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QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020 MODULO 2 DEFINIZIONE Si dice

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QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020

MODULO 2 DEFINIZIONE

Si dice figura un insieme (non vuoto) di punti [vedi pag.6 del vol. Geometria]

POSTULATO 0

Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani.

Il piano contiene infinite rette e infiniti punti.

La retta contiene infiniti punti.

[vedi pag.8 del vol.Geometria]

POSTULATO 1

Per due punti (distinti) passa (una ed) una sola retta.

[vedi pag.9 del vol. Geometria]

Il verbo “passare” ci porta all'idea del disegno, all'atto del disegnare. In termini più insiemistici avremmo dovuto dire “due punti distinti appartengono entrambi ad una ed una sola retta.

POSTULATO 2

Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano.

[vedi pag.10 del vol. Geometria]

Il verbo “passare” ci porta ancora all'idea del disegno, anche se in questo caso si tratterebbe di un disegno 3D.

POSTULATO 3

Se due punti A,B di una retta r appartengono ad un piano s, allora la retta r è contenuta nel piano s.

[vedi pag.10 del vol. Geometria]

POSTULATO DI ORDINAMENTO DELLA RETTA Siano A,B,C, punti di una retta r

A< B∨A>B

A< B∧B<C ⇒ A<C [vedi pag.10 del vol. Geometria]

Abbiamo preso in prestito dall'algebra i simboli > e < per indicare rispettivamente “segue” e

“precede”.

DEFINIZIONE

Due rette si dicono coincidenti se sono la stessa retta.

Due rette si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune.

Due rette si dicono parallele se non hanno punti in comune ma appartengono allo stesso piano.

Due rette si dicono sghembe se non hanno punti in comune e non appartengono allo stesso piano.

[vedi pag.11 del vol. Geometria]

(2)

POSTULATO DELL' UNICITA' DELLA PARALLELA

Data una retta r ed un punto P non appartenente ad r, la retta parallela ad r che contiene P è unica.

[vedi pag.12 del vol. Geometria]

Il postulato si preoccupa soltanto dell'unicità, in quanto l'esistenza della parallela è dimostrabile.

Ovvero, potremmo enunciare un...

TEOREMA

Data una retta r ed un punto P non appartenente ad r, esiste una retta parallela ad r che contiene P.

[vedi pag.108 del vol. Geometria]

Esercizi di geometria: n. 93 pag.53 n. 97 pag.53

Ripasso di geometria: postulato di partizione del piano, poligonali, figure convesse e concave;

angoli; congruenza, confronto di segmenti e angoli, somme di segmenti e angoli.

POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO

Una retta r divide il piano a cui appartiene in due parti a e b tali che:

A , B∈α ⇒ segmento AB⊂α

A∈α∧B∈β ⇒∃ P : segmento AB∩r={P}

[vedi pag.14 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE

Si dice semipiano l'unione di una retta con una delle due parti in cui divide il piano.

[vedi pag.15 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE

Una figura si dice convessa se presi due punti qualsiasi A, B appartenenti ad essa, il segmento di estremi A e B è contenuto in essa. Altrimenti si dice concava.

[vedi pag.15 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE

Si dice angolo ciascuna delle parti di un piano divise da due semirette con la stessa origine. La parte convessa si dice angolo convesso e la parte concava si dice angolo concavo.

Si dice angolo piatto l'angolo formato da due semirette giacenti sulla stessa retta ma non coincidenti.

Si dice angolo nullo l'angolo convesso formato da due semirette coincidenti.

Si dice angolo giro l'angolo concavo formato da due semirette coincidenti.

[vedi pag.16 del vol. Geometria]

OSSERVAZIONE

La distinzione tra convesso e concavo per gli angoli si può fare anche osservando dove sono contenuti i prolungamenti delle semirette (ovvero le altre metà delle rette in cui le semirette che definiscono l'angolo sono contenute). Tali prolungamenti stanno necessariamente nella parte concava. Tale affermazione è dimostrabile ma in questa sede ci basterà constatarne l'evidenza.

[vedi pag.16 del vol. Geometria]

POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO (parte seconda)

Una poligonale chiusa non intrecciata divide il piano in due zone: una può contenere segmenti ma non rette, l'altra non può contenere rette.

[vedi pag.18 del vol. Geometria]

(3)

DEFINIZIONE

I punti che appartengono alla parte che contiene segmenti ma non rette si dicono interni, i punti che appartengono alla parte che può contenere rette si dicono esterni.

Si dice poligono l'insieme dei punti formato da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni.

[vedi pag.18 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE

Due figure si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido.

[vedi pag.21 del vol. Geometria]

POSTULATO 4

La congruenza è una relazione di equivalenza.

[vedi pag.23 del vol. Geometria]

OSSERVAZIONE

Posso confrontare tra loro i segmenti e gli angoli sovrapponendoli con movimenti rigidi.

Confrontiamo due segmenti AB e CD. Con un movimento rigido posso sovrapporre ad AB il segmento CD facendo coincidere C con A e facendo in modo che B e D stiano dalla stessa parte rispetto ad A. Allora

Se B precede D allora AB < CD

Se B succede D allora AB > CD

Se B coincide con D allora AB = CD.

[vedi pag.24-25 del vol. Geometria]

OSSERVAZIONE

Confrontiamo due angoli (convessi) ̂aOb e ̂cPd avendo indicato con O e P le origini e con a,b,c,d le semirette. Con un movimento rigido trasportiamo ̂cPd facendo coincidere P con O e la semiretta c con la semiretta a. Allora

se la semiretta b sta nell'angolo ̂cPd allora ̂aOb<̂cPd

se la semiretta d sta nell'angolo ̂aOb allora ̂aOb>̂cPd

se le semirette b e d coincidono allora ̂aOb=̂cPd [vedi pag.24-25-26 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE

La somma di due segmenti AB e CD è un segmento ottenuto trasportando con un movimento rigido il segmento CD sulla retta AB in modo che C coincida con B e A e D stiano dalla parte opposta rispetto a B. (Il segmento AD è la somma).

DEFINIZIONE

La somma di due angoli ̂aOb e ̂cPd è un angolo ottenuto trasportando con un movimento rigido l'angolo ̂cPd sull'angolo ̂aOb in modo che P coincida con O e che la semiretta b coincida con la semiretta d. (La somma è l'angolo ̂aOd ).

OSSERVAZIONE

Come abbiamo osservato anche parlando dei numeri naturali, una volta definita la somma di oggetti è possibile definire la sottrazione come “marcia indietro” rispetto all'addizione e la moltiplicazione come “addizione ripetuta”. Una volta che abbiamo la moltiplicazione, possiamo definire anche la divisione come “marcia indietro” rispetto alla moltiplicazione.

(4)

Essendo la moltiplicazione un'addizione ripetuta, intenderemo non la moltiplicazione tra una coppia di segmenti o una coppia di angoli, ma la moltiplicazione di un numero naturale per un segmento o un angolo. Una volta definita anche la divisione potremo definire la moltiplicazione di un numero razionale per un segmento o per un angolo.

[vedi pag.26-27-28-29 del vol. Geometria]

DEFINIZIONI

Si dice bisettrice di un angolo, la semiretta che divide l'angolo in due angoli congruenti.

Si dice angolo retto la metà di un angolo piatto.

Si dice angolo acuto un angolo minore di un angolo retto.

Si dice angolo ottuso un angolo maggiore di un angolo retto ma minore di un angolo piatto.

Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto.

[vedi pag.30-31 del vol. Geometria]

DEFINIZIONE

Due rette si dicono perpendicolari se formano quattro angoli retti.

[vedi pag.32 del vol. Geometria]

OSSERVAZIONE

Avendo la possibilità di confrontare, addizionare, sottrarre, moltiplicare, dividere segmenti ed angoli, possiamo scegliere uno speciale segmento ed uno speciale angolo tramite il quale confrontare tutti gli altri. Possiamo insomma stabilire una unità di misura. Le unità di misura per la lunghezza, ovvero per i segmenti, possono essere tantissime: metri e tutti i suoi multipli e sottomultipli, pollici, piedi ed altre misure non standard, ma anche semplicemente i quadretti del nostro quaderno.

Anche per gli angoli ci sono varie unità di misura tra cui scegliere, ma noi ci concentreremo quasi esclusivamente sul grado, ovvero sulla la 360-esima parte dell'angolo giro.

Perché proprio 360? forse perché è un numero che ha tanti divisori naturali, forse perché alcuni antichi calendari contavano 360 giorni per un anno.

[vedi pag.32-33-34-35-36-37-38 del vol. Geometria]

ESERCIZIO pag.55 n.122

Su una retta si susseguono, nell'ordine, i quattro punti A,B,C,D e si ha AD=40 cm; AC=BD=30 cm.

Calcolare la lunghezza di BC.

Risposta:

Si osservi che AC=AB+BC e che BD=BC+CD

e ovviamente che AB+BC+CD=AD.

Sostituendo le lunghezze che vengono fornite abbiamo che 30=AB+BC ; 30= BC+CD;

AB+BC+CD=40.

Visto che abbiamo definito anche le sottrazioni tra segmenti possiamo dire che AB=30-BC;

CD=30-BC. Sostituendo nella terza equazione abbiamo:

(30-BC)+BC+(30-BC)=40 ovvero 60-BC=40 ovvero 60-40=BC ovvero BC=20.

ESERCIZIO pag.56 n.129

Il punto O è origine comune delle quattro rette a,b,c,d che si susseguono in verso antiorario nell'ordine indicato. Si ha ̂ad =120 ° ;̂ab=̂cd =35 ° . Calcolare l'ampiezza di ̂bc .

(5)

Risposta:

Evidentemente ̂ad =̂ab+̂bc+̂cd .

Con i dati che ci vengono forniti abbiamo 120=35+̂bc+35 .

Si tratta semplicemente di risolvere un'equazione di primo grado: ̂bc=120−35−35=50 . In conclusione ̂bc=50 ° .

DEFINIZIONI

Si dice triangolo un poligono con tre lati;

un triangolo si dice equilatero se i suoi lati sono tutti congruenti tra loro;

un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti;

un triangolo si dice scaleno se ha tutti i lati non congruenti tra loro;

si dice altezza di un triangolo il segmento che ha come estremi un vertice del triangolo e un punto del lato opposto, ed è perpendicolare al lato opposto;

si dice mediana di un triangoli il segmento che ha come estremi un vertice del triangolo e il punto medio del lato opposto;

si dice bisettrice di un triangolo il segmento che ha come estremi un vertice del triangolo e un punto del lato opposto, e divide l'angolo al vertice in due angoli congruenti.

POSTULATO: PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente due lati consecutivi e l'angolo definito da essi.

TEOREMA: SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente due angoli e il lato comune di essi.

TEOREMA: TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente i tre lati.

TEOREMA

Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.

TEOREMA

In un triangolo isoscele altezza, bisettrice e mediana relative alla base, coincidono.

(6)

Esercizio n.25 pag.89 (in certe edizioni è il n. 36 pag.90)

Sui prolungamenti della base AB di un triangolo isoscele ABC consideriamo due segmenti congruenti AD e BE. Dimostrare che il triangolo DEC è isoscele.

Risposta:

Ipotesi: AC≡BC AD≡BE Tesi: CD≡CE

Dimostrazione:

Siccome il triangolo ABC è isoscele di base AB allora gli angoli ̂CAB≡̂CBA ; allora anche gli angoli rispettivamente supplementari ̂CAD≡̂CBE ;

adesso consideriamo i triangoli ADC e BCE: per le ipotesi hanno una coppia di lati congruenti e per quanto detto sopra anche gli angoli compresi sono congruenti, dunque per il primo criterio di congruenza i triangoli ADC≡BCE ;

in particolare sono congruenti anche i lati CD≡CE e quindi abbiamo la tesi.

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