• Non ci sono risultati.

Esercizio 1. Si consideri la serie di potenze

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Esercizio 1. Si consideri la serie di potenze"

Copied!
1
0
0

Testo completo

(1)

24 luglio 2013 Corso di Laurea in Matematica

ANALISI MATEMATICA 4 Prof. P. Cannarsa

Esercizio 1. Si consideri la serie di potenze

X

n=1

x

n

n

2

, (x ∈ R) . (1)

(a) Determinare il raggio di convergenza, r, della serie (1) e studiarne la convergenza puntuale e uniforme.

(b) Detta f la somma della serie (1), e I il suo intervallo di convergenza, studiare la derivabilit` a di f su I e calcolare f

0

nei punti in cui esiste la derivata.

(c) Dedurre che

Z

1 0

1

x log 1

1 − x dx =

X

n=1

1

n

2

= π

2

6  .

Esercizio 2. Si consideri l’equazione differenziale

x

000

(t) + x

0

(t) − x(t) + x

3

(t) = 0 .

• Si riporti l’equazione data ad un sistema differenziale del primo ordine in R

3

.

• Si determinino i punti di equilibrio del sistema cos`ı ottenuto e se ne studi la stabilit` a applicando il teorema di linearizzazione.

Esercizio 3. Dato il campo vettoriale

F (x, y, z) = xy i + x

2

j + yz k ,

calcolare il flusso del rotore di F attraverso la porzione di superficie Σ = (x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

= 1 , z > 0 , orientata in modo che il versore normale abbia la terza componente > 0.

Esercizio 4. Determinare la distanza dall’origine di R

3

dell’insieme

M = (x, y, z) ∈ R

3

: z

2

− xy = 1 .

Riferimenti

Documenti correlati

Il grafo è connesso (dunque ha 1 sola componente connessa): infatti dati due vertici x,y essi sono sempre uniti da un cammino (se hanno per es. le prime cifre entrambe pari,

Gli studenti che hanno sostenuto la prova scritta di giugno e che si sono iscritti alla prova orale di luglio sono convocati in aula Seminari (ex Dip. Matematica) secondo la

Applicazione di tale teorema per dedurre le proprieta’ di derivabilit` a e determinare la derivata della funzione arctan.. (4) Definire, tramite l’utilizzo dei

Un sistema meccanico `e costituito da un punto materiale P e da un anello, i quali si muovono rispetto ad un riferimento inerziale 0xyz, con asse delle z verticale ascendente..

(3) Si introduca un nuovo vincolo ideale, realizzato in modo tale che il punto P stia sempre in coincidenza alla proiezione del vertice C sul piano Oxy (cio`e la molla che li

Si studi il moto che fa seguito alle condizioni iniziali tali che, al tempo t = 0, tutti e quattro i corpi rigidi sono in quiete, con i centri C 1 e C 2 istantaneamente

Un sistema meccanico `e costituito da un punto materiale P e da un anello, i quali si muovono rispetto ad un riferimento inerziale 0xy, con asse delle y verticale

Teoremi di de L’Hopital ( dimostrazione nel caso 0/0 ).Studio di funzioni e grafici (senza derivata seconda)5. Primitive di funzioni continue e integrale