Disequazioni variazionali inverse e punti asintoticamente critici

(1)

Disequazioni variazionali inverse e punti asintoticamente critici

Dimitri Mugnai

1. – Il problema: primi risultati di esistenza e molteplicit` a

In questa tesi si studia una classe di problemi variazionali che potremmo definire disequazioni variazionali “inverse”, in quanto il segno della disuguaglianza ` e opposto a quello delle classiche disequazioni variazionali introdotte da Lions e Stampacchia (alla suddetta classe, appartengono, per esempio, le disequazioni che descrivono il rimbalzo unidimensionale tra 2 punti assegnati di un biliardo).

Disequazioni di questo tipo non sono state molto studiate, forse per la mancanza di una teoria astratta che provi l’esistenza (e magari l’unicit` a) di soluzioni, come avviene invece per alcune disequazioni variazionali classiche. Tanto per fare un esempio, se D non ` e convesso, possono essere costruiti dei controesempi all’esistenza di traiettorie di rimbalzo elastico, mentre se D ` e convesso, ne esistono infinite. Un altro fatto sorprendente ` e che disequazioni dello stesso tipo, ma di ordine diverso, hanno comportamento diverso: se si considerano i problemi







u ∈ H ₀ ¹ (0, 1)

Z 1 0

u ⁰ (v ⁰ − u ⁰ ) dt ≤ 0 ∀ v ∈ H ₀ ¹ (0, 1), v ≥ −1, (1)







u ∈ H ₀ ¹ (0, 1) ∩ H ² (0, 1)

Z 1 0

u ⁰⁰ (v ⁰⁰ − u ⁰⁰ ) dt ≤ 0 ∀ v ∈ H ₀ ¹ (0, 1) ∩ H ² (0, 1), v ≥ −1, (2)

non ` e difficile dimostrare che (1) ammette infinite soluzioni, mentre (2) ne ha solo due, di cui una banale.

In questa tesi ` e stato considerato il problema seguente:

(P )



 



 



∃ u ∈ K _φ := ⁿ u ∈ H ₀ ¹ (Ω) ∩ H ² (Ω) u ≥ φ ^o tale che

Z

Ω

∆u∆(v − u) dx − c

Z

Ω

Du · D(v − u) dx − α

Z

Ω

u(v − u) dx ≤ 0

∀ v ∈ K _φ ,

dove Ω ⊂ IR ^N , N ≥ 1, ` e un aperto regolare e limitato, c ed α sono numeri reali e φ ` e una funzione misurabile con sup φ < 0. Ovviamente u ≡ 0 ` e una soluzione del problema, qualunque siano α e c; quindi siamo interessati alla ricerca di soluzioni

1

(2)

u non banali, cio` e funzioni che risolvono (P ) ma non l’equazione associata ∆ ² u + c∆u − αu = 0, dove ∆ ² indica l’operatore biarmonico.

Proprio per la mancanza di una teoria generale relativa all’esistenza di soluzioni per disequazioni variazionali inverse, sembra naturale considerare un procedimento di approssimazione. Si considerano quindi i problemi

(P _ω )

( ∆ ² u + c∆u − αu + ω((u − φ) ⁻ ) ^k−1 = 0 in Ω,

u = ∆u = 0 su ∂Ω,

dove ω ` e un parametro positivo e k > 2 ` e sottocritico. Si pu` o pensare quindi che, nel caso dei problemi (P _ω ), la parte di “piastra” sotto φ sia soggetta ad una forza sempre pi` u intensa che la spinge verso il basso: di conseguenza le posizioni di equilibrio sono sempre pi` u alte. In definitiva, nel caso del problema (P ), si pu` o pensare che la “piastra” u sia uncinata alla parete rigida φ (i problemi (P _ω ) sono legati ad un modello di onde viaggianti sui ponti sospesi, introdotto da Lazer e McKenna in [2], per k = 2 e φ ≡ −1).

Con (λ _i ) _i denotiamo la successione crescente (λ ₁ < λ ₂ ≤ λ ₃ ≤ . . .) degli autova- lori di −∆ su H ₀ ¹ (Ω) e con (Λ _j ) _j quella degli autovalori di ∆ ² +c∆ su H ₀ ¹ (Ω)∩H ² (Ω).

Infine consideriamo i funzionali definiti su H ₀ ¹ (Ω) ∩ H ² (Ω) da f _ω (u) = 1

2 Z

Ω

|∆u| ² dx − c 2

Z

Ω

|Du| ² dx − α 2

Z

Ω

u ² dx − ω k

Z

Ω

((u − φ) ⁻ ) ^k dx,

f (u) =



 

 

 

 

1 2

Z

Ω

|∆u| ² dx − c 2

Z

Ω

|Du| ² dx − α 2

Z

Ω

u ² dx se u ≥ φ,

−∞ altrimenti.

Evidentemente le soluzioni di (P _ω ) sono tutti e soli i punti critici di f _ω , mentre le soluzioni di (P ) sono tutti e soli i punti superiormente critici di f (cf. [1]).

Tramite metodi variazionali dimostriamo che se N ≥ 1 e α < λ ² ₁ −cλ ₁ o se N ≥ 2 e α > λ ² ₁ − cλ ₁ , ogni (P _ω ) ammette una soluzione u _ω con (u _ω − φ) ⁻ 6≡ 0. Inoltre, se α 6= λ ² ₁ − cλ ₁ , vale una maggiorazione a priori per le u _ω stesse, e se N ≤ 3, le u _ω convergono fortemente, lungo successioni, a soluzioni di (P ). Pertanto sussiste il seguente risultato (cf. [5]).

Teorema 1 Se N = 2, 3 e α 6= λ ² ₁ − cλ ₁ , allora (P ) ammette una soluzione non banale. Se α < λ ² ₁ − cλ ₁ , allora la tesi ` e vera anche per N = 1.

Per α = λ ² ₁ − cλ ₁ , tutte le funzioni della forma te ₁ , t > 0, risolvono (P _ω ) per ogni ω, e quindi in questo caso nessuna maggiorazione ` e possibile (per lo stesso motivo, inoltre, f _ω non soddisfa la condizione di Palais-Smale per questo valore di α).

Per valori particolari dei parametri α e c ` e possibilie stabilire dei risultati di molteplicit` a attraverso un teorema di linking, piuttosto sofisticato, che permette di dimostrare l’esistenza di pi` u soluzioni, eventualmente allo stesso livello critico (cf.

[5]).

Teorema 2 Sia Λ j < Λ _j+1 = . . . = Λ _s < Λ _s+1 . Supponiamo inoltre che valga una delle due ipotesi seguenti:

2

(3)

(i) λ ² ₁ − cλ ₁ > Λ _s ; oppure (ii) N ≥ 2 e λ ² ₁ − cλ ₁ ≤ Λ _j . Allora esiste τ _s ^ω > 0 tale che

(i) (P _ω ) ha almeno tre soluzioni non banali per ogni α ∈ (Λ _s − τ _s ^ω , Λ _s );

(ii) τ _s ^ω = τ _s non dipende da ω se N ≤ 3.

Nelle ipotesi del Teorema 2, due soluzioni, diciamo u _1ω e u _2ω , sono punti critici di f _ω che possono essere allo stesso livello.

Passando al limite si dimostra il seguente teorema di molteplicit` a (cf. [5]).

Teorema 3 Sia N ≤ 3. Nelle ipotesi del Teorema 2, esiste τ s > 0 tale che (P ) ammette almeno due soluzioni distinte non banali per ogni α ∈ (Λ _s − τ _s , Λ _s ).

L’eventuale coincidenza delle successioni di valori critici f _ω (u _1ω ) e f _ω (u _2ω ) rende difficile prevedere se i limiti di u _1ω e u _1ω sono distinti. Questa difficolt` a viene su- perata con la teoria presentata nel paragrafo successivo, mostrando che (in breve) il numero di punti superiormente critici di f ` e legato alle propriet` a topologiche dei sottolivelli degli f _ω e che essi sono limiti di punti u _ω tali che ∇f _ω (u _ω ) → 0 e non necessariamente ∇f _ω (u _ω ) = 0.

2. – Una teoria astratta di molteplicit` a

In questo paragrafo consideriamo una variet` a (eventualmente con bordo) M e funzioni h _n , h : M −→ [−∞, +∞], che supponiamo qui regolari per brevit` a e sem- plicit` a di trattazione.

Definizione 1 Sia h(u) ∈ IR. Diciamo che u ∈ M ` e un punto asintoticamente critico (p.a.c.) per la coppia ((h _n ) _n , h) se esistono una successione strettamente crescente (n _k ) _k in IN ed una successione (u _k ) _k in M tale che

∇ _M h _n

_k

(u _k ) → 0, u _k → u e h _n

_k

(u _k ) → h(u),

e h(u) ` e anche detto valore asintoticamente critico (v.a.c.) per ((h _n ) _n , h).

Definizione 2 Sia β ∈ IR. Diciamo che vale la condizione ∇(h n , h; β) se per ogni successione strettamente crescente (n _k ) _k in IN e per ogni successione (u _k ) _k in M tali che

∇ _M h _n

_k

(u _k ) → 0 e h _n

_k

(u _k ) → β,

esiste una successione strettamente crescente (k _j ) _j in N ed esiste u in M tali che u _k

_j

→ u e h(u) = β.

La Definizione 2 rappresenta quindi una sorta di condizione di Palais-Smale per successioni, con la differenza che non si richiede che il punto limite u sia critico per il funzionale limite h.

Si dimostra poi il seguente risultato (cf. [3]).

3

(4)

Teorema 4 Sia a ≤ b e supponiamo che valga la ∇(h n , h; c) per ogni c ∈ [a, b].

Allora il numero di p.a.c. per ((h n ) n , h) con v.a.c. in [a, b] ` e maggiore o uguale a lim sup

n→∞

cat _M (h ^b _n , h ^a _n ).

Qui h ^c _n = {u ∈ M | h _n (u) ≤ c} e cat _M (A, B) denota la categoria relativa di A rispetto a B in M . Sottolineiamo che vale anche una versione nonsmooth del teo- rema precente, utile quando i funzionali non sono nemmeno continui e la nozione di gradiente viene sostituita da una sua generalizzazione.

3. – Il risultato finale di molteplicit` a

Prima di tutto dimostriamo che i p.a.c. per ((f _ω ) _ω , f ) sono soluzioni di (P ), poi che se N ≤ 3 e α 6= λ ² ₁ − cλ ₁ , la condizione ∇(f _ω , f ; β) vale per ogni β ∈ IR.

Infine, con un calcolo accurato della categoria relativa dei sottolivelli di f _ω , si pu` o applicare il Teorema 4 e concludere con il seguente teorema (cf. [4]).

Teorema 5 Sia N ≤ 3. Nelle ipotesi del Teorema 2, esiste τ s > 0 tale che il problema (P ) ha almeno tre soluzioni non banali per ogni α ∈ (Λ s − τ _s , Λ s ).

BIBLIOGRAFIA

[1] E. De Giorgi - A. Marino - M. Tosques, Problems of evolution in metric spaces and maximal decreasing curve, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci.

Fis. Mat. Natur. (8) 68 (1980), no. 3, 180–187.

[2] A. C. Lazer - P. J. McKenna, Large-amplitude periodic oscillations in suspension bridges: some new connections with nonlinear analysis, SIAM Re- view 32 (1990), 537–578.

[3] A. Marino - D. Mugnai, Asymptotically critical points and their multi- plicity, Topol. Methods Nonlinear Anal. 19 (2002), 29–38.

[4] A. Marino - D. Mugnai, Asymptotical multiplicity and some reversed vari- ational inequalities, in corso di stampa su Topol. Methods Nonlinear Anal.

[5] D. Mugnai, On a “reversed” variational inequality, Topol. Methods Nonlin- ear Anal. 17 (2001), 321–358.

Dipartimento di Matematica e Informatica, Universit` a di Perugia e-mail: [email protected]

Dottorato in Matematica (sede amministrativa: Pisa) - Ciclo XII Direttore di ricerca: Prof. Antonio Marino, Universit` a di Pisa

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Disequazioni variazionali inverse e punti asintoticamente critici

Disequazioni variazionali inverse e punti asintoticamente critici

Dimitri Mugnai

1. – Il problema: primi risultati di esistenza e molteplicit` a







u ∈ H 0 1 (0, 1)

Z 1 0

u 0 (v 0 − u 0 ) dt ≤ 0 ∀ v ∈ H 0 1 (0, 1), v ≥ −1, (1)







u ∈ H 0 1 (0, 1) ∩ H 2 (0, 1)

Z 1 0

u 00 (v 00 − u 00 ) dt ≤ 0 ∀ v ∈ H 0 1 (0, 1) ∩ H 2 (0, 1), v ≥ −1, (2)

non ` e difficile dimostrare che (1) ammette infinite soluzioni, mentre (2) ne ha solo due, di cui una banale.

In questa tesi ` e stato considerato il problema seguente:

(P )



 

 

 

 



 

 

 

 



∃ u ∈ K φ := n u ∈ H 0 1 (Ω) ∩ H 2 (Ω) u ≥ φ o tale che

Z

Ω

∆u∆(v − u) dx − c

Z

Ω

Du · D(v − u) dx − α

Z

Ω

u(v − u) dx ≤ 0

∀ v ∈ K φ ,

dove Ω ⊂ IR N , N ≥ 1, ` e un aperto regolare e limitato, c ed α sono numeri reali e φ ` e una funzione misurabile con sup φ < 0. Ovviamente u ≡ 0 ` e una soluzione del problema, qualunque siano α e c; quindi siamo interessati alla ricerca di soluzioni

1

u non banali, cio` e funzioni che risolvono (P ) ma non l’equazione associata ∆ 2 u + c∆u − αu = 0, dove ∆ 2 indica l’operatore biarmonico.

Proprio per la mancanza di una teoria generale relativa all’esistenza di soluzioni per disequazioni variazionali inverse, sembra naturale considerare un procedimento di approssimazione. Si considerano quindi i problemi

(P ω )

( ∆ 2 u + c∆u − αu + ω((u − φ) − ) k−1 = 0 in Ω,

u = ∆u = 0 su ∂Ω,

Con (λ i ) i denotiamo la successione crescente (λ 1 < λ 2 ≤ λ 3 ≤ . . .) degli autova- lori di −∆ su H 0 1 (Ω) e con (Λ j ) j quella degli autovalori di ∆ 2 +c∆ su H 0 1 (Ω)∩H 2 (Ω).

Infine consideriamo i funzionali definiti su H 0 1 (Ω) ∩ H 2 (Ω) da f ω (u) = 1

2

Z

Ω

|∆u| 2 dx − c 2

Z

Ω

|Du| 2 dx − α 2

Z

Ω

u 2 dx − ω k

Z

Ω

((u − φ) − ) k dx,

f (u) =



 

 

 

 

1 2

Z

Ω

|∆u| 2 dx − c 2

Z

Ω

|Du| 2 dx − α 2

Z

Ω

u 2 dx se u ≥ φ,

−∞ altrimenti.

u ∈ H ₀ ¹ (0, 1)

u ⁰ (v ⁰ − u ⁰ ) dt ≤ 0 ∀ v ∈ H ₀ ¹ (0, 1), v ≥ −1, (1)

u ∈ H ₀ ¹ (0, 1) ∩ H ² (0, 1)

u ⁰⁰ (v ⁰⁰ − u ⁰⁰ ) dt ≤ 0 ∀ v ∈ H ₀ ¹ (0, 1) ∩ H ² (0, 1), v ≥ −1, (2)

∃ u ∈ K _φ := ⁿ u ∈ H ₀ ¹ (Ω) ∩ H ² (Ω) u ≥ φ ^o tale che

∀ v ∈ K _φ ,

dove Ω ⊂ IR ^N , N ≥ 1, ` e un aperto regolare e limitato, c ed α sono numeri reali e φ ` e una funzione misurabile con sup φ < 0. Ovviamente u ≡ 0 ` e una soluzione del problema, qualunque siano α e c; quindi siamo interessati alla ricerca di soluzioni

u non banali, cio` e funzioni che risolvono (P ) ma non l’equazione associata ∆ ² u + c∆u − αu = 0, dove ∆ ² indica l’operatore biarmonico.

(P _ω )

( ∆ ² u + c∆u − αu + ω((u − φ) ⁻ ) ^k−1 = 0 in Ω,

Con (λ _i ) _i denotiamo la successione crescente (λ ₁ < λ ₂ ≤ λ ₃ ≤ . . .) degli autova- lori di −∆ su H ₀ ¹ (Ω) e con (Λ _j ) _j quella degli autovalori di ∆ ² +c∆ su H ₀ ¹ (Ω)∩H ² (Ω).

Infine consideriamo i funzionali definiti su H ₀ ¹ (Ω) ∩ H ² (Ω) da f _ω (u) = 1

|∆u| ² dx − c 2

|Du| ² dx − α 2

u ² dx − ω k

((u − φ) ⁻ ) ^k dx,

|∆u| ² dx − c 2

|Du| ² dx − α 2

u ² dx se u ≥ φ,

Evidentemente le soluzioni di (P _ω ) sono tutti e soli i punti critici di f _ω , mentre le soluzioni di (P ) sono tutti e soli i punti superiormente critici di f (cf. [1]).

Teorema 1 Se N = 2, 3 e α 6= λ ² ₁ − cλ ₁ , allora (P ) ammette una soluzione non banale. Se α < λ ² ₁ − cλ ₁ , allora la tesi ` e vera anche per N = 1.

Per α = λ ² ₁ − cλ ₁ , tutte le funzioni della forma te ₁ , t > 0, risolvono (P _ω ) per ogni ω, e quindi in questo caso nessuna maggiorazione ` e possibile (per lo stesso motivo, inoltre, f _ω non soddisfa la condizione di Palais-Smale per questo valore di α).

Teorema 2 Sia Λ j < Λ _j+1 = . . . = Λ _s < Λ _s+1 . Supponiamo inoltre che valga una delle due ipotesi seguenti:

(i) λ ² ₁ − cλ ₁ > Λ _s ; oppure (ii) N ≥ 2 e λ ² ₁ − cλ ₁ ≤ Λ _j . Allora esiste τ _s ^ω > 0 tale che

(i) (P _ω ) ha almeno tre soluzioni non banali per ogni α ∈ (Λ _s − τ _s ^ω , Λ _s );

(ii) τ _s ^ω = τ _s non dipende da ω se N ≤ 3.

Nelle ipotesi del Teorema 2, due soluzioni, diciamo u _1ω e u _2ω , sono punti critici di f _ω che possono essere allo stesso livello.

Teorema 3 Sia N ≤ 3. Nelle ipotesi del Teorema 2, esiste τ s > 0 tale che (P ) ammette almeno due soluzioni distinte non banali per ogni α ∈ (Λ _s − τ _s , Λ _s ).

In questo paragrafo consideriamo una variet` a (eventualmente con bordo) M e funzioni h _n , h : M −→ [−∞, +∞], che supponiamo qui regolari per brevit` a e sem- plicit` a di trattazione.

Definizione 1 Sia h(u) ∈ IR. Diciamo che u ∈ M ` e un punto asintoticamente critico (p.a.c.) per la coppia ((h _n ) _n , h) se esistono una successione strettamente crescente (n _k ) _k in IN ed una successione (u _k ) _k in M tale che

∇ _M h _n

(u _k ) → 0, u _k → u e h _n

(u _k ) → h(u),

e h(u) ` e anche detto valore asintoticamente critico (v.a.c.) per ((h _n ) _n , h).

Definizione 2 Sia β ∈ IR. Diciamo che vale la condizione ∇(h n , h; β) se per ogni successione strettamente crescente (n _k ) _k in IN e per ogni successione (u _k ) _k in M tali che

∇ _M h _n

(u _k ) → 0 e h _n

(u _k ) → β,

esiste una successione strettamente crescente (k _j ) _j in N ed esiste u in M tali che u _k

cat _M (h ^b _n , h ^a _n ).

Prima di tutto dimostriamo che i p.a.c. per ((f _ω ) _ω , f ) sono soluzioni di (P ), poi che se N ≤ 3 e α 6= λ ² ₁ − cλ ₁ , la condizione ∇(f _ω , f ; β) vale per ogni β ∈ IR.

Infine, con un calcolo accurato della categoria relativa dei sottolivelli di f _ω , si pu` o applicare il Teorema 4 e concludere con il seguente teorema (cf. [4]).

Teorema 5 Sia N ≤ 3. Nelle ipotesi del Teorema 2, esiste τ s > 0 tale che il problema (P ) ha almeno tre soluzioni non banali per ogni α ∈ (Λ s − τ _s , Λ s ).