QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020 MODULO 1 ESERCIZIO DI RIPASSO Consideriamo l'espressione letterale:

(1)

QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020

MODULO 1 ESERCIZIO DI RIPASSO

Consideriamo l'espressione letterale: a−2 b 4 b−a+a

b: a+b

2 b−a (vedi n.2 pag.434 vol.Algebra 1) Calcolare il valore assunto dall'espressione nei seguenti casi:

a=0 ;b=1 a=−1

2;b=2 a=4 ;b=1

a=1 b=1 Risposta:

Si tratta di sostituire le incognite con i valori assegnati e poi semplificare l'espressione aritmetica.

Primo caso:

0−2×1 4×1−0+0

1: 0+1

2×1−0=−2 4+0 :1

2=−2 4=−1

2 Secondo caso:

(−1

2)−2×2 4×2−(−1

2) +

(−1 2) 2 :

−1 2+2 2×2−(−1

2)

=

−1 2−4 8+1

2 +

−1 2 2 :

−1 2+2 4+1

2

=

−9 2 17 2

−1 4:

3 2 9 2

=− 9 17−1

4:1 3=...

...=− 9 17−3

4=−36+51 68 =−87

68 Terzo caso:

4−2×1 4×1−4+4

1: 4+1 2×1−4=2

0+4 :(−5

2) L'espressione non assume alcun valore, visto che ci troviamo davanti ad una divisione per zero (che non è definita).

Quarto caso:

1−2×1 4×1−1+1

1: 1+1

2×1−1=−1 3+1 :2

1=−1 3+1

2=−1 6 ESERCIZIO DI RIPASSO

Semplificare la seguente espressione letterale:

[(−2 3 x y²)

5

:(4 9 x y)

3

]

2

:( y²)⁵+3

2x⁶y³:(1 2x²y )

2

(x²y³)−33

2 (x²y²)² (vedi n.5 pag.434 vol.Alg. 1) Risposta:

Prima di cominciare si osservi che 4 9=(2

3)

2

e quindi ( 2 3)

5

:(4 9)

3

=(2 3)

5

:((2 3)

2

)

3

=(2 3)

−1

=3 2

Possiamo cominciare:

(2)

[(−2 3 x y²)

5

:(4 9 x y)³]

2

:( y²)⁵+3

2x⁶y³:(1

2x²y )²(x²y³)−33

2 (x²y²)²=...

...=[−3 2x²y⁷]

2

: y¹⁰+3 x⁴y⁴−33

2 x⁴y⁴=...

...=9

4 x⁴y⁴+3 x⁴y⁴−33

2 x⁴y⁴=...

...=9+12−66

4 x⁴ y⁴=−33 4 x⁴y⁴ ESERCIZI DI RIPASSO

Fattorizzare i seguenti polinomi

x²−x+2 y−4 y²

(x−5)²−(5 x−3)² (Vedi n.2,3 pag.490 vol.Algebra 1) Risposte:

Applicando il prodotto notevole “somma per differenza” e poi la proprietà distributiva:

x²−x+2 y−4 y²=(x−2 y)( x+2 y)−( x−2 y )=( x−2 y )(x+2 y−1) Applicando il prodotto notevole “somma per differenza”:

(x−5)²−(5 x−3)²=(x−5−5 x+3)(x−5+5 x−3)=(−4 x−2)(6 x−8)=−4 (2 x+1)(3 x−4) ESERCIZI DI RIPASSO

Fattorizzare i seguenti polinomi

4 a²(x−1)−12 a (1−x)+9 x−9 x²−4 y²−9+12 y

2 a²x²−5 a²x+2 a²−2 x²+5 x−2 (vedi n.4,5,6 pag.490 vol.A. 1) Risposte:

Posso raccogliere il fattore comune (x-1) e poi applicare il prodotto notevole del “quadrato del binomio”.

4 a²(x−1)−12 a (1−x)+9 x−9=4 a²(x−1)+12 a (x−1)+9 (x−1)=...

...=(4 a²+12 a+9)(x−1)=(2 a+3)²(x−1)

Per il secondo polinomio applico il “quadrato del binomio” e poi il “somma per differenza”.

x²−4 y²−9+12 y=x²−(2 y−3)²=(x−2 y+3)( x+2 y−3)

Il terzo polinomio richiede maggiore attenzione, almeno inizialmente ci basta la proprietà distributiva

2 a²x²−5 a²x+2 a²−2 x²+5 x−2=a²(2 x²−5 x+2)−(2 x²−5 x+2)=(a²−1)(2 x²−5 x+2)=...

Già così è un prodotto di polinomi, ma tali fattori possono a loro volta essere fattorizzati, il primo si fattorizza facilmente utilizzando il somma per differenza, il secondo in vari modi.

...=(a+1)(a−1)(x−2)(2 x−1)

(3)

Come abbiamo fatto a capire che 2 x²−5 x+2=( x−2)(2 x−1) ? Un modo potrebbe essere questo: 2 x²−5 x+2=2( x²−5

2 x+1) I valori che annullano il polinomio x²−5

2x+1 hanno somma 5

2 e prodotto 1 e quindi è abbastanza facile dedurre che sono 2 e 1

2 da cui la fattorizzazione x²−5

2x+1=( x−2)(x−1 2) . Riportando tale fattorizzazione al polinomio originale:

2 x²−5 x+2=2( x²−5

2 x+1)=2(x−2)(x−1

2)=(x−2)(2 x−1)

Alternativamente potremmo testare qualche valore semplice per annullare il polinomio 2 x²−5 x+2 e ci renderemmo conto abbastanza alla svelta che si annulla per x=2 . L'altro valore potremmo trovarlo col metodo di Ruffini e anche in questo caso avremo la fattorizzazione.

Infine un altro metodo potrebbe essere di scindere, grazie ad una buona intuizione, il monomio di primo grado e poi applicare la proprietà distributiva:

2 x²−5 x+2=2 x²−x−4 x+2= x(2 x−1)−2(2 x−1)=(2 x−1)(x−2) . ESERCIZIO DI RIPASSO

Semplificare la seguente frazione algebrica 12−4 x−x²

4−x² (vedi n.6 pag.532 vol.Algebra 1) Risposta:

Tale frazione è priva di senso nei casi x=2∨x=−2 perché si verificherebbe una divisione per 0.

In tutti gli altri casi possiamo applicare al denominatore il “somma per differenza”:

(x²−4)=(x−2)(x+2)

Per quanto riguarda il numeratore, vale la pena di verificare se si annulla per x=2∨x=−2 . In effetti si annulla proprio per x=2 e quindi, per il teorema di Ruffini, è divisibile per (x−2) Utilizzando la regola di ruffini determiniamo il polinomio quoziente:

-1 -4 12

2 -2 -12

-1 -6 0

Dunque il polinomio quoziente è −x−6=−(x+6) . Ricapitolando:

12−4 x−x²

4−x² =−(x+6)( x−2)

(2+x )(2−x ) =(x+6)(2−x )

(2+ x)(2−x )=x+6 x+2

(4)

ESERCIZIO DI RIPASSO Risolvere la seguente equazione:

(x−1)²

2 −(x +2)(x−2)−2 x

3 =(x−3)²

6 −2 x−1

2 (vedi pag.620 n.41 vol.Algebra 1) Risposta:

Applichiamo i prodotti notevoli “quadrato del binomio” e “somma per differenza”.

x²−2 x+1

2 −x²−4−2 x

3 =x²−6 x+9

6 −2 x−1

2

Riconduciamo le frazioni ad un denominatore comune.

3 x²−6 x+3

6 −2 x²−8−4 x

6 =x²−6 x+9

6 −6 x−3

6

Possiamo disinteressarci del denominatore (e occhio ai segni!).

3 x²−6 x+3−2 x²+8+4 x=x²−6 x+9−6 x+3

Come era immaginabile, i termini di secondo grado si eliminano a vicenda, raccogliendo i termini con la x a sinistra e i termini noti a destra otteniamo:

10 x=1 Dunque la soluzione richiesta è x= 1

10 ESERCIZIO DI RIPASSO

Risolvere la seguente equazione:

1+ 1−2 x

6 x−4 x²= 2 x 2 x−3− 1

2 x (vedi pag.621 n.63 vol.Algebra 1) Risposta:

Si tratta di un'equazione fratta, dunque è necessario porre delle condizioni di esistenza. A causa del terzo denominatore deve essere x≠0 ; a causa del secondo denominatore deve essere

2 x−3≠0 e quindi x≠3 2 .

Per quanto riguarda il primo denominatore si osservi che 6 x−4 x²=2 x (3−2 x) , ovvero che è l'opposto del prodotto degli altri due. Dunque per quanto riguarda le condizioni di esistenza non dobbiamo aggiungere altro. Ricapitolando, le condizioni di esistenza (C.E.) sono: x≠0∧x≠3

2 . Passiamo ora alla risoluzione dell'equazione, lo studio delle condizioni di esistenza ci ha anche dato uno spunto per determinare un denominatore comune, ma attenti ai segni!

4 x²−6 x+2 x−1

2 x(2 x−3) =4 x²−2 x+3 2 x (2 x−3)

(Non dovrebbe esserci bisogno di sottolineare che 1−2 x

2 x (3−2 x)= 2 x−1 2 x (2 x−3) ) Possiamo disenteressarci del denominatore: 4 x²−6 x+2 x−1=4 x²−2 x+3

(5)

Come era facile immaginarsi, i termini di secondo grado se eliminano a vicenda, raccogliendo a sinistra i termini con la x e a destra i termini noti, otteniamo: −2 x=4

Da cui la soluzione: x=−2 ESERCIZIO DI RIPASSO

Risolvere la seguente equazione nell'incognita x al variare del parametro a.

3 a−2

x +1−a 1−x= a

x²−x (vedi pag.622 n.80 vol.Algebra 1) Risposta:

Stabiliamo le condizioni di esistenza. Per il primo denominatore deve essere x≠0 ; per il secondo denominatore deve essere 1−x≠0 ovvero x≠1 . Infine notiamo che il terzo denominatore è l'opposto del prodotto degli altri due: x²−x=x ( x−1) .

Ricapitolando le condizioni di esistenza sono x≠0∧x≠1 .

Possiamo porre come denominatore comune proprio x (x−1) . Attenti ai segni! Dovrebbe essere assolutamente inutile far notare che 1−a

1−x=a−1

x−1 . Dunque la nostra equazione diventa:

(3 a−2)( x−1)+(a−1)x

x (x−1) = a

x (x−1)

Possiamo disinteressarci del denominatore e svolgere i calcoli al numeratore:

3 a x−2 x−3 a+2+a x−x=a

Raccogliendo i termini con la x a sinistra e i termini senza la x a destra:

(4 a−3)x =4 a−2 Per poter applicare il secondo principio di equivalenza occorre che a≠3

4 Infatti, nel caso a=3

4 l'equazione diventa 0 x=1 , che è impossibile.

Con a≠3

4 possiamo dunque effettuare un ulteriore passaggio: x= 4 a−2 4 a−3

Non dobbiamo dimenticare di confrontare il risultato ottenuto con le condizioni di esistenza:

siccome per a=1

2 otteniamo un valore non accettabile, dobbiamo concludere che anche in questo caso l'equazione risulta impossibile.

Fortunatamente non si verifica mai la situazione 1=4 a−2

4 a−3 dato che non può ovviamente essere 4 a−2=4 a−3 .

Ricapitolando: nei casi a=3

4∨a=1

2 l'equazione è impossibile;

per tutti gli altri valori di a la soluzione è x=4 a−2 4 a−3 .

(6)

ESERCIZIO DI RIPASSO

Per coprire una certa distanza, un treno impiega un tempo uguale al sestuplo del tempo che impiegherebbe un aereo che viaggia ad una velocità di 600 km/h superiore a quella del treno.

Determinare la velocità del treno. (Vedi pag.624 n.93 vol.Algebra 1) Risposta:

Occorre rievocare dalla fisica (o dalle scienze delle medie) la formula s=v t, che lega spazio percorso s, tempo t e velocità media v.

La distanza che devono percorrere treno e aereo è la stessa dunque ^vAt_A=v_Tt_T dove le lettere a pedice stanno per aereo A e treno T.

Traducendo in formule le informazioni che ci dà il testo, possiamo dire che tA=6 t_T e anche che v_A=v_T+600 .

Queste informazioni ci permettono di ridurre il numero delle incognite da 4 a 2.

^(vT+600)t_A=v_T(6 t_A)

Il tempo che l'aereo impiega a percorrere la distanza è sicuramente tA>0 e quindi possiamo eliminarlo dall'equazione, dato che è fattore ad entrambi i membri.

L'equazione diventa quindi: vT+600=6 v_T , risolvendola nell'incognita rimasta (che poi è quella che ci interessa, la velocità del treno) otteniamo: vT=600

5 =120 . Dunque la velocità del treno è di 120 km/h.

Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

{

7 x> x+18¹⁴ ^x≤³²

(Vedi pag.672 n.233) Risposta:

Risolvo separatamente le due disequazioni.

{

7 x−x>18^x≤³²^×4

ovvero

{

^{6 x>18}^x≤6 ^ovvero

{

^x>^x≤6¹⁸⁶ ^ovvero

^{

^x>3^x≤6

L'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione dei due insiemi di soluzioni delle singole disequazioni, ovvero le x tali che 3< x≤6

Determinare i valori di x che soddisfano le seguenti relazioni:

x−1<x+2

5 <2−x

3 (vedi pag.674 n.255) Risposta:

Anche se in questo tipo di scrittura non vediamo la parentesi graffa, si tratta comunque di un sistema di due disequazioni, che potrei riscrivere nella forma della parentesi graffa in questo modo:

(7)

{

^x−1<^x+2⁵ ^<2−^x+2⁵ ³^x ^.

Chiarito questo aspetto, risolvo separatamente le due disequazioni:

{

5(x−1)<x +2

3( x+2)<5(6−x ) ovvero

{

5 x−5< x+2

3 x+6<30−5 x ovvero

{

5 x−x <5+2 3 x+5 x<30−6

ovvero

{

8 x<24^{4 x <7} ovvero

{

^x<^x<²⁴⁷⁸⁴ ^ovvero

^{

^x<^x<3⁷⁴

L'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione dei due insiemi di soluzioni delle singole disequazioni, ovvero le x tali che x<7

4 . Si osservi che in questo caso l'insieme delle soluzioni della prima disequazione è completamente contenuto nell'insieme delle soluzioni della seconda disequazione.

Determinare i valori di x che soddisfano le seguenti relazioni:

4−x <3+x <2 x+1 (vedi pag.674 n.255) Risposta:

Come già osservato nel corso dell'esercizio precedente posso tradurre questa scrittura in un'altra con la parentesi graffa e poi risolvere separatamente le due disequazioni:

{

4−x<3+ x

3+ x<2 x +1 ovvero

{

⁻x−2 x<1−3^x−x<3−4 ovvero

{

^{−2 x<−1}−x<−2 ovvero

{

^{2 x >1}x>2

ovvero

{

^x>^x>2¹² . L'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione dei due insiemi di soluzioni delle singole disequazioni, ovvero le x tali che x>2 . Si osservi che, analogamente a quanto visto sopra, l'insieme delle soluzioni della seconda disequazione è completamente contenuto nell'insieme delle soluzioni della prima disequazione.

Determinare i valori del parametro k in modo che la soluzione dell'equazione

2 x−3 k (x−1)−9=5 x−k (1+3 x)−2 k soddisfi le condizioni:

a) x>0 b) x≥0∧x<3 c) −1<x<5

(vedi pag.675 n.260 vol.Algebra 1)

Risposta:

(8)

Occorre prima di tutto risolvere l'equazione rispetto all'incognita x.

2 x−3 k x+3 k −9=5 x−k−3 k x−2 k ovvero 2 x+3 k−9=5 x−k −2 k ovvero 2 x−5 x=−k −2 k−3 k +9 ovvero −3 x =−6 k +9

ovvero 3 x=6 k−9 ovvero x=2 k −3

Dunque, per soddisfare la condizione a) x>0 occorre che 2 k−3>0 . Risolvendo la disequazione in k otteniamo 2 k >3 ovvero k >3

2 .

Per soddisfare la condizione b) x≥0∧x<3 occorre che 0≤2 k−3<3 . Dobbiamo dunque risolvere un sistema di disequazioni. In questo caso però il sistema è piuttosto semplice, l'incognita k compare solo al centro, allora posso usare questa procedura un po' più veloce.

0≤2 k −3<3 Ovvero 3≤2 k <3+3 ovvero 3

2≤k <3+3

2 ovvero 3

2≤k <3 .

Infine, per soddisfare la condizione c) −1<x<5 occorre che −1<2 k−3<5 e analogamente al punto precedente risolviamo il sistema in modo sbrigativo:

−1<2 k−3<5 ovvero −1+3<2 k <5+3 ovvero −1+3

2 <k <5+3 2 ovvero 1<k <4 .

SETTIMANA 3 (30/9-4/10/2019) ESERCIZIO DI RIPASSO

Risolvere la seguente disequazione

(2−3 x)(1−3 x)>0

(vedi pag.676 n.272 vol.Algebra 1) Risposta:

Non è necessario eseguire la moltiplicazione, anzi, sarebbe proprio controproducente perché ci porterebbe in un vicolo cieco (a questo punto degli studi).

Usiamo invece il fatto che il prodotto di due fattori concordi è positivo e quello di due fattori discordi è negativo, nel caso specifico la disequazione sarà risolta da quei valori di x per cui i due fattori sono dello stesso segno. Per cercare tali valori studiamo il segno dei due fattori, singolarmente.

Il primo fattore: 2−3 x>0 ovvero −3 x>−2 ovvero 3 x<2 ovvero x<2 3 ; Il secondo fattore: 1−3 x>0 ovvero −3 x>−1 ovvero 3 x<1 ovvero x<1

3

(9)

Potremmo schematizzare la situazione con questa tabella:

(1−3 x ) + 0 - - -

(2−3 x) + + + 0 -

x<1

3 x=1

3

1

3<x<2

3 x=2

3 x>2

3

I fattori sono entrambi positivi nel caso in cui x<1

3 e sono entrambi negativi nel caso in cui x>2

3 . Quindi le soluzioni della disequazioni sono x<1

3∨x>2 3 . ESERCIZIO DI RIPASSO

Risolvere la seguente disequazione

1−4 x 2+3 x>0

(vedi pag.676 n.272 vol.Algebra 1) Risposta:

Abbiamo a che fare con una frazione algebrica, quindi è indispensabile, prima di iniziare qualunque altra operazione, determinare le condizioni di esistenza, ovvero, in questo caso, fare in modo che non si verifichi una divisione per zero.

Deve essere 2+3 x≠0 ovvero 3 x≠−2 ovvero x≠−2 3 .

Adesso possiamo dedicarci alla risoluzione della disequazione: essendo una divisione tra due binomi possiamo utilizzare la regola dei segni in modo analogo a quanto visto sopra. Tra l'altro una delle due disequazioni è praticamente già fatta, grazie allo studio delle condizioni di esistenza.

Il numeratore: 1−4 x>0 ovvero −4 x>−1 ovvero 4 x<1 ovvero x<1 4 . Il denominatore: 2+3 x>0 ovvero x>−2

3 . Rappresentiamo la situazione in una tabella:

(1−4 x ) + no + 0 -

(2+3 x) - no + + +

x<−2

3 x=−2

3 −2

3<x<1

4 x=1

4 x>1

4

Numeratore e denominatore hanno lo stesso segno per valori di x tali che −2

3<x<1

4 , per i quali sono entrambi positivi. Non si verifica invece la situazione nel quale siano entrambi negativi.

Dunque le soluzioni richieste sono le x tali che −2

3<x<1 4

(10)

Risolvere il seguente sistema di disequazioni nell'incognita x rispetto al parametro a.

{

a+2−2 x≥0^{2 x−a+3≥0} (vedi pag.677 n.280 vol.Algebra 1) Risposta:

Cominciamo risolvendo entrambe le disequazioni rispetto all'incognita x.

{

^{a+2−2 x≥0}^{2 x−a+3≥0} ^ovvero

{

^{−2 x≥−a−2}^{2 x≥a−3} ^ovvero

{

^{2 x≤a+2}^{2 x≥a−3} ^ovvero

{

^x≤^x≥^a−3^a+2²²

Se tutti i numeri fossero noti adesso sarebbe il momento di rappresentare la situazione in una tabella o in una retta orientata, ma per far questo abbiamo necessità di sapere che il più grande tra i numeri

a−3

2 e a+2

2 . Si osserva abbastanza facilmente che a+2

2 >a−3

2 ∀a ∈ℝ . Provate infatti a risolvere la disequazione a+2

2 >a−3

2 ovvero a+2>a−3 ovvero 2>−3 . Dunque, qualunque sia il valore di a, l'intersezione dei due insiemi di soluzioni sarà quello delle x tali che a−3

2 ≤x≤a+2

2 .

ESERCIZIO pag.681 n.319

Risolvere le seguenti disequazioni parametriche:

x−k

x−k +2>0 x−k x−k−1<0 Risposta:

x−k x−k+2>0

Poniamo subito le C.E.: x≠k−2 ∀ k ∈ℝ

Stabilito questo osserviamo che il numeratore è positivo se x>k mentre il denominatore è positivo se x>k−2 .

Non c'è nemmeno bisogno di una mappa dei segni per capire che numeratore e denominatore sono concordi nel caso x>k (entrambi positivi) o nel caso x<k−2 (entrambi negativi).

In conclusione le soluzioni della disequazione sono x<k−2∨x>k ∀ k ∈ℝ . x−k

x−k−1<0

C.E.: x≠k +1∀k ∈ℝ

Il numeratore è positivo per x>k , il denominatore è positivo per x>k +1 .

Dunque sono discordi nel caso k < x<k +1 ∀k ∈ℝ , e queste sono le soluzioni richieste.

(11)

ESERCIZIO pag.687 n.382 Risolvere la seguente disequazione:

(x²−1)(2 x+4) (1−3 x )(2−5 x)≥0 Risposta:

C.E.: x≠1

3∧x≠2 5

Osserviamo anche che il numeratore si annulla per x=−1∨x=1∨x=−2 e che ricordando il prodotto notevole “somma per differenza” abbiamo x²−1=( x−1)(x+1) .

Dunque guardiamo la disequazione in questo modo:

⁽x−1)( x+1)(2 x+4) (1−3 x)(2−5 x ) ≥0 Costruiamo una mappa dei segni:

x−1 - - - 0 +

x+1 - - - 0 + + + + + + +

2 x+4 - 0 + + + + + + + + +

1−3 x + + + + + no - - - - -

2−5 x + + + + + + + no - - -

x<−2 x=−2 −2< x<−1 x=−1 −1<x <1

3 x=1

3 1 3<x<2

5 x=2

5 2

5<x <1 ^x=1 ^x>1

Le soluzioni le troveremo cercando le colonne che hanno un numero pari di segni meno, oltre a quelle che hanno lo 0. Dunque le soluzioni richieste sono: −2≤x≤−1∨1

3<x<2 5∨x≥1 CONTENUTI EXTRA: Equazioni e disequazioni con valori assoluti.

Per motivi di tempo non siamo riusciti a ripassare le equazioni e le disequazioni con valori assoluti.

ESERCIZIO pag.716 n.47 Risolvere le seguenti equazioni:

x+3+∣x∣−∣2 x+3∣=0 ; 1−∣2 x+1∣+∣x−3∣−∣x∣=0 Risposta:

x+3+∣x∣−∣2 x+3∣=0

Suddividiamo la nostra risoluzione in tre casi.

Caso I: x≤−3 2 .

L'equazione diventa x+3+(−x )−(−(2 x+3))=0 ovvero x+3−x+2 x+3=0

ovvero 2 x+6=0

ovvero x=−3 . Tale soluzione è accettabile.

Caso II: −3 2≤x≤0

L'equazione diventa x+3+(−x )−(2 x+3)=0 ovvero x+3−x−2 x−3=0

(12)

ovvero −2 x=0

ovvero x=0 . Tale soluzione è accettabile.

Caso III x≥0

L'equazione diventa x+3+x−(2 x+3)=0 ovvero x+3+x−2 x−3=0

ovvero 0=0

Dunque tutte le x≥0 sono soluzioni accettabili.

Ricapitolando, le soluzioni richieste sono x=−3∨x≥0

1−∣2 x+1∣+∣x−3∣−∣x∣=0

Suddividiamo la risoluzione in quattro casi.

Caso I: x≤−1 2

L'equazione diventa: 1−(−(2 x +1))+(−(x−3))−(−x )=0 ovvero 1+2 x+1−x+3+ x=0

ovvero 2 x+5=0 ovvero x=−5

2 . Tale soluzione è accettabile.

Caso II: −1 2≤x≤0

L'equazione diventa: 1−(2 x+1)+(−(x−3))−(−x)=0 ovvero 1−2 x−1−x+3+ x=0

ovvero: −2 x+3=0 ovvero x=3

2 . Tale soluzione non è accettabile.

Caso III: 0≤x≤3

L'equazione diventa: 1−(2 x+1)+(−(x−3))−x=0 ovvero 1−2 x−1−x+3−x=0

ovvero −4 x+3=0 ovvero x=3

Caso IV x≥3

L'equazione diventa: 1−(2 x+1)+ x−3−x=0 ovvero 1−2 x−1+ x−3−x=0

ovvero −2 x−3=0 ovvero x=−3

Conclusione: le soluzioni richieste sono x=−5

2∨x=3 4

(13)

ESERCIZIO pag.717 n.48 Risolvere le seguenti equazioni:

∣2 x−5∣+∣x−1∣=4 x−∣x−4∣ ; ∣∣x−2∣−∣x−4∣∣=x Risposta:

∣2 x−5∣+∣x−1∣=4 x−∣x−4∣

Suddividiamo la risoluzione in quattro casi:

Caso I: x≤1

L'equazione diventa: −(2 x−5)−( x−1)=4 x+( x−4) ovvero −2 x+5−x+1=4 x+ x−4

ovvero −8 x=−10 ovvero x=5

Caso II: 1≤x≤5 2

L'equazione diventa: −(2 x−5)+(x−1)=4 x +(x−4) ovvero −2 x+5+ x−1=4 x+ x−4

ovvero −6 x=−8 ovvero x=4

Caso III: 5 2≤x≤4

L'equazione diventa: (2 x−5)+(x−1)=4 x +(x−4) ovvero 2 x−5+x−1=4 x+x−4

ovvero −2 x=2

ovvero x=−1 . Tale soluzione non è accettabile.

Caso IV: x≥4

L'equazione diventa (2 x−5)+(x−1)=4 x−( x−4) ovvero 2 x−5+x−1=4 x−x +4

ovvero −6=4 . In questo caso l'equazione è impossibile.

Conclusione: l'unica soluzione è x=4 3

∣∣x−2∣−∣x−4∣∣=x

In questa seconda equazione abbiamo un valore assoluto che contiene altri valori assoluti. Si noti però che al secondo membro c'è semplicemente x. Cioè, x è il valore assoluto di qualcosa. Da questo possiamo già dedurre che lavoreremo con x≥0 .

Suddividiamo momentaneamente la nostra risoluzione in tre casi, riservandoci di suddividere a loro volta i casi in altri sottocasi (se sarà necessario).

(14)

Caso I 0≤x≤2

L'equazione diventa: ∣−(x−2)−(−( x−4))∣=x ovvero ∣−x+2+ x−4∣= x

ovvero 6= x o, se preferite, x=6 . Tale soluzione non è accettabile.

Caso II 2≤x≤4

L'equazione diventa: ∣(x−2)−(−( x−4))∣=x ovvero ∣x−2+x−4∣=x

ovvero ∣2 x−6∣=x

A questo punto è necessario suddividere in due sottocasi:

Sottocaso II-A 2≤x≤3

L'equazione diventa: −(2 x−6)=x ovvero −2 x+6=x

ovvero −3 x =−6

ovvero x=2 . Tale soluzione è accettabile.

Sottocaso II-B 3≤x≤4

L'equazione diventa: 2 x−6= x

ovvero x=6 . Tale soluzione non è accettabile.

Caso III x≥4

L'equazione diventa: ∣(x−2)−( x−4)∣=x ovvero ∣x−2−x+4∣=x

ovvero 2=x , o se preferite x=2 . Tale soluzione non è accettabile in questo caso (anche se coincide con una soluzione accettata in un altro caso).

Conclusione: l'unica soluzione è x=2

ESERCIZIO pag.717 n.59 Risolvere le seguenti disequazioni:

∣2 x−5∣≥∣x+1∣ ; ∣x−1∣−2 x+1 x−1 >0 Risposta:

∣2 x−5∣≥∣x+1∣

Caso I: x≤−1

La disequazione diventa: −(2 x−5)≥−(x+1) ovvero −2 x+5≥−x−1

ovvero −x≥−6 ovvero x≤6

Le soluzioni accettabili sono tutte le x≤−1

(15)

Caso II: −1≤x≤5 2

La disequazione diventa: −(2 x−5)≥x+1 ovvero −2 x+5≥x+1

ovvero −3 x≥−4 ovvero 3 x≤4 ovvero x≤4

3 .

Dunque le soluzioni accettabili sono tutte le x tali che: −1≤x≤4 3 Caso III: x≥5

2

La disequazione diventa: 2 x−5≥x +1 ovvero x≥6 .

Dunque le soluzioni accettabili sono tutte le x≥6 . Conclusione: le soluzioni richieste sono le x tali che: x≤4

3∨x≥6

∣x−1∣−2 x+1 x−1 >0

C.E.: x≠1 Caso I: x<1

La disequazione diventa: 1−x−2 x+1 x−1 >0 ovvero 2−3 x

x−1 <0

che in generale è verificata per le x tali che 2

3<x<1 tali soluzioni in questo caso sono tutte accettabili . Caso II: x>1

La disequazione diventa x−1−2 x+1 x−1 >0 ovvero −x

x−1>0

che in generale è verificata solo per x tali che 0<x<1 ma in questo caso non ci sono soluzioni accettabili.

Conclusione: le soluzioni richieste sono le x tali che 2

3<x<1

(16)

ESERCIZIO pag.718 n.73

Risolvere la seguente disequazione:

∣x−2∣−2

∣_{2 x−1}∣_−x−3^>⁰ Risposta:

C.E.: se x≤1

2 deve essere −2 x+1−x−3≠0 ovvero −3 x≠2 ovvero x≠−2

3 se x≥1

2 deve essere 2 x−1−x−3≠0 ovvero x≠4

Caso I: x≤1 2

La disequazione diventa: 2−x−2 1−2 x−x−3>0 ovvero −x

−3 x−2>0 ovvero x 3 x +2>0

che in generale ha come soluzioni le x tali che x<−2

3∨x>0 ma nel nostro caso ci fermiamo prima: x<−2

3∨0< x≤1 2 . Si osservi anche che è rispettata la C.E. x≠−2

3 . Caso II: 1

2≤x≤2

La disequazione diventa: 2−x−2 2 x−1−x−3>0 ovvero −x

x−4>0 che in generale ha come soluzioni le x tali che 0<x<4 . Dunque rientrano nelle soluzioni tutte le x prese in considerazione per questo caso.

Caso III: x≥2

La disequazione diventa: x−2−2 2 x−1−x−3>0 ovvero x−4

x−4>0 che in generale ha come soluzione tutte le x≠4 . Conclusione: le soluzioni richieste sono le x tali che: x<−2

3∨0< x<4∨x>4