente ottimi

• Anche per i problemi in NP vorremmo progettare algoritmi

efficienti, ma c’è un piccolo dettaglio: si congettura (in realtà, si crede fortissimamente) che i problemi NP-completi non

ammettano algoritmi risolutivi polinomiali!

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P vs NP: il problema da un milione di dollari

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24 marzo 2000, Collège de France, Parigi

Fondazione Clay mette in palio 7 premi da un milione di dollari l’uno per la soluzione di quelli che sono considerati i problemi matematici più

problemi del millennio

1) Congettura di Hodge 2) Congettura di Poincaré 3) Ipotesi di Riemann 4) Teoria quantistica

di Yang-Mills 5) Equazioni di

Navier-Stokes 6) P vs NP

7) Congettura di Birch e Swinnerton-Dyerasd risolto

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P vs NP: una formulazione dall’aspetto innocuo

date n città e, per ogni coppia di città i, j, la distanza fra i e j trovare un tour (un cammino ciclico) di lunghezza minima che passa per tutte le città

il problema del commesso viaggiatore:

(TSP, da travelling salesman problem)

una domanda da $ 1.000.000:

esiste un algoritmo polinomiale che risolve il TSP?

Si noti come tale problema ricada tra quelli di ottimizzazione

– Richiedono di restituire la soluzione migliore (rispetto ad un prefissato criterio) tra tutte quelle possibili. Ad esempio trovare il cammino di

lunghezza minima fra due nodi di un grafo

(20)

P vs NP: una formulazione dall’aspetto innocuo

un semplice algoritmo per il TSP:

enumera tutti i possibili tour fra le n città, misurando la lunghezza di ciascuno di essi e memorizzando quello più breve via via osservato

è un algoritmo efficiente?

quanti tour possibili ci sono con n città?

#tour: (n -1)(n -2)(n -3)… 3 2 1=(n -1)!

Ad esempio, 52! fattoriale è:

in milionesimi di secondo è almeno 5000 miliardi di volte più dell’età dell’universo!!!

80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000

Effettivamente si può dimostrare che TSP è NP-hard, ovvero la sua versione decisionale è NP-completa, e quindi si congettura la

(21)

Di certo, un algoritmo esponenziale come quello proposto per il TSP è inefficiente. Ma un algoritmo polinomiale è sempre

efficiente? Ed uno esponenziale è sempre inefficiente?

può essere considerato efficiente un algoritmo (polinomiale) che ha complessità (n¹⁰⁰)?

può essere considerato inefficiente un algoritmo (non polinomiale) che ha complessità (n1+0.0001 log n)?

…no!

problemi per i quali esistono algoritmi polinomiali tendono ad avere polinomi “ragionevoli”

…ma nella pratica la distinzione funziona!

Efficiente  Polinomiale?

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Crescita polinomiale vs crescita esponenziale

In effetti, la differenza fra complessità polinomiale e non polinomiale è davvero enorme

Tempi di esecuzione di differenti algorimi per istanze di dimensione crescente su un processore che sa eseguire un milione di istruzioni di alto livello al secondo.

L’indicazione very long indica che il tempo di calcolo supera 10²⁵ anni.

(23)

Alcuni problemi facili

(che ammettono un algoritmo polinomiale)

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Premessa: i grafi

Nel 1736, il matematico Eulero, affrontò l’annoso problema dei 7 ponti di Königsberg (Prussia):

È possibile o meno fare una passeggiata che parta da

un qualsiasi punto della città e percorra una ed una

sola volta ciascuno dei 7 ponti?

(25)

La modellizzazione di Eulero

Eulero affrontò il problema schematizzando

topologicamente la pianta della città, epurando così l’istanza da insignificanti dettagli topografici:

…e così Königsberg venne rappresentata con un insieme di 4 punti (uno per ciascuna zona della

A

B

C

D

A

B

C

D

(26)

Definizione di grafo

Un grafo G=(V,E) consiste in:

- un insieme V={v

₁

,…, v

_n

} di vertici (o nodi);

- un insieme E={(v

_i

,v

_j

) | v

_i

,v

_j

 V} di coppie (non ordinate) di vertici, detti archi.

Esempio: Grafo di Eulero associato alla città di Königsberg: V={A,B,C,D}, E={(A,B), (A,B), (A,D), (B,C), (B,C), (B,D), (C,D)}

Nota: È più propriamente detto multigrafo, in quanto contiene archi paralleli.

A

B

C

D

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Torniamo al problema dei 7 ponti…

• Definizione: Un grafo G=(V,E) si dice percorribile (oggi si direbbe Euleriano) se e solo se contiene un cammino (non semplice, in generale) che passa una ed una sola volta su ciascun arco in E.

• Teorema di Eulero: Un grafo G=(V,E) è percorribile se e solo se è connesso ed ha tutti i nodi di grado pari, oppure se ha esattamente due nodi di grado dispari.

• NOTA: Un grafo con tutti i nodi di grado pari può essere percorso partendo da un qualsiasi nodo (e terminando quindi su di esso). Invece, per percorrere un grafo avente due nodi di grado dispari e tutti gli altri di grado pari, è necessario partire da uno qualsiasi dei due nodi di grado dispari, e

terminare il percorso sull’altro nodo di grado dispari.

(28)

Soluzione al problema dei 7 ponti

 Il problema dei 7 ponti non ammette soluzione, in

quanto i 4 nodi hanno tutti grado dispari, e quindi il grafo non è percorribile. La cosa importante da notare è che la percorribilità può ovviamente essere stabilità

efficientemente (addirittura in tempo lineare rispetto

alla dimensione del grafo), semplicemente guardando al

grado dei nodi del grafo!

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Un problema molto importante su grafi:

il cammino minimo tra due nodi

dato un grafo pesato G=(V,E) con pesi positivi sugli archi, e dati due nodi u e v, trovare un cammino da u a v di costo minimo (che minimizza la somma dei pesi degli archi del cammino)

u

3

v 2

6

7

4 5

10

18

2 9

6

1 8

30

20

44

16 11

6

18 6

(30)

2-colorabilità

Dato un grafo G (non diretto e non pesato) dire se è possibile colorare i nodi di G con 2 colori in modo tale che per ogni coppia di nodi adiacenti, i due nodi abbiano colori diversi

Esistono soluzioni efficienti per tale problema: basta verificare se il grafo è bipartito mediante una visita in profondità del grafo, la quale

(31)

Alcuni problemi molto simili a ciclo Euleriano, cammino minimo e 2-colorabilità ma (sorprendentemente) difficili!

(per i quali non si conosce nessun algoritmo polinomiale)

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Ciclo Hamiltoniano

Dato un grafo non orientato G=(V,E) dire se G ammette un ciclo che passa per tutti i nodi una e una sola volta

(33)

Cammino massimo

Dato un grafo G (non diretto e non pesato) e due nodi s e t, trovare il cammino (semplice) più lungo fra s e t

s

t

s

t

(34)

3-colorabilità

Dato un grafo G (non diretto e non pesato) dire se è possibile colorare i nodi di G con 3 colori in modo tale che per ogni coppia di nodi adiacenti, i due nodi abbiano colori diversi

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Algoritmi approssimati

D. Supponiamo di dover risolvere un problema NP-hard. Cosa posso fare?

R. La Teoria dice che è improbabile trovare un algoritmo che abbia tempo polinomiale.

Dobbiamo sacrificare una delle tre caratteristiche desiderate.

 Risolvere il problema all'ottimo.

 Risolvere il problema in tempo polinomiale.

 Risolvere istanze arbitrarie del problema.

Algoritmo di -approssimazione.

 Gira in tempo polinomiale.

 Risolve istanze arbitrarie del problema.

 Trova soluzioni entro un rapporto  dal vero ottimo.

(36)

Approssimazione

•

Un algoritmo che restituisce una

risposta C che è “vicina” alla soluzione ottima C* è detto un algoritmo di

approssimazione .

•

La “vicinanza” solitamente è misurata dal limite del rapporto  (n) che

l'algoritmo produce :

•

Pb di Minimizzazione: C/C* ≤ (n)

•

Pb di Massimizzazione: C*/C ≤ (n)

(37)

Esempio: VERTEX-COVER

Istanza: un grafo non diretto G=(V,E).

Problema: trovare un insieme CV di taglia minima tale che per ogni (u,v)E, o uC

oppure vC.

Esempio:

(38)

Un algoritmo di 2-approssimazione

C   E’  E

while E’  

 do sia (u,v) un arco arbitrario di E’

 C  C  {u,v}

 rimuovi da E’ ogni arco incidente a u oppure a v.

return C.

(39)

Demo

(40)

La complessità temporale è O(n

³

), ossia, polinomiale

C   E’  E

while E’  

^do

 sia (u,v) un arco arbitrario di E’

 C  C  {u,v}

 rimuovi da E’ ogni arco incidente a u oppure a v

return C

O(n

²

) O(1)

O(n)

O(m)=O(n

²

)

(41)

Correttezza

L’insieme di vertici che il nostro algoritmo

restituisce è chiaramente un vertex-cover,

dato che iteriamo fino a che ogni arco viene

coperto.

(42)

Quanto è buona un’approssimazione?

Osserviamo l’insieme di archi scelti dal nostro algoritmo

il nostro VC li contiene entrambi, quindi è al più grande il doppio rispetto a qualsiasi VC, e in particolare del VC ottimo, cioè:

 ogni VC ne contiene 1 in ognuno

nessun vertice in comune!

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