e2x`e una soluzione dell’equazione differenziale y000− 7y = e2x 2 2 • Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono): x→−∞lim sin(πx) x

Pisa, 15 Gennaio 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

arctan(3x + 5) = arctan(5x + 3) =⇒ x = 1 2 2

L’equazione |x + 1| = |x + 8| non ha soluzioni reali 2 2

a_n+1 → 3 =⇒ a_n+3 → 1 2 2

{na_n} → 11 =⇒ a_n `e limitata 2 2

L’equazione sinh x = 2000^−x non ha soluzioni reali 2 2

sin x = x + o(x²) per x → 0⁺ 2 2

Esiste M ∈ R tale che e^x+ sin x > 2000 per ogni x ≥ M 2 2

√n

a_n → 2000 =⇒ P a_n converge 2 2

y(x) = e^2x`e una soluzione dell’equazione differenziale y⁰⁰⁰− 7y = e^2x 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

sin(πx)

x = . . . lim

x→0⁺

sin(πx)

x = . . . lim

x→3

sin(πx)

x = . . . .

infx ∈ R : x² < 5 = . . . . min {|4n − 11| + 3 : n ∈ N} = . . . .

• Siano

f (x, y) = xy +√

e y, A =(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 Calcolare:

∂²f

∂x ∂y(2, 5) = . . . .

Z

A

f (x, y) dx dy = . . . .

Pisa, 3 Febbraio 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

|3x + 5| = |5x + 3| =⇒ x = 1 2 2

arccos(cos 9) = 9 2 2

cosh 9 ≥ sinh 9 2 2

a_n → −3 =⇒ a_3n → −3 2 2

L’equazione | cos x| = |x| ha esattamente una soluzione reale 2 2 sin√

x =√

x + o(√

x) per x → 0⁺ 2 2

2ⁿ− n²⁰⁰⁰ ≥ 3π definitivamente 2 2

{na_n} → 2000 =⇒ P a_n converge 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| ≤ 3, y < 8} `e limitato 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim 4^x

x³ = . . . lim

x→0⁺

4^x

x³ = . . . lim

x→1

4^x

x³ = . . . .

supx ∈ R : x¹⁰− 2x⁹ < 0 = . . . . min|x²− 3| + 5 : x ∈] − 10, 10[ = . . . .

• Siano

f (x, y) = | cos x| + y log 2, A =(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x Calcolare:

∂f

∂x(0, 2) = . . . .

Z

A

∂f

∂y(x, y) dx dy = . . . .

Pisa, 17 Febbraio 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

|x| = |2x| =⇒ x = 0 2 2

| cos x + 3| = cos x + 3 per ogni x ∈ R 2 2

L’equazione cosh x = x + 9 non ha soluzioni reali 2 2

(a_n)³ → 5 =⇒ a_n ha limite 2 2

Esiste min {arctan x³ : x ∈ R} 2 2

1 − cos x = o(x) per x → 0⁻ 2 2

Esiste M ∈ R tale che e^−x+ sin x ≥ 2 per ogni x ≥ M 2 2

0 ≤ a_n≤ b_n eP b_n diverge =⇒ P a_n diverge 2 2

y(x) = x² `e una soluzione dell’equazione differenziale y⁰ = 3y²+ 1 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

cos(πx)

x³ = . . . lim

x→0⁺

cos(πx)

x³ = . . . lim

x→2

cos(πx)

x³ = . . . .

maxn ∈ N : n² ≤ 73 = . . . . min {|x − 5| + 2 : x ∈ [0, 3]} = . . . .

• Siano

f (x, y) = x cos 1 + y cos 2, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1 Calcolare:

∂²f

∂x ∂y(e, 4) = . . . .

Z

A

∂f

∂y(x, y) dx dy = . . . .

Pisa, 3 Giugno 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

|x| = |x − 2| =⇒ x = 1 2 2

La soluzione della disequazione sin x < e^x `e tutto R 2 2 L’equazione | sinh x| = 2000 ha esattamente due soluzioni reali 2 2

a_n → 5 =⇒ a_5n → 1 2 2

sinh x = o(x) per x → 0⁻ 2 2

Esiste min{x²+ sin x : x ∈ R} 2 2

Esiste M ∈ N tale che n⁴⁰− 2ⁿ ≤ 8 per ogni n ≥ M 2 2 0 ≤ a_n≤ b_n e P a_n converge =⇒ P b_n converge 2 2 f (x, y) = x⁴+ y⁴ ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

cos(2x)

|x| = . . . lim

x→0

cos(2x)

|x| = . . . lim

x→1⁺

cos(2x)

|x| = . . . .

min {x ∈ [−8, 8] : sin x + cos x ≤ 3} = . . . . sup

x²− 1

: x ∈ [0, 4] = . . . .

• Siano

f (x, y) = x²y + x⁸+ sin y⁸, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, x ≥ 0 Calcolare:

∂²f

∂x ∂y(1, 2) = . . . .

Z

A

1 dx dy = . . . .

Pisa, 24 Giugno 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

log(5x + 4) = log(4x + 5) =⇒ x = 1 2 2

x² ≥ 16 =⇒ x ≥ 4 2 2

L’equazione sinh x = cos 3x non ha soluzioni reali 2 2

a_n+3→ 3 =⇒ a_n+ 3 → 6 2 2

L’equazione x³+ sin x + arctan e^x = 0 non ha soluzioni reali 2 2

cosh x = 1 + o(x) per x → 0 2 2

Per ogni M ∈ R esiste x ∈ R tale che 2^x > M 2 2

{n²a_n} → 2000 =⇒ P a_n converge 2 2

y(x) = x² `e una soluzione dell’equazione differenziale xy⁰ = 2y 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

sin 6x

x = . . . lim

x→0⁻

sin 6x

x = . . . lim

x→π⁺

sin 6x

x = . . . . min {n ∈ N : 3n ≥ 20} = . . . .

inf

20 − x²

: x ∈]0, 1[ = . . . .

• Siano

f (x, y) = y + 3 sin xy, A =(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1 Calcolare:

∂²f

∂x ∂y(0, 0) = . . . .

Z

A

1 dx dy = . . . .

Pisa, 15 Luglio 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

x³ ≥ 8 =⇒ x ≥ 2 2 2

log₄2²⁰⁰⁰ = log₃3¹⁰⁰⁰ 2 2

L’equazione cos x = cos(x + 3) non ha soluzioni reali 2 2

a_n → 4 =⇒ a_2n² → 32 2 2

L’equazione arctan e^{sinh x}
= 0 non ha soluzioni reali 2 2

e^x− 1 = o(x) per x → 0 2 2

Esiste m ∈ R tale che x²+ sin x ≥ m per ogni x ∈ R 2 2 a_n ≥ 0 e √ⁿ

a_n→ 8⁻¹ =⇒P a_n diverge 2 2

y(x) = x + e^x2 `e una soluzione dell’eq. differenziale y⁰ − 2xy + 2x² = 1 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim 2^x

x + 2 = . . . lim

x→−2⁺

2^x

x + 2 = . . . lim

x→+∞

2^x

x + 2 = . . . .

inf {x ∈ [0, 2π] : sin x > cos x} = . . . . sup7n − n² : n ∈ N = . . . .

• Siano

f (x, y) = sin(xe^x2) + y²sin e^y, A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 8 Calcolare:

∂²f

∂x ∂y(2, 3) = . . . .

Z

A

1 dx dy = . . . .

Pisa, 9 Settembre 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

x⁴ ≥ 16 =⇒ x² ≥ 4 2 2

La soluzione della disequazione √

x + 1 <√

x + 4 `e tutto R 2 2

x > 0 e y < 0 =⇒ sinh x · cosh y < 0 2 2

L’equazione |x²− 4| = 1 ha esattamente due soluzioni reali 2 2

Esiste min {log (sin x²+ 25) : x ∈ R} 2 2

a_n+1→ 8 =⇒ a_n → 7 2 2

Esiste M ∈ R tale che x² ≥ 2000 per ogni x ≤ M 2 2

P a_n converge =⇒ arctan a_n→ 0 2 2

y(x) = x²− e^x `e una soluzione dell’eq. differenziale y⁰− y = 2 − x² 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim 2^x

|x| + 1 = . . . lim

x→−1

2^x

|x| + 1 = . . . lim

x→+∞

2^x

|x| + 1 = . . . .

maxn ∈ N : n²− 8n + 3 < 0 = . . . . maxsin log x² : x ≥ 2000 = . . . .

• Siano

f (x, y) = 3x²y + 9y²sin 3^y, A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], 0 ≤ 2y ≤ x Calcolare:

∂²f

∂x ∂y(2, 3) = . . . .

Z

A

2y dx dy = . . . .

Pisa, 23 Settembre 2000

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

x⁴ ≥ 16 =⇒ x ≥ 2 2 2

La soluzione della disequazione sin(x + 1) + sin(x − 1) < 10 `e tutto R 2 2

a_n→ 3π =⇒ sin a_n → 0 2 2

L’equazione sinh x = 2000 ammette esattamente una soluzione reale 2 2 sin x + x = o(√

x) per x → 0⁺ 2 2

Esiste min {e^x : x ≥ 0} 2 2

Per ogni M ∈ R esiste x ∈ R tale che sin x > M 2 2

a_n→ 0 =⇒ P a_n converge 2 2

La soluzione generale di y⁰⁰+ y = 0 `e y(x) = c₁cos 1 + c₂sin 1 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim

e^x− 1

x² = . . . lim

x→0⁺

e^x− 1

x² = . . . lim

x→+∞

e^x− 1

x² = . . . .

sup {n ∈ N : n + sin n ≥ 2000} = . . . . inf {sin x : x ∈ [1, 3]} = . . . .

• Siano

f (x, y) = 4|x|y², A =(x, y) ∈ R² : y ≤ x, x²+ y² ≤ 5 Calcolare:

∂²f

∂y²(2, 3) = . . . .

Z

A

1 dx dy = . . . .