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Esercizio 1. Si consideri la serie di potenze

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24 luglio 2013 Corso di Laurea in Matematica

ANALISI MATEMATICA 4 Prof. P. Cannarsa

Esercizio 1. Si consideri la serie di potenze

X

n=1

x

n

n

2

, (x ∈ R) . (1)

(a) Determinare il raggio di convergenza, r, della serie (1) e studiarne la convergenza puntuale e uniforme.

(b) Detta f la somma della serie (1), e I il suo intervallo di convergenza, studiare la derivabilit` a di f su I e calcolare f

0

nei punti in cui esiste la derivata.

(c) Dedurre che

Z

1 0

1

x log 1

1 − x dx =

X

n=1

1

n

2

= π

2

6  .

Esercizio 2. Si consideri l’equazione differenziale

x

000

(t) + x

0

(t) − x(t) + x

3

(t) = 0 .

• Si riporti l’equazione data ad un sistema differenziale del primo ordine in R

3

.

• Si determinino i punti di equilibrio del sistema cos`ı ottenuto e se ne studi la stabilit` a applicando il teorema di linearizzazione.

Esercizio 3. Dato il campo vettoriale

F (x, y, z) = xy i + x

2

j + yz k ,

calcolare il flusso del rotore di F attraverso la porzione di superficie Σ = (x, y, z) ∈ R

3

: x

2

+ y

2

+ z

2

= 1 , z > 0 , orientata in modo che il versore normale abbia la terza componente > 0.

Esercizio 4. Determinare la distanza dall’origine di R

3

dell’insieme

M = (x, y, z) ∈ R

3

: z

2

− xy = 1 .

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