(8x2−6xy + 3y2)e2x+3y

ESERCIZI SULLA RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI E ES- TREMI

ESEMPIO 1 Determinare gli eventuali punti stazionari della seguente funzione nel suo campo di esistenza, specificandone la natura:

f(x, y) = (8x²−6xy + 3y²)e^2x+3y.

Osserviamo innanzitutto che il dominio di f `e tutto R² e che f ∈ C^∞(R²).

Quindi gli estremi di f devono essere punti stazionari e quindi soddis- fare la condizione 5f (x, y) = (0, 0), cio`e il sistema di equazioni

 f_x⁰(x, y) = 0 f_y⁰(x, y) = 0 Calcoliamo quindi f_x⁰ e f_y⁰.

f_x⁰(x, y) = (16x − 6y)e^2x+3y+ (8x²−6xy + 3y²) · 2e^2x+3y

= 2(8x²−6xy + 3y²+ 8x − 3y)e^2x+3y

f_y⁰(x, y) = (−6x + 6y)e^2x+3y+ (8x²−6xy + 3y²) · 3e^2x+3y

= 3(8x²−6xy + 3y²−2x + 2y)e^2x+3y. Il sistema da risolvere `e quindi

 2(8x²−6xy + 3y²+ 8x − 3y)e^2x+3y = 0 3(8x²−6xy + 3y²−2x + 2y)e^2x+3y = 0

Poich´e e^2x+3y 6= 0 per ogni (x, y) ∈ R², ci possiamo ricondurre al sistema equivalente

 8x²−6xy + 3y²+ 8x − 3y = 0 8x²−6xy + 3y²−2x + 2y = 0

Applichiamo il ”metodo di riduzione per sottrazione”, cio`e sottraiamo la seconda equazione dalla prima; otteniamo la condizione

y= 2x.

Sostituiamo ora questa condizione in una delle due equazioni, ad esem- pio nella prima; otteniamo

8x²−12x²+ 12x²+ 8x − 6x = 0 8x²+ 2x = 0 x(4x + 1) = 0,

1

2

equazione in x che `e verificata se e solo se x= 0 oppure x = −1

4.

Poich´e y = 2x, abbiamo che i punti stazionari di f hanno coordinate P = (0, 0) , Q =



−1 4,−1

2

 .

Cerchiamo ora di stabilirne la natura studiando la matrice Hessiana H_f(x, y) = f_xx⁰⁰ (x, y) f_xy⁰⁰ (x, y)

f_yx⁰⁰ (x, y) f_yy⁰⁰ (x, y)



calcolata nei due punti stazionari P e Q. Le derivate (parziali) seconde di f sono

f_xx⁰⁰ (x, y) = 2(16x − 6y + 8)e^2x+3y + 4(8x²−6xy + 3y²+ 8x − 3y)e^2x+3y

= 4(8x²−6xy + 3y²+ 16x − 6y + 4)e^2x+3y

f_xy⁰⁰ (x, y) = f_yx⁰⁰ (x, y) = 2(−6x + 6y − 3)e^2x+3y+ 6(8x²−6xy + 3y²+ 8x − 3y)e^2x+3y

= 6(8x²−6xy + 3y²+ 6x − y − 1)e^2x+3y

f_yy⁰⁰ (x, y) = 3(−6x + 6y + 2)e^2x+3y+ 9(8x²−6xy + 3y²−2x + 2y)e^2x+3y

= 3(24x²−18xy + 9y²−12x + 12y + 2)e^2x+3y

Consideriamo il punto stazionario P = (0, 0) e sostituiamo le sue co- ordinate nelle espressioni delle derivate seconde. Otteniamo cos`ı la matrice

H_f(0, 0) =

 16 −6

−6 6

 . Osserviamo che

det(Hf(0, 0)) = 96 − 36 = 60 > 0 f_xx⁰⁰ (0, 0) = 16 > 0.

Allora (0, 0) `e un punto di minimo relativo per f .

Analogamente, consideriamo ora il punto stazionario Q = −¹₄,−¹₂
.

Otteniamo cos`ı la matrice H_f



−1 4,−1

2



=

 14e⁻² −9e⁻²

−9e^{−2 3}₂e⁻²

 . Osserviamo che

det

 H_f



−1 4,−1

2



= 21e⁻⁴−81e⁻⁴ = −60e⁻⁴ <0.

Allora −¹₄,−¹₂
`e un punto di sella per f .

3

Determinare gli eventuali punti stazionari delle seguenti funzioni nel loro campo di esistenza, specificando se sono punti di massimo rela- tivo, minimo relativo o punti di sella:

f(x, y) = e^x2+y2 − ³₂x² f(x, y) = (x²− y²) log(xy) f(x, y) = (x + y)e^−(x2+y2) f(x, y) =

1 y +_x^y

e^x

f(x, y) = y³+ 3x²y−30y − 18x f(x, y) = e(x−1)(y−2x)+ (y − 2)² f(x, y) = 2 log(x²+ y²−1) + x + 2y f(x, y) = log(1 + x²+ 3y²) − y² f(x, y) = y log(2x + y)

f(x, y) = x²+ e^y2−2x2

f(x, y) = log(1 + x²) − x²+ xy − y² f(x, y) = x⁴+ (x − y)³

(SUGG: l’unico punto stazionario per questa f `e (0, 0) e Hf(0, 0) risulta essere la matrice identicamente nulla: concludere studiando la natura del punto (0, 0) per la f ristretta agli assi...)