QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020

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QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020

MODULO 11 OSSERVAZIONE: RICHIAMI E CONCETTI PRIMITIVI Una linea, così come una retta, nel piano, è un concetto primitivo.

Definendo vari postulati eravamo arrivati a definire i segmenti e le poligonali e a distinguere le poligonali chiuse da quelle aperte, quelle intrecciate da quelle non intrecciate.

In modo analogo, sostituendo le rette con le linee (nel senso di pensare anche a delle linee curve), possiamo arrivare a definire nel piano linee chiuse non intrecciate (semplici).

Abbiamo imparato anche a distinguere i punti interni dai punti esterni ad una figura, nel caso in cui una figura divida il piano in una parte che può contenere le rette (esterna) ed una parte che non può contenere le rette (interna).

[Vedi cap.1 vol.Geometria]

DEFINIZIONE

Chiamiamo superficie piana limitata una figura costituita da una linea piana chiusa e semplice e da tutti i suoi punti interni. La linea piana chiusa e semplice si dice contorno o bordo della figura.

[pag. 238 vol.Geometria]

NOTAZIONE

Data una superficie A si indica con ̊A la sua parte interna e con ∂A il suo bordo.

ESEMPI

Pensiamo ad un triangolo: la poligonale chiusa composta dall'unione dei tre lati e tutti i punti interni costituiscono la superficie piana limitata che noi chiamiamo appunto triangolo.

Pensiamo ad un cerchio, ovvero a l'unione della circonferenza e della sua parte interna: il cerchio è la superfcie piana limitata, la circonferenza è il contorno.

Pensiamo invece ad un angolo convesso: non è una superficie piana limitata, è una superficie perché non contiene rette, è piana, ma non è limitata perché contiene semirette.

Pensiamo infine all'angolo concavo: non è neanche una superficie perché può contenere le rette.

OSSERVAZIONE

Due superficie possono apparire diverse alla vista, ma se volessi verniciarle dovrei impiegare la stessa quantità di vernice, o se dovessi pavimentarle dovrei usare lo stesso numero di mattonelle.

Questo è il concetto intuitivo (primitivo) di estensione di una superficie.

DEFINIZIONE

Due superfici si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione.

POSTULATO 1

L'equivalenza tra superfici è una relazione di equivalenza.

OSSERVAZIONE

Abbiamo stabilito con un postulato che l'equivalenza tra superfici soddisfa le proprietà della

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relazione di equivalenza:

A≡ A A≡B ⇔ B≡A A≡B∧B≡C ⇒ A≡C DEFINIZIONE

Si dice area di una superficie la classe di equivalenza a cui appartiene la superficie.

OSSERVAZIONE

Ricapitolando, data una certa figura nel piano definita da una linea chiusa semplice:

• la superficie è l'insieme dei punti interni unito al contorno;

• l'estensione della superficie è un concetto primitivo che mette in relazione superfici diverse;

• l'area della superficie è la classe di equivalenza.

Evidentemente due superfici equivalenti hanno la stessa area.

DEFINIZIONE

Siano A e B due superfici tali che ∂A∩∂ B=∅ . Si definisce somma A+B la superficie costituita da A∪B .

TEOREMA

La somma tra superfici gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.

Dimostrazione.

Ovvio, entrambe le proprietà discendono dalle proprietà insiemistiche POSTULATO

Consideriamo quattro figure A, A', B, B' A≡A' ∧B≡B ' ⇒ A+B≡A' +B ' [pag. 240 vol.Geometria]

DEFINIZIONE

La figura B si dice multiplo della figura A se esiste un numero naturale n tale che B≡n A intendendo n A come la somma di A con se stesso ripetuta n volte.

In tal caso si dice anche che A è sottomultiplo di B.

DEFINZIONE

La figura A si dice maggiore di B se B è equivalente ad una parte di A. In tal caso si dice anche che la figura B è minore di A.

NOTAZIONE

Useremo anche il simbolo di disuguaglianza che abitualmente usiamo con i numeri. A> B .

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POSTULATO

Date due superfici A e B può verificarsi una sola di queste condizioni:

A> B A≡B A< B [pag. 240 vol.Geometria]

DEFINIZIONE

Date due figure A e B tali che A> B , si dice differenza A – B l'insieme C tale che A + B = C [pag. 240 vol.Geometria]

OSSERVAZIONE

Come sempre si definisce la sottrazione come “marcia indietro” dell'addizione.

POSTULATO

Consideriamo quattro figure A, A', B, B' con A> B ^. A≡A'∧B≡B ' ⇒ A−B≡A'−B '

POSTULATO

Due figure congruenti sono equivalenti [pag. 241 vol.Geometria]

OSSERVAZIONE

Ci sorprende che si debba “sprecare” un postulato per un concetto che appare molto ovvio. Il problema è che abbiamo ancora pochi elementi per poter dimostrare teoremi e poi in fin dei conti i postulati si occupano (anche ma non solo) di cose che ci appaiono evidenti.

DEFINIZIONE

Due figure si dicono equiscomponibili se sono somme di figure rispettivamente congruenti.

TEOREMA (CRITERIO DI EQUIVALENZA)

Se due figure sono equiscomponibili allora sono equivalenti [pag. 241 vol.Geometria]

Dimostrazione:

Per definizione, due figure equiscomponibili sono somme di figure rispettivamente congruenti.

Per un postulato due figure congruenti sono equivalenti.

Per un altro postulato la somme di figure rispettivamente equivalenti sono equivalenti.

Dunque, vedendo le due figure come somme di figure rispettivamente equivalenti possiamo affermare la tesi.

OSSERVAZIONE

Non vale il viceversa, anche se l'esempio di figure equivalenti ma non equiscomponibili è un po' complicato, ci basti pensare ad un quadrato ed un cerchio che possono essere equivalenti ma mai equiscomponibili (avete mai sentito parlare del problema della quadratura del cerchio?).

Se ci limitiamo all'insieme dei poligoni, allora vale anche il viceversa. La dimostrazione è in generale complicata e quindi la daremo per buona.

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TEOREMA (EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI)

Due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti una base e l'altezza relativa, sono equivalenti.

Dimostrazione:

Siano ABCD e MNPQ due parallelogrammi tali che:

sono congruenti le basi AB e MN sono congruenti le altezze DH e QK

Costruiamo sul parallelogramma ABCD un nuovo quadrilatero ABEF tale che l'angolo

̂ABF≡̂NMQ e che F appartenga alla retta DC.

Il punto E infine lo otteniamo come intersezione della parallela ad AF passante per B e DC.

ABEF è un parallelogramma, visto che AB e DC sono parallele perché ABCD è un parallelogramma e che AF e BE sono parallele per costruzione.

Si osservi anche che il quadrilatero HTFD è un rettangolo: per definizione di altezza gli angoli in H e T sono entrambi retti, oltretutto sono coniugati interni supplementari e quindi DH e FT sono parallele, HT e DF sono pure parallele perché segmenti contenuti in rette parallele, insomma HTFD è un parallelogramma con due angoli retti e quindi con tutti gli angoli retti e quindi un rettangolo.

In particolare sono congruenti i lati DH e FT.

Per ipotesi DH è congruente all'altezza QK dell'altro parallelogramma, quindi per proprietà transitiva anche FT è congruente a QK.

Osserviamo adesso i triangoli ATE e MKQ: sono rettangoli, hanno un altro angolo congruente per costruzione ̂TAF≡̂KMQ e un lato congruente FT ≡QK , quindi per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli sono congruenti.

In particolare sono congruenti i lati AF e MQ

Possiamo a questo punto affermare che i parallelogrammi ABEF e MNPQ sono congruenti perché hanno i due lati congruenti e l'angolo compreso congruente.

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Quindi possiamo affermare di aver trasportato con un movimento rigido, il parallelogramma MNPQ sul parallelogramma ABCD, facendo coincidere la base AB con la base MN e ottenendo la figura sopra, cioè con CD ed EF che hanno una parte in comune (ma possono verificarsi altre due situazioni).

Conclusione nel caso della figura sopra:

A questo punto consideriamo i triangoli AFD e BEC: tali triangoli sono congruenti per il terzo criterio, in quanto AF è congruente a BE perché lati opposti di un parallelogramma, AD congruente a BC perché lati opposti di un parallelogramma e anche DF è congruente a CE perché differenza di lati congruenti (si ottengono sottraendo al lato EF o al lato DC, che sono congruenti per tutto quanto detto sopra, il segmento comune FC).

In conclusione abbiamo scomposto i due parallelogrammi in due figure congruenti: l'intersezione ABCF e i triangoli congruenti AFD e BEC.

Dunque i paralleogrammi ABCD e ABEF sono equivalenti, inoltre ABEF è congruente a MNPQ e quindi anche equivalente. Per la proprietà transitiva ABCD è equivalente a MNPQ c.v.d.

Possono verificarsi questi altri due casi:

Conclusione nel caso in cui C ed F coincidono:

idem come sopra, anzi è più immediato il fatto che i due triangoli hanno tutti e tre i lati congruenti.

Conclusione nel caso in cui DC e EF non abbiano punti in comune:

Dimostriamo la congruenza dei triangoli BEC e AFD con il terzo criterio osservando che il terzo lato è somma di segmenti congruenti e la parte in comune CF. Per sottrazione ottengo due quadrilateri equivalenti e una parte comune sul quale ripetere il solito ragionamento.

COROLLARIO

Un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo avente rispettivamente congruenti una base e l’altezza relativa a essa.

Dimostrazione:

Per il teorema sopra due parallelogrammi sono equivalenti se hanno congruenti base e altezza relativa a quella base.

Dunque nella classe di equivalenza dei parallelogrammi equivalenti c'è anche il rettangolo che ha i lati congruenti a base e altezza relativa (che nel caso del rettangolo coincide con il secondo lato).

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TEOREMA (EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMA E TRIANGOLO)

Un triangolo di base b e altezza relativa h è equivalente ad un parallelogramma di base congruente a metà di b e l’altezza relativa congruente a h.

Dimostrazione:

Consideriamo il triangolo generico ABC.

Sia D il punto medio di AB.

Tracciamo la parallela alla retta AC passante per D.

Tracciamo la parallela alla retta AB passante per C.

E è il punto di incontro di queste due rette.

F è il punto di incontro tra DE e BC.

Si osservi che il quadrilatero ADEC è un parallelogramma, visto che per costruzione AD è parallelo a CE e AC è parallelo DE.

Si osservi che i triangoli DBF e FEC sono congruenti per il secondo criterio:

̂FDB≡̂CEF

̂ABC≡̂FCE

perché coppie di alterni interni rispetto alle rette parallele AB e CE tagliate dalle trasversali DE per la prima coppia e CB per la seconda coppia.

Inoltre i lati CE e DB sono congruenti perché DB è congruenti a AD essendo D il punto medio di AB e AD è congruente a CE perché il quadrilatero ADEC è un parallelogramma. Dunque per proprietà transitiva DB è congruente a CE.

Abbiamo così dimostrato che il triangolo ABC e il parallelogramma ADEC sono scomponibili in figure congruenti: un trapezio in comune ADFC congruente a se stesso e i triangoli DBF e FEC per i quali abbiamo dimostrato la congruenza di sopra.

Dunque il triangolo e il parallelogramma che abbiamo costruito sono equiscomponibili.

Inoltre, per come abbiamo costruito la figura si vede facilmente che la perpendicolare per C alla retta AB è sia altezza relativa del triangolo rispetto alla base AB che altezza relativa del parallelogramma rispetto alla base AD, metà del segmento AB.

COROLLARIO

Due triangoli con basi e altezze rispettivamente congruenti sono equivalenti.

Dimostrazione:

Consideriamo due triangoli con basi b e b' congruenti e altezze relative h e h' congruenti.

Per il teorema appena dimostrato il triangolo con base b e altezza h è equivalente ad un parallelogramma con base congruente a metà di b e altezza congruente ad h. Sempre per il teorema precedente tale parallelogramma è pure equivalente al secondo triangolo che ha base b' congruente al doppio della metà di b (cioè b) e altezza h' congruente ad h.

Dunque, per la proprietà transitiva i due triangoli sono equivalenti.

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OSSERVAZIONE

Può apparire strano che si debba passare per i parallelogrammi per dimostrare l'equiscomponibilità tra i due triangoli, d'altra parte le casistiche dei triangoli possono essere diverse e quindi alla fine questo è il modo più semplice di dimostrarlo.

TEOREMA (EQUIVALENZA TRAPEZIO-TRIANGOLO)

Un trapezio è equivalente a un triangolo avente base congruente alla somma delle basi del trapezio e altezza congruente a quella del trapezio.

Dimostrazione:

Consideriamo il trapezio ABCD con base maggiore AB e base minore DC.

Prolunghiamo la base AB di un segmento BE congruente a DC.

Abbiamo così costruito il triangolo AED con l'intenzione di dimostrare che è equivalente al trapezio.

Si osservi che i triangoli BEF e FCD sono congruenti per il secondo criterio, infatti:

̂BEF ≡̂FDC

̂FBE≡̂DCF

Perché coppie di alterni interni rispetto alle parallele AB e DC (le basi del trapezio) e le trasversali DE (per la prima coppia) e BC (per la seconda coppia).

Inoltre i lati BE e DC sono congruenti per costruzione.

Dunque il trapezio ABCD e il triangolo AED sono scomponibili in figure congruenti: il quadrilatero comune ABFD congruente a se stesso e i triangoli congruenti BEF e FCD, dunque ABCD e AED sono equivalenti.

L'altezza relativa alla base AB del trapezio è lo stesso segmento che è altezza relativa alla base AE del triangolo e la base AE=AB+BE per costruzione.

Il teorema è così dimostrato.

TEOREMA

Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è equivalente alla metà del rettangolo avente i lati congruenti alle sue diagonali.

[pag. 245 vol.Geometria, esercizio n.4 pag.262]

Dimostrazione:

Consideriamo il quadrilatero ABCD tale che le sue diagonali AC e BD siano perpendicolari tra loro.

Costruiamo un rettangolo tracciando le parallele a BD per A e per C e le parallele ad AC per B e per D. Otteniamo il rettangolo EFGH come in figura. (Il fatto che sia un rettangolo ci è assicurato dalla perpendicolarità delle diagonali e dei rispettivi fasci di parallele).

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Si osservi che le diagonali perpendicolari scompongono il quadrilatero ABCD in quattro triangoli rettangoli. Nella figura non è indicato il punto di intersezione delle diagonali, noi lo chiameremo O.

Concentriamoci sul triangolo AOB, si osservi che è congruente al triangolo ABF per il semplice motivo che sono entrambi rettangoli, il primo per ipotesi, il secondo per costruzione, e che hanno in comune proprio il lato che guarda l'angolo retto (l'ipotenusa).

In modo del tutto analogo posso ripetere il ragionamento per gli altri tre triangoli della scomposizione di ABCD.

Dunque il rettangolo EFGH è scomponibile in rettangoli che sono doppi dei triangoli nei quali è scomposto ABCD (all'inizio del capitolo avevamo definito i multipli delle figure equivalenti).

Ricordiamo anche che, i lati FE e GH sono congruenti alla diagonale BD e i lati EH e FG sono congruenti alla diagonale AC proprio perché EFGH è un rettangolo.

In conclusione il rettangolo EFGH è equivalente al doppio del quadrilatero ABCD, ovvero il quadrilatero ABCD è equivalente alla metà del rettangolo EFGH, c.v.d.

COROLLARIO

Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente i lati congruenti alle sue diagonali.

Dimostrazione:

Si tratta di un caso particolare del teorema dimostrato in precedenza: il rombo è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, quindi, per il teorema precedente, è equivalente alla metà del rettangolo con i lati congruenti alle diagonali del rombo. C.v.d.

TEOREMA

Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo avente base di lunghezza uguale al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza.

Dimostrazione (caso quadrilatero):

Sia ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r, ovvero i suoi lati sono tutti tangenti alla circonferenza.

Per quanto studiato sulle proprietà dei poligoni circoscritti alla circonferenze, sappiamo che le bisettrici degli angoli interni del quadrilatero si incontrano nel centro O della circonferenza.

Inoltre sappiamo che nel punto di tangenza la retta tangente è perpendicolare al raggio, dunque se osserviamo la figura a sinistra, possiamo notare come il quadrilatero sia divisibile in quattro

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triangoli, ognuno dei quali ha come base un lato del quadrilatero e come altezza relativa alla base il raggio della circonferenza, mentre gli altri due lati sono segmenti contenuti nelle bisettrici degli angoli interni.

Nella figura di destra invece abbiamo disegnato un triangolo che ha come base il perimetro del quadrilatero e come altezza il raggio della circonferenza. Poi abbiamo ripartito la base in segmenti congruenti ai lati del quadrilatero:

MN ≡AB NQ≡BC QR≡DC RS ≡DA

Adesso richiamiamo alla memoria quel corollario che diceva: “due triangoli con base e altezza relativa congruenti, sono equivalenti”. Grazie a questo corollario possiamo affermare che i quattro triangoli della figura a sinistra sono rispettivamente equivalenti ai quattro triangoli della figura a destra: basi rispettivamente congruenti e altezza relativa congruente per tutti quanti al raggio della circonferenza.

Dunque il quadrilatero a sinistra è equivalente al triangolo a destra per somma di figure equivalenti.

Abbiamo così dimostrato la tesi nel caso del quadrilatero.

Dimostrazione (caso poligono n lati):

I ragionamenti fatti nella dimostrazione precedente possono essere perfettamente riproposti anche per un generico poligono di n lati. Tutte le proprietà che abbiamo utilizzato rimangono valide (raggio tangente al lato, lati bisettrici degli angoli interni).

COROLLARIO

Un poligono regolare è equivalente a un triangolo avente base di lunghezza uguale al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema del poligono stesso.

Dimostrazione:

Un poligono regolare è sempre circoscrivibile ad una circonferenza. L'apotema di un poligono regolare è appunto il raggio della circonferenza circoscritta.

A questo punto applichiamo il teorema che abbiamo dimostrato sopra ed abbiamo così dimostrato anche questo corollario.

DEFINIZIONE

Si dice trasformazione una funzione dall'insieme delle figure del piano in se stesso.

OSSERVAZIONE

La relazione di equivalenza definita dall'equiscomponibilità o dall'equiestensione (che dir si voglia) ci permette di definire una vera e propria funzione dall'insieme delle figure del piano in se stesso (ovvero una trasformazione). Per esempio è possibile trasformare un poligono convesso in un triangolo equivalente, oppure trasformarlo in un rettangolo equivalente, o ancora trasformare triangoli in altri triangoli con certe condizioni.

OSSERVAZIONE: RIDUZIONE DI UN LATO

Possiamo trasformare un poligono convesso di n lati in un poligono equivalente di n-1 lati.

[pag.246 vol. Geometria. Esercizio n.5 pag.262]

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Nella figura vediamo un esagono ABCDEF trasformato in un pentagono equivalente ABCDG. Come?

Prendiamo tre vertici consecutivi E, F, A.

Tracciamo la diagonale AE.

Tracciamo la parallela ad AE passante per F.

Prolunghiamo il lato DE.

G è il punto di intersezione di questo prolungamento con la parallela di sopra.

Adesso osservate i triangoli AEG e AFE. Hanno la stessa base AE e la loro altezza corrisponde alla distanza tra le rette parallele AE e FG, dunque hanno altezze relative alla base congruenti. Dunque tali triangoli sono equivalenti.

Dunque l'esagono ABCDEF e il pentagono ABCDG sono equivalenti perché somme di figure equivalenti: la parte comune ABCDE sommata a uno dei due triangoli equivalenti.

Il ragionamento che abbiamo utilizzato può essere generalizzato a qualunque poligono convesso di n lati: ci interessa soltanto prendere i tre vertici consecutivi.

OSSERVAZIONE: TRASFORMAZIONE IN TRIANGOLO

Ovviamente non è possibile ridurre di un lato un triangolo, però, un passo alla volta, qualunque poligono convesso di n lati può essere trasformato in un triangolo equivalente.

OSSERVAZIONE

Se il poligono è concavo la situazione è decisamente più complessa e le casistiche troppo numerose:

con un quadrilatero concavo le cose potrebbero ancora funzionare, ma quando i vertici sono tanti...

Nel nostro ragionamento la convessità ci serve ad essere sicuri che la base AE del triangolo sia all'interno della figura, anche perché stiamo cercando una scomposizione della superficie, e se AE non fosse completamente contenuto nella figura non potrei nemmeno parlare di scomposizione.

Potrei ridurre di un lato anche figure concave, a condizione che la base AE sia completamente contenuta nelle figure (sia quella da trasformare che quella trasformata).

OSSERVAZIONE: TRIANGOLO EQUIVALENTE CON ALTEZZA ASSEGNATA Possiamo trasformare un generico triangolo, in un triangolo con un'altezza assegnata.

Consideriamo un generico triangolo ABC. Ci viene chiesto di trasformarlo in un triangolo equivalente con altezza h.

Traccio la parallela t alla base AB, distante h. In questo modo si determina il punto D come intersezione della retta AC con la parallela t. Nella figura a sinistra vedete il caso in cui D appartenga al segmento AC, nella figura a destra invece il caso in cui D stia sulla retta

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prolungamento di AC.

Figura a sinistra.

Nel caso in cui D appartenga al segmento AC, tracciamo DB e per C la parallela a DB. Il punto E viene determinato dall'intersezione del prolungamento di AB con la parallela a DB.

Abbiamo adesso il triangolo AED che ha altezza h, come richiesto, resta da dimostrare che sia equivalente al triangolo ABC.

Si osservi che i triangoli BED e BCD sono equivalenti: infatti se considero la base comune BD, l'altezza relativa è per entrambi la distanza tra le due rette parallele BD e CE.

Dunque i triangoli ABC e AED sono somme di figure equivalenti: la parte comune ABD equivalente a se stessa e uno dei triangoli equivalenti BED o BCD.

Figura a destra.

Per quanto riguarda il caso della figura a destra, con D sul prolungamento di AC, tracciamo il segmento BD e la parallela a BD che determina con il lato AB il punto di intersezione E.

Abbiamo adesso il triangolo ADE che ha altezza h come richiesto, resta da dimostrare che sia equivalente al triangolo ABC.

Si osservi che i triangoli CDE e BCE sono equivalenti, visto che hanno la stessa base in comune CE e l'altezza corrisponde alla distanza tra le due parallele CE e DB.

Dunque i triangoli ABC e ADE sono somme di figure equivalenti, la parte comune AEC equivalente a se stessa e uno dei due triangoli equivalenti CDE o BCE.

OSSERVAZIONE: TRIANGOLO EQUIVALENTE CON BASE ASSEGNATA [Pag.247 vol. Geometria. Esercizio n.6 pag.262]

Consideriamo un triangolo ABC, ci viene chiesto di trasformarlo in un triangolo equivalente con base assegnata b.

Per prima cosa prolungo la base AB di un segmento BD in modo tale che AD sia congruente a b.

(Evidentemente siamo nel caso b> AB ⁾ Poi tracciamo il segmento CD.

Poi tracciamo la parallela a CD passante per B. In questo modo identifichiamo il punto E come intersezione col lato AC.

Poi tracciamo il segmento ED.

A questo punto abbiamo il triangolo ADE con base congruente a b come richiesto. Resta da dimostrare che è equivalente al triangolo originale ABC.

Si osservi che i triangoli BDE e BCE sono equivalenti, infatti hanno la base in comune BE e come altezza relativa la distanza tra le due rette parallele BE e CD.

Dunque i triangoli ABC e ADE sono equivalenti come somme di figure equivalenti: la parte comune ABE equivalente a se stessa e uno dei due triangoli equivalenti BDE o BCE.

Rimane scoperto il caso b< AB ^.

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Ormai abbiamo capito “il trucco”!

Sul lato AB posizione il punto D in modo tale che AD sia congruente a b.

Poi traccio il segmento CD.

Poi traccio la parallela a CD per B.

Poi traccio il segmento DE.

Si osservi che i triangoli CDE e BCD sono equivalenti perché rispetto alla base in comune CD hanno la stessa altezza relativa che corrisponde alla distanza tra le rette parallele CD e BE.

Dunque il triangolo ADE che ha la base richiesta b, è equivalente al triangolo originale ABC in quanto somme di figure equivalenti: la parte comune ADC equivalente a se stessa e uno dei due triangoli equivalenti CDE e BCD.

OSSERVAZIONE

A questo punto abbiamo tutto quello che ci serve per trasformare un poligono convesso in un rettangolo di altezza o base assegnata (non entrambe assegnate, ovviamente).

Ricapitolando:

• Posso trasformare un poligono convesso di n lati in un poligono convesso equivalente di n-1 lati.

• Con n-3 passi lo trasformo in un triangolo equivalente.

• Posso trasformare il triangolo ottenuto in un triangolo con altezza assegnata oppure in un triangolo con base assegnata.

• Posso trasformare il triangolo ottenuto in un rettangolo che abbia un lato assegnato.

L'ultima fase è possibile grazie al fatto che il triangolo ottenuto è equivalente ad un parallelogramma con base doppia e stessa altezza, che a sua volta è equivalente al rettangolo con lati congruenti al doppio della base del triangolo e all'altezza.

Abbiamo praticamente creato le “mattonelle” per pavimentare qualunque superficie.

DEFINIZIONE

L'unità di misura dell'area di una superficie è un quadrato di lato unitario.

ESEMPIO

I metri quadrati. Inutile dire altro.

OSSERVAZIONE

Immaginando di “pavimentare” i poligoni convessi con multipli e sottomultipli di quadrati unitari, siamo in grado di assegnare dei numeri alle misure dell'area. A questo livello di studi sono sicuramente già note le formule per calcolare l'area di triangoli quadrati, rettangoli, parallelogrammi, trapezi, etc...

ESERCIZIO n.1 pag. 262

Quando due superfici si dicono equivalenti?

Per definizione due superfici si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione, un buon criterio

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che ci permette di riconoscerle quasi tutte è il teorema che dice che se due superfici sono equiscomponibili allora sono equivalenti. Equi-scomponibili vuol dire che sono scomponibili in figure rispettivamente congruenti.

ESERCIZIO n.2 pag.262

Quando due figure si dicono equiscomponibili?

Per definizione, due figure si dicono equi-scomponibili quando possono essere scomposte in figure rispettivamente congruenti.

Dimostra che una mediana di un triangolo divide il triangolo in due triangoli equivalenti

Ovvio: i due triangoli che si ottengono hanno la stessa base (metà della base originale) e stessa altezza (altezza del triangolo originale), dunque sono equivalenti.

Dimostra che un quadrilatero con le diagonali perpendicolari (in particolare un rombo) è equivalente alla metà del rettangolo avente i lati congruenti alle sue diagonali.

La dimostrazione si trova in questi appunti nella parte teorica (nel libro di testo viene infatti lasciata per esercizio)

Elenca e descrivi le operazioni necessarie per trasformare un pentagono in un triangolo equivalente.

Trasformiamo il pentagono in un quadrilatero equivalente (riducendo di un lato) Trasformiamo il quadrilatero in un triangolo equivalente (riducendo di un lato) Per la proprietà transitiva il triangolo ottenuto è equivalente al pentagono originale.

Nella parte di teoria di questi appunti si trovano descrizioni più dettagliate.

Trasforma un triangolo in un altro equivalente avente una base di lunghezza assegnata.

Lo svolgimento si trova nella parte di teoria ESERCIZI n.7,8,9 pag.262 (vero/falso)

Nota: in questo esercizio si usa la parola equi composto in luogo di equi scomponibile.

7a. FALSO (se sono congruenti posso scomporli allo stesso modo)

7b. FALSO (esempio triangolo rettangolo con cateti lunghi 2 e 3 e triangolo isoscele con base lunga 2 e altezza lunga 3)

7c. VERO

7d. VERO

8a. FALSO (sulla stessa base AB posso immaginare l'altezza relativa CH con H che appartiene al segmento AB nel caso acutangolo o che non appartiene al segmento AB nel caso ottusangolo).

8b. FALSO (con tutta la fatica che abbiamo fatto per costruire il poligono equivalente con un lato di meno!)

8c. VERO

8d. FALSO (i due poligono possono essere del tutto distinti)

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9a. VERO

9b. FALSO (rettangolo?) 9c. FALSO (differenza ?)

9d. VERO

ESERCIZIO n.10,11,12 pag.263 (vero/falso)

10a FALSO (il rombo di diagonali lunghe 6 e 8 ha il lato lungo 5 e area 24, mentre il quadrato di lato 5 ha area 25)

10b VERO (in fin dei conti il rombo è un particolare parallelogramma) 10c FALSISSIMO

10d VERO

11a FALSO (come già detto sopra)

11b FALSO (il rettangolo in questo caso è il doppio del rombo)

11c VERO

11d FALSO (diagonali lunghe 6 e 8 per un rombo e quindi ortogonali tra loro e per un parallelogramma generico, e quindi non ortogonali tra loro, si verifica che l'area è diversa)

12a FALSO (si può utilizzare il parallelogramma con diagonali 6 e 8 ma non ortogonali tra loro dell'esempio precedente e confrontarlo col rettangolo di lati 6 e 8: hanno area molto diversa)

12b VERO

12c VERO

12d FALSO (parallelogramma di base 5 e altezza 2, l'altro lato è circa 2,24 ha area 10; trapezio di basi 5 e 2,24 e altezza 2 ha area circa 7,24<20)

ESERCIZIO n.13,14,15 pag.263 (scelta multipla) 13

c, AED

FCD no di certo perché contiene il trapezio e altra roba; AEC si vede ad occhio che è troppo piccolo; per escludere ABF e FGD potremmo fidarci di un colpo d'occhio meno frettoloso, a favore della scelta AED c'è anche il fatto che la configurazione richiama la classica trasformazione del trapezio in triangolo e poi le due figure hanno una parte comune e una parte (apparentemente) congruente che sono i due triangolini di basi AB e EC con il terzo vertice non nominato.

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d, pentangono

Contiamo i quadretti: nell'ottagono ne contiamo 5 interi e 4 metà, per un totale di 7 quadretti.

Andiamo a cercare una figura con 7 quadretti: i due rettangoli alle risposte a e b hanno rispettivamente 6 e 8 quadretti, pure il trapezio alla risposta c è composto da 7 quadretti più due metà, quindi 8. Finalmente alla lettera d troviamo questo pentagono fatto di 6 quadretti interi e due metà, cioè 7 quadretti.

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c, i triangoli ADO e BCO sono equivalenti.

Conviene disegnarsi la figura: ad occhio eliminiamo tutte le risposte che contengono ABO, ed anche la b sembra poco verosimile. Se fosse richiesta anche la rapidità l'occhio potrebbe bastarci per mettere la crocetta al posto giusto. Pensandoci più attentamente osserviamo i triangoli ADC e BDC, hanno stessa base e stessa altezza, quindi sono equivalenti, togliendo ad entrambi la parte comune ODC otteniamo proprio ADO e BCO che quindi sono equivalenti per differenza di equivalenti.

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ESERCIZIO n.16 pag.264 (scelta multipla) 16

b, un terzo

Essendo una domanda a risposta multipla possiamo fidarci anche del nostro occhio: nella parte bianca osserviamo una ripartizione in triangolini equivalenti. Ci possiamo convincere che sono equivalenti perché si riconoscono due tipi di triangolini per esempio quelli come FKE e quelli come KEJ. Questi due triangolini hanno basi congruenti FK e KJ e stessa altezza. Le basi le “vediamo”

congruenti, anche in virtù della regolarità del poligono, fuori dalla zona celeste contiamo 12 triangoli equivalenti, se ci divertissimo a disegnarli anche all'interno della figura celeste ne vedremmo altri 6. Ricapitolando, l'esagono più grande è composto da 18 triangoli, quello colorato in celeste da 6 triangoli, essendo tutti i triangoli equivalenti possiamo concludere che il rapporto tra i due esagoni è proprio un terzo.

Dimostra che se due parallelogrammi equivalenti hanno basi congruenti, essi hanno anche le altezze, relative a quelle basi, congruenti.

Pensando numericamente, due parallelogrammi hanno la stessa area e quindi stesso prodotto base per altezza e quindi se una è congruente lo è anche l'altra.

Per come è stato impostato il capitolo però gli autori ci chiedono (probabilmente) un ragionamento più geometrico.

Abbiamo visto che un parallelogramma di base b e altezza h è equivalente ad un rettangolo di lati congruenti a b e h.

Per assurdo supponiamo diverse le altezze dei due parallelogrammi equivalenti: h₁≠h₂

Allora il primo parallelogramma sarebbe equivalente al rettangolo di lati b e h1 , l'altro sarebbe equivalente al rettangolo di lati b e h2. Per proprietò transitiva i due rettangoli sarebbero equivalenti ma questo è assurdo perché uno è contenuto nell'altro.

Dimostra che congiungendo gli estremi di uno dei lati obliqui di un trapezio con il punto medio dell’altro lato obliquo si ottiene un triangolo equivalente alla metà del trapezio.

In figura ho disegnato il trapezio ABCD, colorato più scuro si vede il triangolo AMD, essendo M il punto medio di BC. Vogliamo dimostrare che AMD è equivalente a metà del trapezio.

Di mia iniziativa prolungo la base maggiore AB di un segmento BE congruente a CD. In pratica ho disegnato il triangolo AED equivalente al trapezio ABCD, come nella famosa trasformazione che ci porta alla formula per calcolare la misura dell'area del trapezio.

Osserviamo che per i teoremi sui fasci di parallele il punto M taglia a metà anche l'altezza del trapezio rappresentata in figura dal segmento FG.

Osservate ora il triangolo AEM: ha come base la somma delle basi del trapezio e come altezza la metà dell'altezza del trapezio. Dunque è equivalente a metà del trapezio.

Ricapitolando: il trapezio ABCD è equivalente al triangolo AED che è composto da due triangoli:

AMD e AEM. Sopra abbiamo osservato che AEM è equivalente a metà del trapezio, di conseguenza anche AMD deve essere equivalente a metà del trapezio. Abbiamo così dimostrato la tesi.

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Dimostrazione alternativa (ripresa dai contenuti dell'e-book)

Sappiamo che un trapezio è equivalente ad un triangolo avente l'altezza congruente a quella del trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio.

Costruiamo dunque tale triangolo. Prolunghiamo la base AB di un segmento BE congruente a CD e congiungiamo D con E. Il triangolo ADE è equivalente al trapezio ABCD.

Inoltre il quadrilatero BECD è un parallelogramma, essendo BE e CD congruenti e paralleli. Come conseguenza le diagonali BC e DE si tagliano a metà e dunque la loro intersezione è proprio il punto M, punto medio di BC.

Consideriamo adesso i triangoli DMA e MEA, essi hanno le basi DM e ME congruenti e la stessa altezza, visto che hanno lo stesso terzo vertice A. Quindi i triangoli DMA e MEA sono equivalenti.

Essendo ADE= DMA+MEA allora ADE è equivalente a 2 DMA.

Essendo ADE equivalente al trapezio ABCD, per la proprietà transitiva otteniamo la tesi.

In un trapezio ABCD siano M e N rispettivamente i punti medi dei lati obliqui BC e DA. Dimostra che il quadrilatero AMCN e il triangolo ADM sono equivalenti.

Nel disegno ho seguito le istruzioni del testo e di mia iniziativa ho disegnato il segmento MN che ci sarà utile per la dimostrazione.

Osserviamo subito che il segmento MN è parallelo alle basi del trapezio per i teoremi sui fasci di parallele tagliate da trasversali.

Osserviamo adesso i triangoli MDN e MCN: hanno la stessa base MN e altezza congruente che corrisponde alla distanza tra le parallele MN e CD. Dunque i triangoli MDN e MCN sono equivalenti.

Osserviamo adesso il quadrilatero AMCN e il triangolo ADM: hanno una parte comune che è il triangolo AMN e poi sono completati il primo dal triangolo MCN, il secondo dal triangolo MDN, ovvero dai triangoli che sappiamo essere equivalenti.

Dunque il quadrilatero AMCN e il triangolo ADM sono equi-scomponibili e quindi equivalenti c.v.d.

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La figura 1 si riferisce all'esercizio precedente nel quale si chiedeva di dimostrare che “il quadrato costruito sopra la somma di due segmenti è equivalente alla somma dei quadrati dei due segmenti aumentata del doppio del rettangolo che ha per lati due segmenti dati” che poi è la versione geometrica del prodotto notevole “quadrato del binomio”.

Anche in questo esercizio possiamo pensare a quel prodotto notevole, ma nella versione col segno meno che poi ritroviamo davanti al doppio prodotto.

Nella figura 2 vediamo il quadrato di lato a che contiene il quadrato di lato a-b, il rettangolo rosa di lati a e b e il rettangolo verde di lati b e a-b. Per poter andare avanti con la dimostrazione dobbiamo aggiungere il quadrato di lato b.

Dunque la figura che vediamo è un esagono concavo che si ottiene facendo la somma del quadrato di lato a e del quadrato di lato b.

q(a)+q(b)=q(a−b)+r (a ;b)+r (b ;a−b)+q(b)

Si osservi che r (b ; a−b)+q(b)=r (b ; a)

Dunque possiamo scrivere

q(a)+q(b)=q(a−b)+2 r (a ;b)

Dunque,dal punto di vista del quadrato di lato a-b q(a−b)=q(a)+q(b)−2 r (a ; b)